初中數(shù)學(xué)幾何問題解題技巧研究

張玉峰

【摘要】隨著教育事業(yè)的高質(zhì)量發(fā)展，新課標與素質(zhì)教育落實均愈發(fā)深入，這對初中數(shù)學(xué)教學(xué)提出更高質(zhì)量要求，其中，幾何是初中數(shù)學(xué)的重點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.基于此，為強化學(xué)生解題能力，培養(yǎng)他們的解題思維，文章探究、總結(jié)了初中數(shù)學(xué)幾何問題的解題技巧，結(jié)合具體幾何問題梳理各種解題技巧下的思路與方法，具體包括輔助線法、平移法、代數(shù)法、逆向思維法、建系法等，梳理技巧應(yīng)用要點，總結(jié)解題關(guān)鍵，旨在為教師傳授學(xué)生解題技巧、提高學(xué)生解題能力提供幫助.

【關(guān)鍵詞】幾何問題；解題技巧；初中數(shù)學(xué)

引 言

初中數(shù)學(xué)幾何問題具有邏輯性強、知識面廣等特點，對學(xué)生解題思維和能力提出了較高要求.幾何類問題的解題技巧相對較多，不同的題型，解題期間靈活使用不同的解題技巧可以讓解題速度加倍.為有效提高學(xué)生的幾何解題能力，研究技巧應(yīng)用要點是必要的.

一、輔助線法

在初中數(shù)學(xué)中，常用的解題技巧是添加輔助線，幾何問題作為初中數(shù)學(xué)的重要題型，輔助線法應(yīng)用極為常見，應(yīng)用此方法的目的在于通過輔助線細化整體大問題，或是將零散的問題條件整合到一處，從而快速敏捷地疏通思路，最終成功解決問題.但是，輔助線的使用并非隨意、盲目的，需要根據(jù)幾何條件和幾何基礎(chǔ)知識，讓輔助線的使用具有一定合理性.例如，在非直角三角形的幾何問題中，若是在該三角形中出現(xiàn)特殊角，那么可下意識嘗試作垂線作為輔助線，構(gòu)建直角三角形輔助解題；在圓形的幾何問題中，可下意識嘗試作能夠構(gòu)造出90°圓周角的輔助線；在涉及梯形的幾何問題中，如果題中存在關(guān)于梯形的腰的中點，那么可嘗試作能夠構(gòu)造出梯形中位線的輔助線，或是連接一個頂點和腰的中點，然后進行相應(yīng)的延長從而構(gòu)造出全等三角形的方式作輔助線.初中數(shù)學(xué)幾何問題難度適中，通過適當(dāng)總結(jié)輔助線法的作圖規(guī)律與技巧，能夠在短時間內(nèi)快速找到解決幾何問題的突破口，開拓學(xué)生的解題思路，提升他們的空間思維能力.

根據(jù)圖1可知，無法在這種形式下直接求出AD和BD的值，在應(yīng)用輔助線法的情況下，解題思路應(yīng)該是盡量將求取的兩條線段轉(zhuǎn)化至一條線段中，即：作輔助線DE，使其與AB垂直，垂足為點E.通過作這條輔助線，可有效降低解題難度，簡化解題邏輯，從而求出最小值的大小.

二、平移法

解決數(shù)學(xué)幾何問題的平移法，主要通過平移某些圖形的方式構(gòu)建新的圖形，從而簡化解題步驟.該解題技巧應(yīng)用的重點在于找出能用平移來求解的圖形，具體思路為：根據(jù)已知條件平移圖形———替換所求圖形———求出結(jié)果.一般情況下，平移對象較多，可以是圓、直線、角、線段，甚至是整個圖形，該解題技巧只會帶來圖形位置的變化，不會對圖形大小、形狀造成影響.在初中數(shù)學(xué)幾何問題中應(yīng)用平移法時，幾種情況較為關(guān)鍵：平移前后的線段平行；對應(yīng)角兩邊分別平行且方向一致；對應(yīng)點連線所得線段相等且平行.一旦掌握這一解題技巧，學(xué)生遇到相似題型，將會快速掌握習(xí)題考點與解題思路，挖掘隱藏的數(shù)學(xué)要素，實現(xiàn)快速解題.

例2 如圖2（a）所示，圖中的A，B代表著兩個農(nóng)莊，l1和l2為河的兩岸，現(xiàn)在農(nóng)莊主人想垂直于河流修一座橋，借此縮短農(nóng)莊A，B之間的距離，若想實現(xiàn)距離最短，橋應(yīng)該修在哪里？

通過題干可知，該幾何問題的本質(zhì)是求兩個點之間的最短距離，與之有關(guān)的是“兩點之間線段最短”.在該思路下，可轉(zhuǎn)化圖中的一些線段，通過平移轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短的求取問題.平移思路如圖2（b）所示.

運用平移法解答此道幾何問題時，可先作BB′垂直于l2，線段BB′與兩岸之間的距離相等，連接AB′，與河道l1的交點為點P，PD垂直于l2，構(gòu)建平行四邊形.利用平行四邊形的特征，PB′=BD，兩點之間線段最短，故AB′距離最短，也就是BD+AP最短，故可確定橋要建在PD處.

三、代數(shù)法

數(shù)學(xué)知識范疇廣泛，代數(shù)和幾何是數(shù)學(xué)課程體系的兩大構(gòu)成部分，對于初中數(shù)學(xué)幾何問題而言，還可以運用代數(shù)法突破難點.在當(dāng)前教育背景下，新課標對初中數(shù)學(xué)中幾何知識的要求是：讓學(xué)生理解圖形，淡化概念識記、套用公式的做題模式，深化數(shù)學(xué)定理理解，從而靈活應(yīng)用概念知識，做到幾何問題的建模與求解.在初中數(shù)學(xué)幾何問題解題教學(xué)中，學(xué)生需要經(jīng)過學(xué)習(xí)建立“大數(shù)學(xué)”觀，發(fā)散思維，學(xué)會合理使用代數(shù)知識突破解題瓶頸.所以，在日常教學(xué)過程中，教師可傳授將特殊幾何問題轉(zhuǎn)為代數(shù)問題的方法、技巧和思路，從而簡化計算，幫助學(xué)生獲得更明晰的推理邏輯與證明思路，在解答幾何問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，依托于知識間的聯(lián)系強化學(xué)生的整體解題能力.

四、逆向思維法

證明題在初中幾何問題中的占比較大，是一種十分常見的題型，相較于計算類的幾何問題，證明類幾何問題對學(xué)生的推理能力具有較高要求，其中，推理包括正向思維推理和逆向思維推理.在一些題目中，正向思維推理可能較為復(fù)雜，推理步驟也相對較多，即便學(xué)生可以通過這一思路完成，花費的解題時間也較長，所以，教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用逆向思維解答幾何證明題.逆向思維法的本質(zhì)在于：從與題干中要證明的結(jié)論對立的結(jié)論展開，證明其與命題矛盾，即可說明要證明的結(jié)論成立.

例4 如圖4所示，圓O中有AB，CD兩條弦，均不是直徑，請證明AB與CD不能相互平分.

在該幾何問題中，根據(jù)題干內(nèi)容學(xué)生很難在短時間內(nèi)找到證明思路，所以，可從結(jié)論出發(fā)，即：假設(shè)AB與CD能夠相互平分，接著推理、求證，利用與現(xiàn)有定理的沖突，借助逆向思維證明此題.解題思路與技巧為：設(shè)弦AB和弦CD的交點為點P，連接OP，假設(shè)兩條弦能夠相互平分，這意味著AP=BP，CP=DP，而弦AB與弦CD是圓O內(nèi)兩條非直徑的弦，故OP垂直于CD，OP垂直于AB.這與“過一點有且只有一條直線同已知直線垂直”相悖，故假設(shè)不成立，證明弦AB與弦CD不能相互平分.

五、建系法

當(dāng)學(xué)生接觸幾何問題時，其已經(jīng)具備平面直角坐標系相關(guān)知識，也掌握了點、線、面等相關(guān)定理與公式，初步具備了在平面直角坐標系中處理數(shù)學(xué)問題的基本能力.在解答幾何問題時，教師可引導(dǎo)學(xué)生精準應(yīng)用建系法突破解題障礙，尤其是一些單純使用幾何知識與方法較難求解的情況，可組織學(xué)生提煉題干信息，以此為基礎(chǔ)進行平面直角坐標系的構(gòu)建，通過結(jié)合點的坐標轉(zhuǎn)化問題形式，降低問題難度，提高問題解答效率.

例5 如圖5（a），四邊形ABCD與四邊形CGEF均為正方形，前者邊長為2，后者邊長為3，點B，C，G位于同一條直線上，點M為AE中點，連接MF，求MF的值.

運用建系法解決此道幾何問題時，首先要對題干進行分析.根據(jù)題干內(nèi)容發(fā)現(xiàn)，單憑幾何知識無法解決這一問題，所以可在圖5（a）的基礎(chǔ)上建立直角坐標系，建立情況如圖5（b）所示.

結(jié) 語

綜上所述，為提高初中生解決幾何問題的效率，提升其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心，教師可圍繞常見幾何題型，總結(jié)、傳授輔助線法、平移法、代數(shù)法、逆向思維法、建系法等解題技巧，鍛煉學(xué)生的幾何問題思維，培養(yǎng)他們的空間想象能力，以及數(shù)學(xué)知識的靈活運用能力等，以實現(xiàn)解題技巧的精準、有效運用，提高學(xué)生整體解題實力.

【參考文獻】

[1]王琪瓊.借助多元解題技巧，突破初中數(shù)學(xué)幾何題解題障礙[J].數(shù)理天地（初中版），2023（19）：30-32.

[2]劉亞萍.輔助線在初中幾何解題中的應(yīng)用與技巧[J].考試周刊，2020（39）：80-81.

[3]朱清波，王海青.基于變式理論的數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)模式探究：以一道解析幾何問題的解決為例[J].數(shù)學(xué)通報，2022，61（8）：50-54.

[4]李潔.基于幾何推理能力的初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略探究：以初中“手拉手模型”幾何專題復(fù)習(xí)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（23）：46-48.

[5]陳剛.小題大做思路盡顯：初中數(shù)學(xué)一道幾何題的多種解題方法[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2020（2）：83，85.

[6]張昆.發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計研究：從“推理意識”過渡到“推理能力”的視點[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2021（10）：39-43.

[7]胡軍，嚴麗.核心素養(yǎng)導(dǎo)向下初中生數(shù)學(xué)高階思維發(fā)展路徑[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2020（10）：67-70.

[8]杜曉婷.聚焦學(xué)科核心素養(yǎng)提升數(shù)學(xué)運算能力：基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的初中“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)實踐探索[J].中學(xué)教學(xué)參考，2020（11）：8-9.

[9]謝翠蘭.核心素養(yǎng)導(dǎo)向下初中數(shù)學(xué)課堂上的師生互動：以蘇科版“探索三角形全等的條件”的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（26）：41-42，48.