初中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

陳磊

摘要：數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，能夠幫助學(xué)生有效提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，發(fā)展思維能力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，本文中以數(shù)形結(jié)合思維為基礎(chǔ)，分析數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的作用，探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，以提升初中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和效率.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；運(yùn)用舉例

1 利用數(shù)軸解決相關(guān)問(wèn)題

利用數(shù)軸可以解決不等式問(wèn)題、中位數(shù)和眾數(shù)問(wèn)題等.解不等式是初中數(shù)學(xué)中一類(lèi)典型的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，不等式是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，而數(shù)軸對(duì)解答不等式問(wèn)題具有重要作用，不僅要求學(xué)生可以解出一元一次不等式，還要求學(xué)生能用數(shù)軸標(biāo)出不等式的解集，此內(nèi)容在中考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的概率很大.利用數(shù)軸可以清晰直觀地表示數(shù)，降低問(wèn)題難度，有助于解題.值得注意的是，解一元一次不等式中的過(guò)程中要關(guān)注是否變號(hào)（當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，系數(shù)化1后不等式的不等號(hào)要改變方向，例如“<”要變?yōu)椤?”）、數(shù)軸上的實(shí)心圓和空心圓是否正確（“≤，≥”對(duì)應(yīng)實(shí)心圓，而“<，>”對(duì)應(yīng)空心圓）.

例1不等式組x≥-2，x<1的解集在數(shù)軸上表示為（）.

思考：解答不等式的解集問(wèn)題時(shí)，為了將不等式的解集在數(shù)軸上清晰地表示出來(lái)，重點(diǎn)要表示出界點(diǎn)，關(guān)注界點(diǎn)是否實(shí)心，以及解集對(duì)應(yīng)的開(kāi)口方向是否正確.本題涉及界點(diǎn)，則重點(diǎn)在于判斷界點(diǎn)是否實(shí)心及解集對(duì)應(yīng)的開(kāi)口方向.

解：x≥-2是從-2出發(fā)向右畫(huà)出的線，且-2處是實(shí)心點(diǎn).

而x<1從1出發(fā)向左畫(huà)出的線，且1處是空心點(diǎn).

故正確答案選：A.

拓展訓(xùn)練1今年6月11日，某省份的九個(gè)地區(qū)最高氣溫和最低氣溫如圖1所示，則這九個(gè)地區(qū)該天最高氣溫的眾數(shù)為（）.

A.27℃

B.29℃

C.30℃

D.31℃

分析：本題考查了眾數(shù)的意義，注意眾數(shù)可以不止一個(gè).可以在數(shù)軸上分別表示出九個(gè)地區(qū)的溫度，數(shù)據(jù)每出現(xiàn)一次就標(biāo)記一次，出現(xiàn)最多的溫度就是眾數(shù).

解：根據(jù)眾數(shù)的概念，如圖2所示，標(biāo)記最多的是31℃.

故正確答案選：D.

2 利用直角坐標(biāo)系解決函數(shù)問(wèn)題

函數(shù)問(wèn)題在初中數(shù)學(xué)中占有半壁江山，常見(jiàn)的函數(shù)類(lèi)型包括反比例函數(shù)、一次函數(shù)以及二次函數(shù)等，而解答函數(shù)問(wèn)題往往對(duì)學(xué)生的邏輯能力有較高要求，因此根據(jù)數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想成為求解函數(shù)問(wèn)題的有效工具.解答函數(shù)問(wèn)題時(shí)，為了讓復(fù)雜的函數(shù)形象化，一般需要畫(huà)出函數(shù)的圖象，把握函數(shù)關(guān)系式中參數(shù)的作用.特別注意的是，學(xué)生要熟練掌握函數(shù)關(guān)系的類(lèi)型.

例2如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+3與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A與x軸平行的直線交拋物線y=13x2于B，C兩點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)為.

分析：解答二次函數(shù)相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意函數(shù)圖象的四個(gè)重點(diǎn)，即開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和特殊點(diǎn)，特別是與x軸或y軸的交點(diǎn).

解：由題意得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3）.

所以過(guò)點(diǎn)A與x軸平行的直線的方程為y=3.

將y=3代入y=13x2，得3=13x2.

解得x=±3.

故BC的長(zhǎng)為6.

拓展訓(xùn)練2如圖4，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（2，0），C（0，12）兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x=4，設(shè)頂點(diǎn)為P，與x軸的另一交點(diǎn)為B，求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo).

分析：本題可以先設(shè)出二次函數(shù)的表達(dá)式，再將圖象的已知信息代入解析式中，計(jì)算得到參數(shù)即可得二次函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo).

解：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c（a≠0）.

由題意，可得-b2a=4，c=12，4a+2b+c=0.

解得a=1，b=-8，c=12.

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-8x+12.

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-4）.

3 利用圖形解決實(shí)際問(wèn)題

利用圖形還可以解答以生活實(shí)際為背景的問(wèn)題，例如概率問(wèn)題和三角函數(shù)問(wèn)題等.對(duì)于簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題，可以利用樹(shù)形圖表示出關(guān)系，使得題目更加簡(jiǎn)單化、直觀化.解決實(shí)際問(wèn)題一般需要根據(jù)題意畫(huà)出圖形，并利用圖形中得到的幾何關(guān)系求解，

“如教師在對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行講解時(shí)，教師可以引申到解析三角形的應(yīng)用上面來(lái)”.

一般出現(xiàn)在選擇題或解答題中，難度不高，但較為繁瑣，畫(huà)出圖形有助于找出其中隱藏的關(guān)系.

例3有A，B兩個(gè)黑色的盒子，A盒中有3張紙條，分別標(biāo)有數(shù)字0，2，5，B盒中也有3張紙條，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，4，則6張紙條除了數(shù)字不同以外沒(méi)有任何不同，從A，B中各自隨機(jī)拿出一張紙條，用樹(shù)狀圖的方法，求拿出的兩張紙條上數(shù)字之和等于6的概率.

分析：概率問(wèn)題含有較強(qiáng)的邏輯性，若只在腦海中思考則解題有較大的難度，而利用數(shù)形結(jié)合更容易得到答案.本題主要考查計(jì)算隨機(jī)事件概率的方法，由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與“摸出的兩個(gè)球上數(shù)字之和是6”的情況，利用概率公式即可求解.

解：如圖5所示，

故“兩張紙條上數(shù)字之和等于6”的概率P=29.

拓展訓(xùn)練3如圖6所示，有一個(gè)晾衣支架放置在水平地面上，已知支架的兩條邊OA，OB的長(zhǎng)108 cm，OA與水平方向OC的夾角為59°，求點(diǎn)A，B之間的距離（精確到0.1 cm）.

分析：本題需要利用數(shù)形結(jié)合求解，根據(jù)題意畫(huà)出等腰三角形OAB，過(guò)點(diǎn)O向AB作高，交點(diǎn)為D，則OD為△OAB的中線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形OAD中求解即可.

解：根據(jù)題意可得圖7，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D.

在Rt△AOD中，則有

∠OAD=∠AOC=59°.

又cos∠OAD=ADOA，OA=108，所以

AD=108cos 59°.

所以AB=2AD=2×108×0.52≈112.3（cm）.

答：點(diǎn)A，B之間的距離約為112.3 cm.

從上述內(nèi)容可以看出，數(shù)形結(jié)合對(duì)解答教材中數(shù)學(xué)問(wèn)題具有不可或缺的作用，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中正確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.

數(shù)與形的關(guān)系是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，熟練掌握運(yùn)用數(shù)軸、圖形和直角坐標(biāo)系等解答相關(guān)問(wèn)題的思路，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

王美玲.初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用探討.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（16）：132，134.

騰敏.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用研究.求知導(dǎo)刊，2015（24）：132.