例談二元不等式條件下函數(shù)最值的求解策略

張志剛

摘?要：以一道近年清華大學(xué)自主招生試題為例，探索二元不等式約束條件下函數(shù)最值的求解策略.發(fā)現(xiàn)可類比方程條件下最值的求解思路，從函數(shù)思想、方程有解、不等式放縮、數(shù)形結(jié)合等視角嘗試解決，啟發(fā)學(xué)生深刻剖析題設(shè)條件，敏銳捕捉解題靈感，積極促成知識遷移，全面搭建解題思路，努力提高解題效益.

關(guān)鍵詞：不等式；二元函數(shù)極值；類比推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算

中圖分類號：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0009-05

《中國高考評價(jià)體系》指出：高考關(guān)注與創(chuàng)新密切相關(guān)的能力與素養(yǎng)，比如獨(dú)立思考能力、發(fā)散思維、逆向思維等. 考查學(xué)生敏銳發(fā)現(xiàn)舊事物缺陷、捕捉新事物萌芽的能力，考查學(xué)生進(jìn)行新穎的推測和設(shè)想并周密論證的能力，考查學(xué)生探索新方法、積極主動(dòng)解決問題的能力，鼓勵(lì)學(xué)生擺脫思維定式的束縛，勇于大膽創(chuàng)新［1］.因此，高考試題應(yīng)合理呈現(xiàn)情境，設(shè)置新穎的試題呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式，促使學(xué)生主動(dòng)思考，善于發(fā)現(xiàn)新問題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論.例如，二元方程條件下的最值問題歷來是高考、競賽、高校強(qiáng)基計(jì)劃測試等考查的熱點(diǎn)，近三年高考就有2020年新高考全國Ⅰ卷第11題、新高考全國Ⅱ卷第12題、天津卷第14題、江蘇卷第12題、2022年新高考全國Ⅱ卷第12題等，自然也吸引了眾多數(shù)學(xué)教育工作者對此進(jìn)行深入探討，形成了日益成熟的解題理論［2-3］.然而，此類試題的命題模式多年來鮮有變化，似有陷于僵化之嫌.如何改變問題呈現(xiàn)樣態(tài)，減少考試固化給機(jī)械訓(xùn)練和大量刷題帶來的收益，同時(shí)強(qiáng)化其選拔功能呢？下面的兩道高校選拔試題將條件由方程變更為不等式，使傳統(tǒng)的二元函數(shù)最值問題煥發(fā)出新的生機(jī)，代表了試題改革的一個(gè)新趨向，具有較高的研究價(jià)值.

1 案例呈現(xiàn)

例1?（2019年清華大學(xué)自主招生測試第11題）實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y-22≤1，求x+3yx2+y2的最大值與最小值.

例2?（2022年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試第5題）實(shí)數(shù)a，b滿足a-22+b2≤1，求f=3a+ba2+b2的最大值與最小值之差.

兩例均考查不等式約束條件下二元函數(shù)的最值問題，情境相對新穎，思維跨度更大，呈現(xiàn)出更強(qiáng)的綜合性與選拔性.

2 案例解答

首先討論例1.在平面直角坐標(biāo)系中，方程x2+y-22=1表示以0，2為圓心，1為半徑的圓，而不等式x2+y-22≤1則表示此圓及其內(nèi)部.因此，從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來看，方程條件x2+y-22=1變更為不等式條件x2+y-22≤1，僅僅是動(dòng)點(diǎn)x，y的變化區(qū)域由閉合曲線——圓，擴(kuò)展為更廣闊的平面區(qū)域——圓面，問題的本質(zhì)并未變化，因此可類比方程條件下最值的求解策略，從函數(shù)思想、方程有解、不等式放縮、數(shù)形結(jié)合等多個(gè)視角嘗試解決［4］.

思路1?函數(shù)思想.

解法1?（選斜率為參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值）設(shè)圓面x2+y-22≤1上任意一點(diǎn)Px，y（y>0），設(shè)f=x+3yx2+y2，當(dāng)x=0時(shí)，f=3.

當(dāng)x>0時(shí)，令yx=k，k≥3，則

f=1+3y/x1+y/x2=1+3k1+k2（k≥3），

則f ′=3-k1+k23≤0.

所以f在3，+∞上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)k=3時(shí)，f取得最大值2；

當(dāng)x<0時(shí)，令yx=k，k≤-3，

f=1+3y/x-1+y/x2=1+3k-1+k2（k≤-3），

則f ′=k-31+k23<0.

所以f在-∞，-3上單調(diào)遞減.

故當(dāng)k=-3時(shí)，f取得最小值1.

綜上，1≤f≤2，即x+3yx2+y2的最大值是2，最小值是1.

評注?通過比值換元yx=k，將函數(shù)f表示為關(guān)于k的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值.于此，我們可進(jìn)一步體會(huì)導(dǎo)數(shù)對于討論函數(shù)單調(diào)性的普適性，領(lǐng)會(huì)知識間的有機(jī)銜接與融合.

解法2?（選角為參數(shù)、轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值）設(shè)圓面x2+y-22≤1上任意一點(diǎn)Px，y（y>0），設(shè)f=x+3yx2+y2，當(dāng)x=0時(shí)，f=3.

當(dāng)x>0時(shí)，令yx=tanθ，θ∈π3，π2，

f=1+3y/x1+y/x2=1+3tanθ1+tanθ2=2sinθ+π6∈3，2；

當(dāng)x<0時(shí)，令yx=tanθ，θ∈-π2，-π3，

f=1+3tanθ-1+tan2θ=-2sinθ+π6∈1，3.

綜上，1≤f≤2，即x+3yx2+y2的最大值是2，最小值是1.

評注?通過比值換元yx=tanθ及三角恒等變換，將函數(shù)f表示為關(guān)于θ的三角函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的單調(diào)性求得最值.

思路2?方程思想.

解法3?（二次方程有解，應(yīng)用判別式法）設(shè)圓面x2+y-22≤1上任意一點(diǎn)Px，y（y>0），設(shè)x+3yx2+y2=t，當(dāng)x=0時(shí)，t=3.

當(dāng)x>0時(shí)，令yx=k，k≥3，

t=1+3y/x1+y/x2=1+3k1+k2，

則有t2-3k2-23k+t2-1=0.

此方程有實(shí)數(shù)解，則

△=232-4t2-3t2-1≥0，

解得-2≤t≤2.

另一方面，由于圓面x2+y-22≤1位于直線x+3y=0的上方，x+3y>0，故x+3yx2+y2=x+3yx2+y2.

又圓面x2+y-22≤1位于直線3x+y=0的上方，3x+y>0，又y>0，故

x+3yx2+y2=x+3yx2+y2=x+3y2x2+y2=2y3x+yx2+y2+1≥1.

所以1≤f≤2.

當(dāng)x<0時(shí)亦有相同結(jié)論.

綜上，x+3yx2+y2的最大值是2，最小值是1.

評注?通過換元轉(zhuǎn)化為二次方程有解，利用判別式△≥0構(gòu)造不等式，也是處理二元函數(shù)最值問題的常見思路.

思路3?不等式放縮.

解法4?（運(yùn)用柯西不等式放縮）由柯西不等式得1×x+3×yx2+y2≤12+32×x2+y2x2+y2=2，

當(dāng)且僅當(dāng)3x=y，即x=32，y=32時(shí)等號成立.

所以x+3yx2+y2的最大值是2.

下同解法3得x+3yx2+y2的最小值是1.

評注?柯西不等式是探求函數(shù)（特別是多元函數(shù)）最值的有力工具.解法4通過柯西不等式放

縮一次性消除變元x，y，使代數(shù)式轉(zhuǎn)化為常數(shù)2（即所求最大值），體現(xiàn)了消元思想.在利用柯西不等式解題時(shí)，往往借助拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊等技巧構(gòu)造出柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式.此外，要驗(yàn)證等號能否成立.

思路4?數(shù)形結(jié)合思想.

設(shè)圓面x2+y-22≤1上任意一點(diǎn)Px，y，記點(diǎn)D1，3，過原點(diǎn)O作圓x2+y-22=1的兩條切線OA，OB，切點(diǎn)分別是A-32，32，

B32，32，如圖1所示.

解法5?（利用平面向量投影求解）

x+3yx2+y2=1，3·x，yx2+y2=OD·OPOP，

故x+3yx2+y2表示向量OD在向量OP方向上的投影.

顯然，當(dāng)OP=OA時(shí)，此投影取得最小值OD·OAOA=1.

當(dāng)OP=OB時(shí)，此投影取得最大值OD·OBOB=2.

故x+3yx2+y2的最大值是2，最小值是1.

評注?由結(jié)論x+3yx2+y2的結(jié)構(gòu)聯(lián)想向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，將問題與向量的投影聯(lián)系起來，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合得投影的最值.

解法6?（構(gòu)造兩個(gè)向量的夾角求解）

x+3yx2+y2=2×x+3y2x2+y2=2×1，3·x，y12+32×x2+y2=2×OD·OPODOP=2cosθ，其中θ為向量OD，OP的夾角.

又∠BOD≤θ≤∠AOD，即0≤θ≤π3.

所以2cosπ3≤2cosθ≤2cos0.

即1≤2cosθ≤2.

即x+3yx2+y2的最大值是2，最小值是1.

評注?本解法在解法5解析式變形基礎(chǔ)上，繼續(xù)配湊為兩個(gè)向量的夾角公式形式，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量夾角的余弦函數(shù)最值問題.

解法7?（構(gòu)造點(diǎn)到直線的距離求解）由于圓面x2+y-22≤1位于直線l：x+3y=0的上方，故x+3y>0.

所以x+3yx2+y2=

|x+3y|/2

x2+y2

=2×x+3y/2x2+y2

=2×dOP=2sin∠POM，其中d表示點(diǎn)P到直線l的距離，OP為點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離.

作PM⊥l于點(diǎn)M，如圖1，則x+3yx2+y2=2sin∠POM.

又∠AOM≤∠POM≤∠BOM，所以π6≤∠POM≤π2，所以1≤2sin∠POM≤2.

故x+3yx2+y2的最大值是2，最小值是1.

評注?根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想點(diǎn)到直線的距離和兩點(diǎn)之間的距離，于是根據(jù)圓面位于直線x+3y=0的上方，結(jié)合系數(shù)調(diào)配將結(jié)論變形為2×x+3y/2x2+y2，然后引入正弦函數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值.

比較可知，例1和例2的條件和結(jié)論均高度一致.另外，作例1中圓面x2+y-22≤1關(guān)于直線y=x對稱的圓面，即得例2不等式表示的圓面，因此，兩例本質(zhì)相同且聯(lián)系密切，可參考以上解法求解例2，不再贅述.

通過以上討論可見，求解二元不等式條件下的最值問題，可類比方程條件下最值的解法，常見思路有：一是通過消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題；二是聯(lián)系代數(shù)式的幾何意義借助數(shù)形結(jié)合思想求解；三是借助不等式（如基本不等式、柯西不等式、切（割）線不等式）放縮.以上各解法環(huán)肥燕瘦、各有千秋，又相互印證、相輔相成.不管是哪種方法，消參減元是貫穿解題過程的一條主線.

具體解答時(shí)需綜合應(yīng)用函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、平面向量、導(dǎo)數(shù)、解析幾何等知識，輔以換元法、構(gòu)造法及轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.

3 強(qiáng)化訓(xùn)練

近年，不等式條件下的最值試題頻頻出現(xiàn)于高校強(qiáng)基計(jì)劃測試等選拔性考試中，代表了二元函數(shù)最值問題命題的一個(gè)新趨向，成為一道亮麗的風(fēng)景線.下面再舉幾例.

題1?（2020年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃測試第1題）已知x2+y2≤1，則x2+xy-y2的取值范圍為（??）.

A.-32，32???B.-1，1

C.-52，52D.-2，2

解析??（三角換元法）本題為平方和結(jié)構(gòu)的不等式條件，優(yōu)先選擇三角代換，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的三角函數(shù)的范圍問題，以達(dá)消參減元之目的.

令x=rcosθ，y=rsinθ0≤r≤1，0≤θ<2π，則

x2+xy-y2=r2cos2θ+sinθcosθ-sin2θ

=r2cos2θ+12sin2θ

=52r2sin（2θ+φ），

因?yàn)?1≤sin（2θ+φ）≤1，0≤r2≤1，

所以-52≤

52r2sin（2θ+φ）≤52，故選C.

題2?（2020年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃測試第1題）正實(shí)數(shù)x，y，w滿足x≥y≥w和x+y≤2z+w，則wx+zy的最小值為（??）.

A.34?B.78?C.1?D.前三個(gè)答案都不對

解析?（基本不等式放縮法）本題結(jié)論中含有四個(gè)變元，首先利用條件消掉變量z，再由基本不等式求得最值.

wx+zy≥wx+（x+y）/2-wy=w1x-1y+x2y+12，

又x≥y>0，所以1x-1y≤0.

又y≥w，有w1x-1y+x2y+12≥y1x-1y+x2y+12=yx+x2y-12≥2yx×x2y-12=2-12，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2w時(shí)等號成立，故選D.

題3?（2019年北京大學(xué)暑期夏令營第2題）非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足x+y≤2 0182 019，求2 018-2 019x2+2 018-2 019y2的最小值.

解析?（割線不等式放縮法）本題條件為兩個(gè)變量之和結(jié)構(gòu)，而結(jié)論為同構(gòu)型代數(shù)式之和的形式，可考慮構(gòu)造函數(shù)，借助割線放縮將問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的最值.

設(shè)fx=2 018-2 019x20≤x≤2 0182 019，則過fx的圖象上兩點(diǎn)A0，2 018，B2 0182 019，0的直線為y=-2 019x+2 018.

易證當(dāng)x∈0，2 0182 019時(shí)，2 018-2 019x2≥-2 019x+2 018，

同理有2 018-2 019y2≥-2 019y+2 018.

兩不等式同向相加，得2 018-2 019x2+2 018-2 019y2≥ -2 019x+y+22 018≥-2 019×2 0182 019+ 22 018=2 018，當(dāng)且僅當(dāng)x=0y=2 0182 019或x=2 0182 019y=0時(shí)等號成立.

所以2 018-2 019x2+2 018-2 019y2的最小值是2 018.

4 結(jié)束語

在教學(xué)和命題實(shí)踐中，通過情境設(shè)置考查學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)是當(dāng)前中、高考改革以及國際考試測量的基本方向.高考命題一方面將進(jìn)一步創(chuàng)新試題的情境創(chuàng)設(shè)和呈現(xiàn)方式，另一方面將進(jìn)一步加大試題的開放性和探究性，實(shí)現(xiàn)對學(xué)生創(chuàng)新思維和批判性思維的考查.可見，高考評價(jià)體系引領(lǐng)下的命題情境將進(jìn)一步呈現(xiàn)復(fù)雜性、綜合性和創(chuàng)新型的特點(diǎn).二元不等式條件下的最值問題通過創(chuàng)新問題情境，區(qū)分度更高，能有效驅(qū)動(dòng)學(xué)生與情境之間持續(xù)而有意義的互動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生積極剖析條件，捕捉信息，抓住關(guān)鍵，形成設(shè)想，構(gòu)建方案，將所學(xué)知識遷移到新情境，解決新問題，與高考評價(jià)體系的要求相契合.然而，我們的思考不應(yīng)到此為止，二元函數(shù)最值試題有哪些新的發(fā)展方向呢？除了將條件由方程變換為不等式，變元數(shù)量會(huì)從二元走向多元嗎？探求結(jié)論會(huì)更加開放嗎？會(huì)交叉融合更多知識考查嗎？屆時(shí)，我們又有何良策呢？

參考文獻(xiàn)：

［1］

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[3] 姜坤崇.一類求取值范圍問題的解法[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006（04）：27-28.

[4] 董建功.數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

［責(zé)任編輯：李?璟］