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    初中數(shù)學(xué)幾何問題解題技巧研究

    2024-06-13 05:53:03張玉峰
    關(guān)鍵詞:解題技巧初中數(shù)學(xué)

    張玉峰

    【摘要】隨著教育事業(yè)的高質(zhì)量發(fā)展,新課標與素質(zhì)教育落實均愈發(fā)深入,這對初中數(shù)學(xué)教學(xué)提出更高質(zhì)量要求,其中,幾何是初中數(shù)學(xué)的重點,也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.基于此,為強化學(xué)生解題能力,培養(yǎng)他們的解題思維,文章探究、總結(jié)了初中數(shù)學(xué)幾何問題的解題技巧,結(jié)合具體幾何問題梳理各種解題技巧下的思路與方法,具體包括輔助線法、平移法、代數(shù)法、逆向思維法、建系法等,梳理技巧應(yīng)用要點,總結(jié)解題關(guān)鍵,旨在為教師傳授學(xué)生解題技巧、提高學(xué)生解題能力提供幫助.

    【關(guān)鍵詞】幾何問題;解題技巧;初中數(shù)學(xué)

    引 言

    初中數(shù)學(xué)幾何問題具有邏輯性強、知識面廣等特點,對學(xué)生解題思維和能力提出了較高要求.幾何類問題的解題技巧相對較多,不同的題型,解題期間靈活使用不同的解題技巧可以讓解題速度加倍.為有效提高學(xué)生的幾何解題能力,研究技巧應(yīng)用要點是必要的.

    一、輔助線法

    在初中數(shù)學(xué)中,常用的解題技巧是添加輔助線,幾何問題作為初中數(shù)學(xué)的重要題型,輔助線法應(yīng)用極為常見,應(yīng)用此方法的目的在于通過輔助線細化整體大問題,或是將零散的問題條件整合到一處,從而快速敏捷地疏通思路,最終成功解決問題.但是,輔助線的使用并非隨意、盲目的,需要根據(jù)幾何條件和幾何基礎(chǔ)知識,讓輔助線的使用具有一定合理性.例如,在非直角三角形的幾何問題中,若是在該三角形中出現(xiàn)特殊角,那么可下意識嘗試作垂線作為輔助線,構(gòu)建直角三角形輔助解題;在圓形的幾何問題中,可下意識嘗試作能夠構(gòu)造出90°圓周角的輔助線;在涉及梯形的幾何問題中,如果題中存在關(guān)于梯形的腰的中點,那么可嘗試作能夠構(gòu)造出梯形中位線的輔助線,或是連接一個頂點和腰的中點,然后進行相應(yīng)的延長從而構(gòu)造出全等三角形的方式作輔助線.初中數(shù)學(xué)幾何問題難度適中,通過適當(dāng)總結(jié)輔助線法的作圖規(guī)律與技巧,能夠在短時間內(nèi)快速找到解決幾何問題的突破口,開拓學(xué)生的解題思路,提升他們的空間思維能力.

    根據(jù)圖1可知,無法在這種形式下直接求出AD和BD的值,在應(yīng)用輔助線法的情況下,解題思路應(yīng)該是盡量將求取的兩條線段轉(zhuǎn)化至一條線段中,即:作輔助線DE,使其與AB垂直,垂足為點E.通過作這條輔助線,可有效降低解題難度,簡化解題邏輯,從而求出最小值的大小.

    二、平移法

    解決數(shù)學(xué)幾何問題的平移法,主要通過平移某些圖形的方式構(gòu)建新的圖形,從而簡化解題步驟.該解題技巧應(yīng)用的重點在于找出能用平移來求解的圖形,具體思路為:根據(jù)已知條件平移圖形———替換所求圖形———求出結(jié)果.一般情況下,平移對象較多,可以是圓、直線、角、線段,甚至是整個圖形,該解題技巧只會帶來圖形位置的變化,不會對圖形大小、形狀造成影響.在初中數(shù)學(xué)幾何問題中應(yīng)用平移法時,幾種情況較為關(guān)鍵:平移前后的線段平行;對應(yīng)角兩邊分別平行且方向一致;對應(yīng)點連線所得線段相等且平行.一旦掌握這一解題技巧,學(xué)生遇到相似題型,將會快速掌握習(xí)題考點與解題思路,挖掘隱藏的數(shù)學(xué)要素,實現(xiàn)快速解題.

    例2 如圖2(a)所示,圖中的A,B代表著兩個農(nóng)莊,l1和l2為河的兩岸,現(xiàn)在農(nóng)莊主人想垂直于河流修一座橋,借此縮短農(nóng)莊A,B之間的距離,若想實現(xiàn)距離最短,橋應(yīng)該修在哪里?

    通過題干可知,該幾何問題的本質(zhì)是求兩個點之間的最短距離,與之有關(guān)的是“兩點之間線段最短”.在該思路下,可轉(zhuǎn)化圖中的一些線段,通過平移轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短的求取問題.平移思路如圖2(b)所示.

    運用平移法解答此道幾何問題時,可先作BB′垂直于l2,線段BB′與兩岸之間的距離相等,連接AB′,與河道l1的交點為點P,PD垂直于l2,構(gòu)建平行四邊形.利用平行四邊形的特征,PB′=BD,兩點之間線段最短,故AB′距離最短,也就是BD+AP最短,故可確定橋要建在PD處.

    三、代數(shù)法

    數(shù)學(xué)知識范疇廣泛,代數(shù)和幾何是數(shù)學(xué)課程體系的兩大構(gòu)成部分,對于初中數(shù)學(xué)幾何問題而言,還可以運用代數(shù)法突破難點.在當(dāng)前教育背景下,新課標對初中數(shù)學(xué)中幾何知識的要求是:讓學(xué)生理解圖形,淡化概念識記、套用公式的做題模式,深化數(shù)學(xué)定理理解,從而靈活應(yīng)用概念知識,做到幾何問題的建模與求解.在初中數(shù)學(xué)幾何問題解題教學(xué)中,學(xué)生需要經(jīng)過學(xué)習(xí)建立“大數(shù)學(xué)”觀,發(fā)散思維,學(xué)會合理使用代數(shù)知識突破解題瓶頸.所以,在日常教學(xué)過程中,教師可傳授將特殊幾何問題轉(zhuǎn)為代數(shù)問題的方法、技巧和思路,從而簡化計算,幫助學(xué)生獲得更明晰的推理邏輯與證明思路,在解答幾何問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維,依托于知識間的聯(lián)系強化學(xué)生的整體解題能力.

    四、逆向思維法

    證明題在初中幾何問題中的占比較大,是一種十分常見的題型,相較于計算類的幾何問題,證明類幾何問題對學(xué)生的推理能力具有較高要求,其中,推理包括正向思維推理和逆向思維推理.在一些題目中,正向思維推理可能較為復(fù)雜,推理步驟也相對較多,即便學(xué)生可以通過這一思路完成,花費的解題時間也較長,所以,教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用逆向思維解答幾何證明題.逆向思維法的本質(zhì)在于:從與題干中要證明的結(jié)論對立的結(jié)論展開,證明其與命題矛盾,即可說明要證明的結(jié)論成立.

    例4 如圖4所示,圓O中有AB,CD兩條弦,均不是直徑,請證明AB與CD不能相互平分.

    在該幾何問題中,根據(jù)題干內(nèi)容學(xué)生很難在短時間內(nèi)找到證明思路,所以,可從結(jié)論出發(fā),即:假設(shè)AB與CD能夠相互平分,接著推理、求證,利用與現(xiàn)有定理的沖突,借助逆向思維證明此題.解題思路與技巧為:設(shè)弦AB和弦CD的交點為點P,連接OP,假設(shè)兩條弦能夠相互平分,這意味著AP=BP,CP=DP,而弦AB與弦CD是圓O內(nèi)兩條非直徑的弦,故OP垂直于CD,OP垂直于AB.這與“過一點有且只有一條直線同已知直線垂直”相悖,故假設(shè)不成立,證明弦AB與弦CD不能相互平分.

    五、建系法

    當(dāng)學(xué)生接觸幾何問題時,其已經(jīng)具備平面直角坐標系相關(guān)知識,也掌握了點、線、面等相關(guān)定理與公式,初步具備了在平面直角坐標系中處理數(shù)學(xué)問題的基本能力.在解答幾何問題時,教師可引導(dǎo)學(xué)生精準應(yīng)用建系法突破解題障礙,尤其是一些單純使用幾何知識與方法較難求解的情況,可組織學(xué)生提煉題干信息,以此為基礎(chǔ)進行平面直角坐標系的構(gòu)建,通過結(jié)合點的坐標轉(zhuǎn)化問題形式,降低問題難度,提高問題解答效率.

    例5 如圖5(a),四邊形ABCD與四邊形CGEF均為正方形,前者邊長為2,后者邊長為3,點B,C,G位于同一條直線上,點M為AE中點,連接MF,求MF的值.

    運用建系法解決此道幾何問題時,首先要對題干進行分析.根據(jù)題干內(nèi)容發(fā)現(xiàn),單憑幾何知識無法解決這一問題,所以可在圖5(a)的基礎(chǔ)上建立直角坐標系,建立情況如圖5(b)所示.

    結(jié) 語

    綜上所述,為提高初中生解決幾何問題的效率,提升其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心,教師可圍繞常見幾何題型,總結(jié)、傳授輔助線法、平移法、代數(shù)法、逆向思維法、建系法等解題技巧,鍛煉學(xué)生的幾何問題思維,培養(yǎng)他們的空間想象能力,以及數(shù)學(xué)知識的靈活運用能力等,以實現(xiàn)解題技巧的精準、有效運用,提高學(xué)生整體解題實力.

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