基于數(shù)形結(jié)合的晶胞復(fù)習(xí)

賈同全

晶胞是描述晶體結(jié)構(gòu)的基本單元，這個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元通常是一個(gè)平行六面體。晶體中晶胞的排列是無(wú)隙并置的，“無(wú)隙”指的是相鄰的晶胞之間共用頂角、共用棱、共用面?！安⒅谩敝傅氖菑囊粋€(gè)晶胞到另一個(gè)晶胞只需平移晶胞框架，無(wú)需任何轉(zhuǎn)動(dòng)。

晶胞參數(shù)：3組棱長(zhǎng)a、b、c；3組棱相互間的夾角α、β、γ（如圖1所示），中學(xué)化學(xué)常見(jiàn)晶胞如圖2所示。

立方晶胞：a=b=c，α=β=γ=90°（只有1個(gè)晶胞參數(shù)a是可變動(dòng)的）。

四方晶胞：a=b≠c，α=β=γ=90°（有2個(gè)晶胞參數(shù)a和c）。

正交晶胞：a≠b≠c，α=β=γ=90°（有3個(gè)晶胞參數(shù)a、b和c）。

六方晶胞：a=b≠c，α=β90°，γ=120°（有2個(gè)晶胞參數(shù)a和c）。

一、準(zhǔn)確描述晶胞質(zhì)點(diǎn)空間位置的方法——原子分?jǐn)?shù)坐標(biāo)

1.定義：以晶胞參數(shù)為單位長(zhǎng)度建立的坐標(biāo)系來(lái)表示晶胞內(nèi)部各原子的相對(duì)位置，稱(chēng)為原子分?jǐn)?shù)坐標(biāo)。

2.原子分?jǐn)?shù)坐標(biāo)的確定方法：

①依據(jù)給出的坐標(biāo)系取向和已知原子的坐標(biāo)確定坐標(biāo)原點(diǎn)。

②一般以坐標(biāo)軸所在立體圖形的棱長(zhǎng)為1個(gè)單位（長(zhǎng)、寬、高可以不同，但都為1個(gè)單位）。

③從原子所在位置分別向x、y、z軸作垂線(xiàn)，所得坐標(biāo)軸上的截距即為該原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)（各點(diǎn)均在晶胞內(nèi)，0≤x、y、z＜1）。

二、晶胞中粒子的投影

1.定義：用一組光線(xiàn)將物體的形狀投射到一個(gè)平面上去，稱(chēng)為投影。在該平面上得到的圖像，也稱(chēng)為投影圖。

2.分類(lèi)：

①正投影：投射線(xiàn)的中心線(xiàn)垂直于投影的平面。②斜投影：投射線(xiàn)的中心線(xiàn)不垂直于投影的平面。

目前大多數(shù)題目涉及到的都是正投影。

3.常見(jiàn)晶胞結(jié)構(gòu)模型圖的坐標(biāo)軸方向（俯視圖）和體對(duì)角線(xiàn)方向投影圖總結(jié)。

（1）體心立方晶胞（如圖3所示）

俯視圖：8個(gè)頂點(diǎn)投影在正方形4個(gè)頂點(diǎn)上，體心投影在正方形中心。

體對(duì)角線(xiàn)方向投影圖：6個(gè)頂點(diǎn)投影在正六邊形頂點(diǎn)上，另外2個(gè)頂點(diǎn)和體心重疊在正六邊形中心。

（2）面心立方晶胞（如圖4所示）

俯視圖：8個(gè)頂點(diǎn)投影在正方形4個(gè)頂點(diǎn)上，前后左右4個(gè)面心投影在正方形4個(gè)邊的中點(diǎn)，上下2個(gè)面心投影在正方形中心。

體對(duì)角線(xiàn)方向投影圖：6個(gè)頂點(diǎn)投影在大正六邊形頂點(diǎn)上，6個(gè)面心投影在小正六邊形頂點(diǎn)上，另外2個(gè)頂點(diǎn)重疊在正六邊形中心。

（3）金剛石晶胞（如圖5所示）

俯視圖：8個(gè)頂點(diǎn)投影在正方形4個(gè)頂點(diǎn)上，前后左右4個(gè)面心投影在正方形4個(gè)邊的中點(diǎn)，上下2個(gè)面心投影在正方形中心，左上右上左下右下四個(gè)小體心投影在4個(gè)小正方形中心。

體對(duì)角線(xiàn)方向投影圖：6個(gè)頂點(diǎn)投影在大正六邊形頂點(diǎn)上，3個(gè)面心和3個(gè)小體心（另3個(gè)面心在3個(gè)小體心背后遮擋）投影在小正六邊形頂點(diǎn)上，另外2個(gè)頂點(diǎn)和2個(gè)小體心重疊在正六邊形中心。

例題1 LiCl·3H2O屬于正交晶系（長(zhǎng)方體形）。晶胞參數(shù)為0.75、1.0、0.56nm。如圖6所示為沿z軸投影的晶胞中所有氯原子的分布圖和原子分?jǐn)?shù)坐標(biāo)。

據(jù)此推斷該晶胞中氯原子數(shù)目為_(kāi)___。

解析可以根據(jù)投影圖將其轉(zhuǎn)化為立體圖（如圖7所示）。根據(jù)晶胞沿z軸的投影圖可知，該晶胞中氯原子①、②、③、④、A、B的位置，yz面上有2個(gè)氯原子①②，與yz平行的面上有2個(gè)氯原子③④，體內(nèi)有2個(gè)氯原子A、B，所以1個(gè)晶胞中氯原子的數(shù)目為4×1/2+2=4。

三、晶胞中粒子間距的求算方法

要想求算晶胞中粒子間距，就必須了解清楚晶胞的結(jié)構(gòu)。以金剛石為例，金剛石品胞（如圖8所示）中碳原子在什么位置相切？已知晶胞參數(shù)為apm，碳原子半徑與a之間有什么關(guān)系？

晶胞中的體對(duì)角線(xiàn)上（球①②③④⑤或球⑥⑦③⑧⑨）是球球相切（其中3，4，7號(hào)球?yàn)樘摂M補(bǔ)充上去的），則有：8r=根號(hào)下3a。

例題2 普魯士藍(lán)晶體屬立方晶系，晶胞棱長(zhǎng)為apm。鐵-氰骨架組成小立方體，F(xiàn)e粒子在頂點(diǎn)，CN-在棱上，兩端均與Fe相連，立方體中心空隙可容納K+，如圖9所示（CN-在圖中省略）。

若所有鐵粒子為等徑小球，則K+與Fe2+之間最近距離為_(kāi)___pm；

解析鉀離子位于小立方體的體心，二價(jià)鐵位于小立方體的頂點(diǎn)，則

四、立方晶胞密度的計(jì)算模型

1.計(jì)算公式：ρ=m/V=n·M/NA·a3

2.思維流程：

①先確定一個(gè)晶胞中微粒個(gè)數(shù)n（均攤法）。

②再確定一個(gè)晶胞中微粒的總質(zhì)量。

③根據(jù)晶胞參數(shù)a求晶胞的體積。

④最后代人密度公式求晶胞的密度。

3.單位換算：1pm=10-10cm;1nm=10-7cm。

例題3 TiN晶胞中的少量Ti被Al代替后的立方晶胞結(jié)構(gòu)如圖10所示。該晶胞中，距離Ti最近的Al有____個(gè)；原子①與原子②的距離為_(kāi)___nm（已知晶體密度為ρg·cm-3，阿伏加德羅常數(shù)的值為NA）。

解析 由圖可知，以右側(cè)棱心的鈦原子為例，晶胞內(nèi)體心鋁原子與其最近，則周?chē)?個(gè)晶胞中距離Ti最近的Al有4個(gè)；據(jù)“均攤法”，晶胞中含氮原子數(shù)：