平和有乾坤，變化見功力

甄艷

摘要：全面提升高三復(fù)習(xí)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考的整體效益，是高三復(fù)習(xí)備考中最為重要的一個課題.本文中基于二輪復(fù)習(xí)，在“三新”背景下，依托“數(shù)列”專題，從重視教材、梳理知識、掌握性質(zhì)、積累經(jīng)驗等層面來剖析相應(yīng)的復(fù)習(xí)建議，為優(yōu)化復(fù)習(xí)過程與提升復(fù)習(xí)效益作了一些嘗試與經(jīng)驗積累.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；二輪復(fù)習(xí)；建議；知識；思想

在新課標(biāo)、新教材、新高考的“三新”背景下，近年全國新高考數(shù)學(xué)試題的“數(shù)列”專題部分，隨著新教學(xué)改革理念的逐步深入與延續(xù)，更加準確體現(xiàn)高考改革的要求，遵循數(shù)學(xué)課程標(biāo)準的教學(xué)內(nèi)容、學(xué)業(yè)要求和質(zhì)量標(biāo)準，以穩(wěn)定性的考查方式、基礎(chǔ)性的考查要求、全面性的考查內(nèi)容以及創(chuàng)新性的考查情境等特點，全面突出基礎(chǔ)性，彰顯綜合性，體現(xiàn)應(yīng)用性，追求創(chuàng)新性，突出數(shù)學(xué)思想方法性等，合理聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)對數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的考查.

預(yù)測今后幾年全國新高考數(shù)學(xué)試題的“數(shù)列”專題部分的考查，還是堅持“四性”，突出“四基”，夯實“四能”.由此，對于該專題的高考二輪復(fù)習(xí)，必須更有針對性與實用性，本文中從一些復(fù)習(xí)備考的嘗試與建議入手，拋磚引玉.

1 重視數(shù)學(xué)教材，打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

作為高中課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)的基石，教材是主要依據(jù)，更是課標(biāo)標(biāo)準的實際體現(xiàn).因而在“數(shù)列”專題部分的二輪復(fù)習(xí)備考中，必須堅持圍繞高中數(shù)學(xué)教材來展開，充分理解數(shù)列的基本概念與基本性質(zhì)，以及一些相關(guān)的典型實例與性質(zhì)應(yīng)用等.通過通讀教材，可以再次回顧相關(guān)的數(shù)學(xué)知識與應(yīng)用場景.

例1? 〔2024屆高三第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量評價（T8聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題〕一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個蜂房（如圖1），例如，從蜂房A只能爬到1號或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房……以此類推，用an表示蜜蜂爬到n號蜂房的方法數(shù)，則a2 022a2 024-a22 023=（? ）.

A.1

B.-1

C.2

D.-2

通過問題場景，借助蜜蜂爬到前若干號蜂房的方法數(shù)，合理歸納，構(gòu)建與之相吻合的斐波那契數(shù)列以及對應(yīng)的數(shù)列遞推關(guān)系式，借助所求數(shù)列項的代數(shù)關(guān)系式的特征，通過一般性思維與整體思維加以切入，利用等比數(shù)列的構(gòu)建與應(yīng)用來分析與處理，達到解決創(chuàng)新應(yīng)用問題的目的.追根溯源，該問題場景源自教材中的“閱讀與思考”欄目：

〔人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過的《數(shù)學(xué)》（選擇性必修第二冊）第四章“數(shù)列”第10頁閱讀與思考——斐波那契數(shù)列〕

如果用Fn表示第n個月的兔子的總對數(shù)，其中F1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)3=2，可以看出Fn=Fn-1+Fn-2（n∈N*，n>2）.這是一個由遞推公式給出的數(shù)列，稱為斐波那契數(shù)列.

依托教材“閱讀與思考”欄目的閱讀材料，斐波那契數(shù)列一直是數(shù)列模塊知識中最為常用的一種基本模型，也是全面考查數(shù)列模塊“四基”與關(guān)鍵能力等最為重要的一個創(chuàng)新應(yīng)用場景，備受各方關(guān)注.

在“數(shù)列”專題部分的二輪復(fù)習(xí)備考中，回歸教材，借助教材中的一些典型例（習(xí)）題、探究性欄目等的回顧與探究，經(jīng)常會有意想不到的收獲.

2 梳理基礎(chǔ)知識，歸納基本方法

在“數(shù)列”專題部分的二輪復(fù)習(xí)備考中，基礎(chǔ)知識是繞不開的一個話題.特別是數(shù)列的基本概念，兩個特殊數(shù)列的定義、通項與求和公式以及相關(guān)的基本性質(zhì)等，都是數(shù)列研究的重要內(nèi)容，有效構(gòu)建起一個完整的數(shù)列知識體系.

因而，在數(shù)列專題的高考二輪復(fù)習(xí)備考時，要借助對應(yīng)的數(shù)列知識體系，合理滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本方法，如數(shù)列求解中的基本量法，數(shù)列通項的整體代換，數(shù)列的函數(shù)思維，組合與分解的方法，以及數(shù)列與不等式的放縮方法等，系統(tǒng)全面地掌握數(shù)列的知識以及解決問題的方法.

例2? 〔2024屆浙江省浙南名校聯(lián)盟高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷〕已知數(shù)列{an}的首項為a1，且滿足12Sn=4an+1+5n-13，其中Sn為其前n項和，若恒有Sn≤S4（n∈N*），則a1的取值范圍為.

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式來確定數(shù)列的通項公式，往往是解決與數(shù)列遞推關(guān)系式相關(guān)問題中最為重要的一個基本步驟.解題的關(guān)鍵是利用前n項和Sn與通項an的關(guān)系進行變形與轉(zhuǎn)化，通過關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，借助累加法、累乘法等加以合理變形與應(yīng)用，是確定數(shù)列通項公式中比較常見的技巧方法.

解析：由12Sn=4an+1+5n-13，可得

12Sn+1=4an+2+5n+1-13.

以上兩式對應(yīng)相減，可得12an+1=4an+2-4an+1+4×5n，即an+2=4an+1-5n，n≥1.

整理，可得an+2+5n+1=4（an+1+5n），即

an+2+5n+1an+1+5n=4，n≥1.

所以a3+52a2+51=a4+53a3+52=……=an+5n-1an-1+5n-2=4，n≥3.

將以上（n-2）個式子累乘，可得an+5n-1a2+51=4n-2，即an+5n-1=4n-2×（a2+5），亦即

an=4n-2×（a2+5）-5n-1，n≥3.

而將n=1代入12Sn=4an+1+5n-13，可得12a1=4a2+5-13，整理有a2=3a1+2，所以an=4n-2×（3a1+7）-5n-1，n≥2.

而對于函數(shù)f（x）=4x-2×（3a1+7）-5x-1>0，可得54x-1<3a1+74.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知存在x0.同理，存在x>t滿足f（x）<0.所以要使得恒有Sn≤S4（n∈N*），只需滿足a4≥0且a5≤0即可.

所以42×（3a1+7）-53≥0，43×（3a1+7）-54≤0，解得1348≤a1≤5964.

故a1的取值范圍為1348，5964.

合理梳理數(shù)列中的基礎(chǔ)知識，如涉及數(shù)列中前n項和Sn與通項an的遞推關(guān)系式問題，可以利用an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，結(jié)合an=Sn-Sn-1=f（an）-f（an-1）消去Sn，或利用Sn=f（Sn-Sn-1），消去an求解.而由知識上升為方法，如具體的解題步驟就是升降下標(biāo)作差，運用通分、合并同類項、因式分解等，借助配湊法、累加（累乘）法、待定系數(shù)法等方法，將復(fù)雜、不熟悉的數(shù)列類型轉(zhuǎn)化為特殊的等差數(shù)列或等比數(shù)列類型，在求解過程中往往要對數(shù)列的第一項、第二項等加以合理檢驗，避免出現(xiàn)差別與錯誤.

3 掌握基本性質(zhì)，加強相互聯(lián)系

在“數(shù)列”專題部分的二輪復(fù)習(xí)備考中，涉及數(shù)列的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，要加以重點理解與把握，這也是高考命題中最為突出的基本點之一.特別是涉及選擇題與填空題中數(shù)列的問題設(shè)置，經(jīng)常離不開數(shù)列的基本性質(zhì)與聯(lián)系，因此熟練理解并掌握數(shù)列的基本性質(zhì)也是高考解決好數(shù)列問題的關(guān)鍵之一.

因而，在數(shù)列專題的高考二輪復(fù)習(xí)備考時，特別要加強不同元素之間的聯(lián)系，構(gòu)建一個完整有機的整體，這樣才方便形成聯(lián)系，達到交匯與融合的目的.

例3? （2024屆廣東省佛山市南海區(qū)高三摸底考試數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列{an}對任意k∈N*滿足ak+1+ak=4k+3，則a1+a2 020=（? ）.

A.4 040

B.4 043

C.4 046

D.4 049

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式加以合理數(shù)學(xué)運算（往往是相加或相減處理），分奇偶項分析，利用等差數(shù)列的確定與通項公式的轉(zhuǎn)化來分析與求解.分奇偶項分別確定數(shù)列中相關(guān)項的基本性質(zhì)，進而通過數(shù)列的奇偶項特征以及對應(yīng)的特殊數(shù)列類型加以分析與解決問題.

解析：由ak+1+ak=4k+3，可得

ak+2+ak+1=4（k+1）+3=4k+7.

以上兩式相減，可得ak+2-ak=4，所以數(shù)列{a2k}，{a2k-1}均是以4為公差的等差數(shù)列，則有a2k=a2+4（k-1）.

而a2+a1=4×1+3=7，則有a2k=a2+4（k-1）=7-a1+4（k-1）=4k+3-a1，所以a1+a2 020=4×1 010+3=4 043.

數(shù)列的基本性質(zhì)的歸納與應(yīng)用，往往是解決問題的關(guān)鍵所在.如解決以上涉及數(shù)列中的奇偶項綜合問題，往往是抓住題設(shè)條件中數(shù)列的遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，通過多寫幾項的形式，從中合理觀察，巧妙歸納，進而挖掘相應(yīng)的性質(zhì)與規(guī)律，為選擇合適的技巧與方法提供思維方向.

在高考二輪復(fù)習(xí)備考中，整個復(fù)習(xí)備考過程也是一個知識積累與經(jīng)驗積累的過程.在這個積累過程中，不斷強化與交匯，形成更高層次的解題習(xí)慣與方法，進而從中合理提煉出基本的數(shù)學(xué)思想方法.

基于此，在數(shù)列專題的高考二輪復(fù)習(xí)備考時，重視教材，梳理知識，掌握性質(zhì)，積累經(jīng)驗等成為一個很好嘗試，有效打好基礎(chǔ)，優(yōu)化歸納方法，巧妙加強聯(lián)系，系統(tǒng)提煉思想，促進復(fù)習(xí)備考的提優(yōu)增速.

今后幾年高考數(shù)學(xué)“數(shù)列”專題試題著力創(chuàng)新情境的設(shè)置，優(yōu)化難度的調(diào)控，更加突出新課程改革的要求與新高考的“指揮棒”，契合考試的人才選拔與高中的育人價值功能，充分體現(xiàn)“平和之中有乾坤，變化之處見功力”.