一道含參不等式恒成立問題的多種解法

高曉航

【摘要】含參不等式恒成立問題作為高考中固定的一類綜合性問題，因?yàn)樗季S難度高、知識(shí)容量大，所以對(duì)學(xué)生邏輯思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力的要求較高.文章以一道高考模擬題為例，討論含參指對(duì)混合型不等式恒成立問題的求解策略，最終給出四種方法：分離參數(shù)法、隱零點(diǎn)求最值法、圖像法和放縮法.

【關(guān)鍵詞】不等式；恒成立問題；求解策略

引 言

含參不等式恒成立問題以導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)為背景，難度較大，需要學(xué)生善于觀察，靈活轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的形式和方法也不是一成不變的，因此此類題目的知識(shí)與能力的承載性極強(qiáng).下面以一道高考模擬題為例，介紹此問題中特殊的一類：含參指對(duì)混合型不等式恒成立問題的四種解題方法.

一、題目呈現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）=ex-x，g（x）=alnx+a，（a>0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若直線y=kx與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切，求a的值；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題第（1）問較為常規(guī)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出兩曲線y=f（x）和y=g（x）過原點(diǎn)的切線，聯(lián)立即可求得參數(shù)a的值.并由a=e-1可求出x2=x1=1，即兩曲線切于同一點(diǎn)，為第（2）問含參指對(duì)混合型不等式恒成立問題做鋪墊.第（2）問考查的知識(shí)點(diǎn)較全面、邏輯性強(qiáng)，下面運(yùn)用不同解法對(duì)該問題進(jìn)行探究.

二、解法探究

解法1 分離參數(shù)法

因?yàn)閑x≥x+1>x，

所以f（x）=ex-x>0恒成立.

由f（x）≥g（x），

得到ex-x≥a（lnx+1），

所以先討論g（x）≤0的情況.

綜上，a的取值范圍是（0，e-1].

評(píng)注：分離參數(shù)法，即把參數(shù)放在不等式一邊，對(duì)另一邊構(gòu)造函數(shù)，由此可將含參不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.只需進(jìn)一步研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，即可得參數(shù)取值范圍.分離參數(shù)法是處理此類問題的最基本方法.

解法2 隱零點(diǎn)求最值法

綜上可知，當(dāng)a∈（0，e-1]時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立.

評(píng)注：不等式恒成立問題的一個(gè)常規(guī)思路是：將不等式一側(cè)化為0，對(duì)另一側(cè)構(gòu)造新函數(shù)，此時(shí)該問題就轉(zhuǎn)化成了函數(shù)最值問題.但是若該不等式含參，那么構(gòu)造的新函數(shù)依然是含參函數(shù)，無法用導(dǎo)數(shù)工具直接求出最值.可以嘗試通過判斷含參函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是否存在“隱零點(diǎn)”，借助隱零點(diǎn)存在范圍，判斷所構(gòu)造含參函數(shù)的最值.“隱零點(diǎn)”與“顯零點(diǎn)”相對(duì)，指函數(shù)的零點(diǎn)雖然存在，但無法直接求出，通?？梢岳昧泓c(diǎn)存在定理判斷，不滿足此定理?xiàng)l件時(shí)可針對(duì)具體圖像分析.

解法3 圖像法

此題可以運(yùn)用圖像法來解決，首先需要判斷函數(shù)圖像的凹凸?fàn)顟B(tài).

函數(shù)f（x）=ex-x，利用求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，即f′（x）=ex-1，令f′（x）=0得到x=0.

所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增，

由此可畫出函數(shù)f（x）的大致圖像，f（x）圖像呈向下凹的狀態(tài).

然后判斷函數(shù)g（x）圖像的凹凸?fàn)顟B(tài).

其中，g（x）=alnx+a，a>0，這里的參數(shù)a對(duì)函數(shù)g（x）=alnx+a，a>0圖像的大致形狀沒有顯著影響，只改變圖像的“胖瘦”和高低位置，則函數(shù)g（x）的圖像與對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx的圖像走勢(shì)大致相同.

這樣函數(shù)f（x），g（x）的圖像呈凹凸反轉(zhuǎn)的狀態(tài).那么隨著參數(shù)a的變化，函數(shù)f（x）與g（x）有一個(gè)臨界位置，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)均與一條直線相切（如圖所示），該切線即為第（1）問中求得的直線：y=（e-1）x.隨著參數(shù)a的增大，函數(shù)g（x）的部分圖像將在f（x）圖像上方.

所以f（x）≥g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立時(shí)，參數(shù)a∈（0，e-1].

評(píng)注：此法簡(jiǎn)潔自然，三步即可確定答案.當(dāng)兩個(gè)函數(shù)解析式中分別含有指數(shù)和對(duì)數(shù)時(shí)，由于指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像本身凹凸反轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，因此可以通過分析或者求導(dǎo)判斷題目中復(fù)合函數(shù)的圖像是否也會(huì)呈現(xiàn)凹凸反轉(zhuǎn)的情況，此時(shí)可以首選圖像法.通過改變參數(shù)的值使兩個(gè)函數(shù)相切，以找到切點(diǎn)，即找到不等式成立的分界點(diǎn).當(dāng)不等式較為復(fù)雜時(shí)，那么圖像法的關(guān)鍵就在于對(duì)其進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，此處的變形是基于常見的指對(duì)同構(gòu)聯(lián)想到的，目的是使不等式左右兩邊函數(shù)的圖像呈現(xiàn)凹凸反轉(zhuǎn)的情況，同理繼續(xù)找兩函數(shù)圖像的切點(diǎn)即可.

評(píng)注：由于一些特殊的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)三者圖像之間具有臨界位置關(guān)系，所以放縮法是解決含參指對(duì)混合型不等式恒成立問題的一個(gè)巧妙方法.但是針對(duì)不同題目，放縮的選擇不同，沒有固定的放縮策略.這就需要解題者在對(duì)一些典型不等式熟悉且能運(yùn)用的情況下，有較多的知識(shí)儲(chǔ)備、放縮的意識(shí)以及靈活的思維.若能巧妙運(yùn)用放縮，將能夠快速、輕松解決含參指對(duì)混合型不等式恒成立問題.

結(jié) 語

從以上四種解題方法可以看出，解決含參指對(duì)混合型不等式恒成立問題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用函數(shù)思想：分離參數(shù)法和隱零點(diǎn)求最值法都是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，圖像法是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像問題，放縮法也可以看作是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)具有臨界位置關(guān)系的特殊函數(shù)圖像問題.同時(shí)其中也蘊(yùn)含著函數(shù)性質(zhì)問題、函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根的分布問題等.除函數(shù)思想外，數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等也是解決此類問題常用的思想方法，需要學(xué)生有意識(shí)地靈活運(yùn)用.

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