探究初中數(shù)學(xué)幾何綜合試題的多種解法與教學(xué)啟示

閆百合

【摘要】隨著新課程改革的不斷深入，初中數(shù)學(xué)教學(xué)越來(lái)越注重對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何綜合試題是重要的考查內(nèi)容.因?yàn)閹缀尉C合試題可以考查學(xué)生對(duì)各種概念、性質(zhì)、法則等內(nèi)容的掌握情況，所以教師在進(jìn)行幾何綜合試題的解答時(shí)需要根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行分析，然后采取相應(yīng)的措施，引導(dǎo)學(xué)生掌握解答幾何綜合試題所需要用到的解題方法.解答初中數(shù)學(xué)幾何綜合試題不僅需要學(xué)生掌握多種解題方法，還需要學(xué)生能靈活運(yùn)用這些不同的解法.在實(shí)際教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握解答幾何綜合試題所需要用到的基本解題思路和方法，從而提高學(xué)生解答幾何綜合試題的能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；綜合試題；解題技巧

1 問(wèn)題與分析

根據(jù)圖1，我們可以看出，在平面直角坐標(biāo)系里，A（-1，0）和B（0，2）是已知的.△ABO通過(guò)沿著直線AB折疊，我們可以得到△ABC.假設(shè)反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象需要經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，那么k=（? ）

此問(wèn)題涵蓋了反比例函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用，并且還涉及幾何領(lǐng)域的軸對(duì)稱性.這是一個(gè)關(guān)于函數(shù)和幾何兩個(gè)獨(dú)立的學(xué)科的經(jīng)典綜合問(wèn)答.解題的基本思路相當(dāng)明確，也就是要從“數(shù)與形”的角度出發(fā)，首先要找到C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把它用到反比例函數(shù)的分析公式中，然后得到待定系數(shù)的數(shù)值，這里面包含了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，比如等價(jià)轉(zhuǎn)換、方程（組）.

2 多解與點(diǎn)評(píng)

解析1

在點(diǎn)N處，CN⊥y軸，設(shè)C的坐標(biāo)為（-a，b），我們可以看出：當(dāng)A（-1，0），B（0，2）的情況下，OA=1，OB=2.由此，我們能夠計(jì)算出AM=a-1，BN=2-b，并且對(duì)這些圖形進(jìn)行了折疊.得到AC=OA=1，BC=OB=2，在Rt△ACM中，可以得出CM2+AM2=AC2，對(duì)此便可以知道b2+（a－1）2=1，也就是a2+b2－2a=0，①

在Rt△BCN中，BN2+CN2=BC2，由此可得出，（2－b）2+a2=22，也就是a2+b2－4b=0，②

通過(guò)對(duì)①-②得出2a=4b，也就是a=2b，將其代入上述公式①中，便可以解出正確答案，即b=45或者0（0舍棄），所以得出a=85，由此便可以得知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－85，45）.又因?yàn)榉幢壤瘮?shù)為y=kx，并且過(guò)點(diǎn)C，所以k=－3225.

點(diǎn)評(píng)

其中，代數(shù)方法是主要的，幾何方法是輔助的，而對(duì)于平面幾何中的翻折變換和它的性質(zhì)，卻很少使用，主要是通過(guò)勾股定理，獲得反比例函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象的對(duì)稱性，得出正確的答案.將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程組：a2+b2－2a=0a2+b2－4b=0.

雖然上述的方程是二元二次方程，并且它利用了等式的特性和“整體代入”的理念，能夠較好地解決問(wèn)題，但是從方程組的知識(shí)角度來(lái)看，它已經(jīng)超出了7～9年級(jí)“課標(biāo)”的教學(xué)標(biāo)準(zhǔn).因此，用“超標(biāo)”來(lái)解決一道填空題，實(shí)際上是不太劃算的.

解析2

在Rt△AMC中，主要由CM2+AM2=AC2，因此（2－2a）2+a2=1，從而便可以從中得到以下相關(guān)的有效解答方法：

在Rt△AMC中，主要由CM2+AM2=AC2，因此可以得到（2－2a）2+a2=1，也就是5a2－8a+3=0，進(jìn)而求得a=35和a =1（不符合題意，對(duì)此應(yīng)當(dāng)舍棄），對(duì)此應(yīng)當(dāng)知道b=45，所以便可以知道點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－85，45），結(jié)合相關(guān)公式便可以知道k的值.

點(diǎn)評(píng)

以上的方法都是以幾何方法為主，代數(shù)方法為輔.這些方法利用了翻折圖的特點(diǎn)，利用類似三角形的判斷與性質(zhì)，得到 BN=2 AM，CN=2 CM，然后利用勾股定理以及線與線之間的等價(jià)關(guān)系，分別建立一元二次和二元一次方程，然后通過(guò)求解 AM和CM的長(zhǎng)度，就可以輕松地得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，并且比以前的方法更加簡(jiǎn)便.另外，我們還可以看到，充分挖掘題目中幾何圖形的特性，更多地利用幾何思想去理解直線與直線之間的聯(lián)系，并將其與代數(shù)方法相結(jié)合，可以極大地減少求解過(guò)程中的計(jì)算量.由此可見(jiàn)，充分發(fā)掘圖形自身的幾何關(guān)系，對(duì)于此類代數(shù)幾何綜合問(wèn)題的求解具有極大的方便作用，突出了綜合考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用的解題意義.

3 對(duì)復(fù)習(xí)課教學(xué)的啟示

3.1 精選例題練習(xí)試題，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)

為了減輕初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)負(fù)擔(dān)，教師要精選例題練習(xí)試題，突出數(shù)學(xué)本質(zhì).幾何綜合試題在中考試卷中占有較大比重，同時(shí)也是學(xué)生普遍感到難度較大的試題，所以，教師在平時(shí)教學(xué)中就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生善于從不同角度分析幾何綜合試題的特點(diǎn)，研究其中的重點(diǎn)、難點(diǎn).比如在學(xué)習(xí)完圓的概念和性質(zhì)后，可以讓學(xué)生通過(guò)圓與直線、圓與圓、圓與方程之間的關(guān)系等知識(shí)之間的相互聯(lián)系進(jìn)行分析和討論.這樣既能使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，又能加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解.

3.2 強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想訓(xùn)練

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的思維方法和手段.它主要是將數(shù)學(xué)問(wèn)題中包含的圖形、符號(hào)、文字等因素轉(zhuǎn)化為幾何圖形或幾何符號(hào)來(lái)進(jìn)行分析和解決.比如在解決函數(shù)與幾何綜合試題時(shí)可以將函數(shù)問(wèn)題中涉及的圖形或符號(hào)轉(zhuǎn)化成幾何圖形來(lái)進(jìn)行分析和解決.也就是說(shuō)，在解決幾何綜合試題時(shí)可以利用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行分析和解決.

4 結(jié)語(yǔ)

幾何綜合試題的解題方法多種多樣，在教學(xué)過(guò)程中，教師要讓學(xué)生充分地思考、探究，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣，讓他們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中獲得成就感和滿足感.此外，教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在幾何綜合試題的教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分地思考、探究，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力和邏輯推理能力.教師要培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)學(xué)科思想方法，為他們后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定良好基礎(chǔ).

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