大學數(shù)學課程思政的“道”與“術(shù)”

潘璐璐 徐根玖

摘? 要：教書且育人的理念在我國有著深厚的文化基礎(chǔ)，教師依托于課程在落實課程思政的過程中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。通過探討大學數(shù)學課程實施課程思政的立足點和發(fā)力點，提出數(shù)學課程育人要依托于數(shù)學課程自身特點和專業(yè)內(nèi)涵，植根于數(shù)學教師的專業(yè)知識和專業(yè)素養(yǎng)，注重數(shù)學史特別是中國數(shù)學史的融入，以及數(shù)學不同分支知識之間的互通互融，同時也要重視教材建設(shè)。

關(guān)鍵詞：大學數(shù)學；課程思政；數(shù)學史；數(shù)學思想；數(shù)學教材

中圖分類號：G641? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2024）15-0193-04

Abstract：? The concept of teaching and educating has deep cultural deposits in our country. Teachers play a vital role in the process of implementing curriculum ideological and political. By exploring the foothold of the implementation of curriculum ideology and politics in college mathematics curriculum， this paper proposes that mathematics curriculum education should rely on the characteristics and professional connotation of mathematics curriculum， take root in the professional knowledge and professional quality of mathematics teachers， pay attention to the mathematics history， especially the history of Chinese mathematics， focus on the mutual integration of different branches of mathematics knowledge， and also pay attention to the construction of teaching materials.

Keywords： college mathematics; curriculum ideological and political; history of mathematics; mathematical thought; mathematics textbook

為人師者，信守師道，鑄就師德，是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。課堂教學是教師傳道、弘道的主陣地。在課程思政理念被系統(tǒng)提出之前，廣大教師都或多或少、有意無意在課程教學中踐行育人職責，但多呈碎片化形式，缺乏系統(tǒng)性、整體性設(shè)計。教育部印發(fā)的《高等學校課程思政建設(shè)指導綱要》指出，要明確課程思政建設(shè)目標要求和內(nèi)容重點，結(jié)合學科專業(yè)特點分類推進課程思政建設(shè)。這對新時代各門課程的育人工作提出了更具體、更高的要求。

理科課程的內(nèi)容主要是事物運行的自然規(guī)律和發(fā)展規(guī)律，具有很強的客觀性，價值屬性卻不明顯，這與人文社科類課程有很大不同。因此，相比于人文社科類課程，理科課程踐行課程思政理念存在諸多困難和挑戰(zhàn)。特別是數(shù)學課程，其主要關(guān)注“對現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系、空間形式和變化規(guī)律進行抽象，通過概念和符號進行運算與邏輯推理[1]”，幾乎不涉及意識形態(tài)問題。這對數(shù)學課程授課教師提出了新的挑戰(zhàn)。近年來針對大學數(shù)學課程思政工作，不少教師在總體目標規(guī)劃、思政元素挖掘途徑、思政元素融入教學的方法等方面都做了一些有益的探索[2-3]。

筆者認為，要落實數(shù)學課程的育人價值，應(yīng)運用好數(shù)學教師自身具有的專業(yè)知識和專業(yè)素養(yǎng)，更加專注于數(shù)學課程的特點和內(nèi)涵，以避免“表面化”“硬融入”等問題，避免讓學生產(chǎn)生“油溶于水”的感覺，真正讓數(shù)學課程思政入理入情入味、入耳入腦入心。以下對大學數(shù)學課程落實課程思政的方法和途徑進行逐一探討。

一? 大學數(shù)學課程踐行課程思政的立足點與發(fā)力點

課程思政是落實立德樹人的戰(zhàn)略舉措，是以課程為載體，將價值觀塑造融入知識傳授和能力培養(yǎng)的全過程，其目標是培養(yǎng)有用之才、創(chuàng)新之才。對于大學數(shù)學課程思政之術(shù)，筆者認為，結(jié)合數(shù)學課程的特點，可以從以下四個方面來理解與落實。

（一）? 在課程中融入數(shù)學史，再現(xiàn)數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程，促進科學思維形成

數(shù)學史是跨越時空的數(shù)學智慧，關(guān)于數(shù)學的故事跨越了幾千年，至今仍有新的篇章在加入。正如數(shù)學家陳省身先生所言：“數(shù)學是一種‘活的學問，它的內(nèi)容不斷在變化，在進展?！睌?shù)學的發(fā)展是活生生的，有血有肉的。它不斷為人們提供新概念、新方法，促進著人類思想的解放與不斷前行。

以高等數(shù)學（微積分）課程為例，微積分的思想在公元前就已經(jīng)開始萌芽。古希臘數(shù)學家阿基米德使用分割的方法解決計算面積、體積等實際問題。公元一世紀左右成書的《九章算術(shù)》中方田和商功二章也記錄了我國古代數(shù)學家計算面積和體積的方法。但由于分割方法及分割程度的問題未能解決，面積和體積的計算一直是不夠精確的，數(shù)學家們歷經(jīng)漫長的歲月也沒有取得實質(zhì)性的進展。直到17世紀，牛頓和萊布尼茲依托于前人的工作分別創(chuàng)立了微分法和積分法，并且發(fā)現(xiàn)這兩種方法實際上是對立統(tǒng)一的（具體體現(xiàn)在微積分基本定理中，也稱為牛頓-萊布尼茲公式）。但由于早期的微積分缺乏嚴格的理論基礎(chǔ)，很快就陷入了重重危機，并引發(fā)了歷史上第二次數(shù)學危機。在隨后的兩個世紀，眾多數(shù)學家如柯西、黎曼、劉維爾和魏爾斯特拉斯建立了嚴格的極限、連續(xù)、導數(shù)的定義，微積分才具有了嚴格性和精確性。然而，隨著微積分在各個領(lǐng)域的深入應(yīng)用，各種復雜的新的問題接連產(chǎn)生，微積分再次陷入了危機。直到數(shù)學家康托爾、沃爾泰拉、貝爾和勒貝格將嚴格性與精確性同集合論與艱深的實數(shù)理論結(jié)合起來之后，微積分的創(chuàng)建過程才抵達終點[4]。

但大多數(shù)高等數(shù)學（微積分）課程，一開始先把極限、連續(xù)等抽象的概念進行講授，繼而講微分，再講積分。極限定義中的“ε-N”“ε-X”“ε-δ”表述形式不僅讓學生感覺高數(shù)抽象難懂，也無法讓學生感受數(shù)學知識發(fā)展演變的真實歷程，很難感受到數(shù)學家們在數(shù)學發(fā)展歷史長河中炙熱的思考，這使得數(shù)學教學從火熱的思考走向了冰冷的美麗，變得越發(fā)“形式化”，讓學生對數(shù)學的感覺就是從定義到定理再到性質(zhì)，會計算就可以，不足以提升學生的數(shù)學思維和培養(yǎng)創(chuàng)新能力。因此，在高等數(shù)學課程教學第一節(jié)緒論課中向?qū)W生概括性介紹微積分發(fā)展歷程，讓學生了解到微積分曲折的發(fā)展歷程，感受微積分的發(fā)展不是一蹴而就的，激勵學生在課程學習過程中不斷探索，積極思考課程內(nèi)涵，打好大學數(shù)學學習的基礎(chǔ)，是十分必要的。

實際上，同微積分發(fā)展歷程一樣，數(shù)學歷史中很多學科的建立都不是一帆風順的，大多數(shù)成果都是歷經(jīng)艱難曲折才完成的。如負數(shù)和虛數(shù)的引入，雖然一開始遇到了極大阻力，但最終為數(shù)學提供了更廣泛的工具和觀點，推動了代數(shù)、分析等領(lǐng)域的深入發(fā)展；又如19世紀非歐幾何的產(chǎn)生引發(fā)了數(shù)學界的極大震動，但這一挑戰(zhàn)促使數(shù)學家重新審視幾何的基礎(chǔ)，并為后來的拓撲學等領(lǐng)域鋪平了道路；20世紀初集合論的引入也曾受到了強烈的爭議，但最終成為現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)之一；1931年哥德爾提出的不完備性定理，證明了在任何足夠強大的公理體系中，總存在一些命題是無法被證明真假的，這一發(fā)現(xiàn)打破了對數(shù)學完備性的幻想，但同時也促使了對形式主義和構(gòu)造主義等數(shù)學哲學觀點的深刻思考，推動了數(shù)學基礎(chǔ)的進一步研究?？梢钥闯?，正是由于這一次又一次被解決的困難和矛盾，才促使了數(shù)學不斷飛躍與深化?？v觀數(shù)學發(fā)展長河，許多數(shù)學家甚至沒有經(jīng)過系統(tǒng)專業(yè)的數(shù)學專業(yè)訓練，完全是憑借著自己對數(shù)學濃厚的興趣與不懈的堅持，在業(yè)余時間刻苦鉆研才取得了很多優(yōu)秀的成果。因此，在數(shù)學教學中適當融入數(shù)學發(fā)展歷程中的故事，再現(xiàn)數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程，可以使學生更好地理解數(shù)學的發(fā)展脈絡(luò)，激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣，使學生們感受到數(shù)學并不是一堆枯燥的公式，而是一個充滿創(chuàng)造性的學科，是學生形成理性的思考能力、進行素質(zhì)教育的重要途徑。

（二）? 講好中國數(shù)學史，弘揚中國數(shù)學文化

中國數(shù)學史是中國文化史的一部分，也是世界文化史的一部分[5]。雖然西方關(guān)于數(shù)學史的書籍中較少描述中國數(shù)學發(fā)展歷史，但這并不能湮滅中國數(shù)學取得的輝煌成就。每一位數(shù)學教學工作者，都有責任有義務(wù)了解并傳播中國數(shù)學在世界數(shù)學發(fā)展過程中的重要貢獻，共同推進我國的數(shù)學事業(yè)發(fā)展。

中國在十進位值制上作出了突出的貢獻[6]。在河南安陽殷墟出土的甲骨文（經(jīng)碳-14測齡，大約在公元前1 400年前）表明古代中國已經(jīng)采用了十進制，同樣的符號在周代的青銅器上也有出現(xiàn)。中國在早期的數(shù)學研究中不僅使用了十進位制，而且對其進行了深刻的思考和發(fā)展。這些概念和方法在后來的數(shù)學發(fā)展中具有持久的影響，為十進位制在全球的傳播和應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。《周髀算經(jīng)》中記載的公元前十世紀左右周公與商高的對話，“勾廣三，股修四，徑隅五”，就已經(jīng)給出了勾股定理及其證明。西漢時期張蒼編撰的《九章算術(shù)》，收集了自公元前1 000年累計下來的官方數(shù)學數(shù)據(jù)，包括了體積、面積、方程式的計算等多種數(shù)學問題，并涉及矩陣中的高斯消元法。后世的數(shù)學家們，大都是從《九章算術(shù)》開始研習數(shù)學，很多人曾為它作過注釋，其中劉徽、李淳風等人的注釋和《九章算術(shù)》一起流傳至今。《九章算術(shù)》對世界數(shù)學的發(fā)展也作出了卓越的貢獻，不僅在隋唐時期即已傳入朝鮮、日本，還被譯成日、俄、德、法等多國語言，廣泛傳播。劉徽提出的“割圓術(shù)”以及祖沖之對圓周率的計算，是我國古代極限思想的杰出代表。我國南北朝時期成書的《孫子算經(jīng)》中第一次提到了一次方程，并發(fā)現(xiàn)了中國定理，這個定理可以說是中國古代數(shù)學最富原創(chuàng)性的定理。在宋代，這項研究又推廣至待定線性方程的研究，同時也產(chǎn)生了很多優(yōu)秀數(shù)學家和著作。秦九韶使用楊輝三角形（西方也叫帕斯卡三角形）方法解決了高次方程開方問題。郭守敬推導出現(xiàn)在被稱為牛頓-斯特林公式的三次插值公式。

然而宋代以后中國數(shù)學發(fā)展逐漸滯后于西方。雖然徐光啟和李善蘭開始了中國數(shù)學發(fā)展歷史中的西學東漸，但宋代之后的數(shù)學家并沒有像漢代宋代那樣取得原創(chuàng)的進展。雖然清代康熙皇帝對數(shù)學的發(fā)展付出了相當多的努力，中國數(shù)學的輝煌歷史仍然沒有得以延續(xù)。

經(jīng)歷了一段時期的低迷之后，中國近代數(shù)學開始創(chuàng)新崛起，涌現(xiàn)出一大批卓越的數(shù)學家如華羅庚、陳省身等，他們在幾何和現(xiàn)代拓撲、解析數(shù)論、多復變分析、偏微分方程和高維數(shù)值積分等領(lǐng)域作出了許多開創(chuàng)性的工作。同時兩位先生也培養(yǎng)出了許多才華橫溢的學生如陳景潤、蘇步青、陳建功、熊慶來、吳文俊、馮康和王元等，他們在基礎(chǔ)數(shù)學、計算數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學等領(lǐng)域的研究都大放異彩，對數(shù)學的發(fā)展作出了重要的貢獻。這段時期中國數(shù)學發(fā)展既表現(xiàn)為學科廣度的拓展，也表現(xiàn)為在一些前沿領(lǐng)域的深度研究，為中國數(shù)學在國際上的地位奠定了堅實基礎(chǔ)。這個時期的數(shù)學家們以其深厚的數(shù)學功底和創(chuàng)新意識，在全球范圍內(nèi)取得了顯著的成就。

歷史的進程表明，文化和經(jīng)濟的發(fā)展對數(shù)學的進步起著至關(guān)重要的作用。一方面，要為中國古代數(shù)學取得的輝煌燦爛的成果感到自豪，另一方面，也不回避近代數(shù)學發(fā)展相對于西方的滯后。雖然我國沒有抓住工業(yè)革命的歷史機遇，后又飽經(jīng)戰(zhàn)亂和列強欺凌，導致我國科技和人才長期落后，但現(xiàn)在我國正處于政治穩(wěn)定、經(jīng)濟繁榮、創(chuàng)新活躍的時期，為加快建設(shè)世界重要人才中心和創(chuàng)新高地創(chuàng)造了有利條件。通過在數(shù)學課程教學過程中融入中國數(shù)學的發(fā)展歷史，“萬物有所生，而獨知守其根”，鼓勵莘莘學子抓住大好時機，奮發(fā)圖強，在守正中尋求創(chuàng)新，為中國數(shù)學的發(fā)展、科技的發(fā)展貢獻力量，不忘本來，開創(chuàng)未來。

（三）? 注重數(shù)學思想方法的互通互融，提高創(chuàng)新思維能力

數(shù)學思想，是對數(shù)學知識和方法經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識[7]。數(shù)學思想既體現(xiàn)在類比、歸納、演繹等數(shù)學方法中，也體現(xiàn)在數(shù)學課程具體知識點中，如極限思想、數(shù)形結(jié)合思想等，同時也體現(xiàn)在不同數(shù)學分支之間的互通互融中。在數(shù)學學習中領(lǐng)悟數(shù)學思想，是數(shù)學學習的要義所在，是大幅度提高數(shù)學思維和數(shù)學能力、靈活運用數(shù)學知識解決科學問題的重要途徑，為學生最終成長為具有深厚科學素養(yǎng)的人才奠定扎實的基礎(chǔ)，同時也是高校培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重要保障。

大學階段的數(shù)學是按課程學習的，在學習的過程中，學生往往會把每門課程孤立地進行學習，很少能將課程之間的壁壘打通，將不同分支的數(shù)學知識互通互融。以大學階段高等數(shù)學和線性代數(shù)課程為例，按照數(shù)學三大分支（分析、代數(shù)、幾何）分類方法，這兩門課程分別屬于分析和代數(shù)范疇，在研究對象、研究方法和研究思想上有著明顯的區(qū)別。但實際上，高等數(shù)學中研究微積分最重要的思想就是局部線性化，也就是我們常說的“以直代曲”，這就將分析中的非線性問題轉(zhuǎn)化為了線性問題，就可以用線性代數(shù)的知識加以詮釋[8-11]。這可以舉出很多例子。比如微積分中判斷多元函數(shù)極值的充分條件，在線性代數(shù)中就是黑塞矩陣（Hessian Matrix，即目標函數(shù)f在點x0處的二階偏導數(shù)組成的n×n階對稱矩陣）正定（負定）性的判定；在微積分中的多元函數(shù)全微分概念中，全微分的定義是用兩個偏導數(shù)的線性組合表示的，即dz=■dx+■dy，而我們也可以利用線性代數(shù)中自變量空間的基變換方法，推演出二元函數(shù)全微分的兩個方向不平行的方向?qū)?shù)的線性組合表示。這對于學生的學習來說，無疑也是具有啟發(fā)性的，對提升學生的學習興趣、提升數(shù)學思維能力和創(chuàng)新能力都是大有裨益的。教師通過在數(shù)學課程教學過程中將不同數(shù)學課程中的知識相互聯(lián)系，可以使學生更全面地理解數(shù)學的整體結(jié)構(gòu)和應(yīng)用，提高數(shù)學素養(yǎng)和解決實際問題的能力。這也有助于打破課程之間的壁壘，使學生更好地理解數(shù)學的整體框架。

此外，數(shù)學課程與其他課程之間也有非常多的思想與方法上的互通互融。例如，微積分和線性代數(shù)中的思想和方法在物理學和工程學中有著廣泛的應(yīng)用。微積分被廣泛用于解決質(zhì)點和剛體的運動方程、計算熱量的傳遞和功的產(chǎn)生、描述電場和磁場的分布、解決電磁感應(yīng)和電磁場變化、描述流體運動方程等問題，線性代數(shù)提供了對位移、速度和力等物理量進行向量表示和運算的方法、描述剛體的旋轉(zhuǎn)和平移、對信號在不同域進行表示和分析、對線性時不變系統(tǒng)進行建模和分析等。又如離散數(shù)學中的思想和方法在計算機科學中具有重要的地位。數(shù)值分析中如數(shù)值逼近和數(shù)值優(yōu)化，在計算機科學領(lǐng)域中處理大規(guī)模數(shù)據(jù)和優(yōu)化問題也起到了非常重要的作用。而概率論與統(tǒng)計思想與方法在經(jīng)濟學中也得到廣泛應(yīng)用。在數(shù)學課程的講述過程中，如能通過簡單的實際應(yīng)用案例作為引入，最后再用所學的數(shù)學知識解決問題形成知識閉環(huán)，可以使學生建立起更為統(tǒng)一和深入的數(shù)學知識體系，提升學生將數(shù)學應(yīng)用于實際問題的能力。

（四）? 加強教材建設(shè)，發(fā)揮教材啟發(fā)心智的作用

教材是教學過程中非常重要的教學資源，不僅是知識的載體，還是在教學活動中師生之間交流的基本資料。然而數(shù)學教材上的數(shù)學，經(jīng)過多次的加工，刀斧的痕跡，清晰可見。正如數(shù)學家和數(shù)學史家克萊因（M·Kline，1908—1992年）所說，這樣的數(shù)學教材會使人覺得數(shù)學家們可以理所當然地從定理到定理，數(shù)學家們能克服任何困難。對于學生而言，他們在一開始學習數(shù)學課程的時候，就被淹沒在成串的定理中。這也造成了在很長一段時間里，實際的數(shù)學教育往往偏重于數(shù)學理論的灌輸，少有啟發(fā)心智的內(nèi)容，往往使學生感到數(shù)學的抽象難懂、遙不可及。打個比方這就好比蓋房子，現(xiàn)有的教材呈現(xiàn)給學生的是一棟完整的、功能齊全的建筑物，學生很難探究房子是如何建造出來的，但實際上在建造房子的過程中要歷經(jīng)一系列的工序，甚至有可能存在出現(xiàn)問題進行返工的情況。正因為現(xiàn)有的大多數(shù)數(shù)學教材內(nèi)容往往都是“定義—定理—計算”的內(nèi)容安排，會讓學生感覺數(shù)學是一門枯燥乏味的學科，很多人對數(shù)學學習產(chǎn)生了畏懼心理。

一方面，可以在數(shù)學教材中增加數(shù)學的發(fā)展歷史，這就像在給學生展示房子建造的全過程，讓數(shù)學活起來，啟發(fā)學生更好地探索數(shù)學思想的產(chǎn)生根源，加深對數(shù)學本質(zhì)的認識，進一步幫助學生樹立科學的數(shù)學觀和辯證唯物主義的認識觀。另一方面，增加數(shù)學教材中的啟發(fā)性內(nèi)容，而非單一地羅列定義、定理、例題。舉個例子，線性代數(shù)中特征值特征向量的概念在工程中有著廣泛的應(yīng)用，但大多數(shù)線性代數(shù)教材都是直接給出其定義（當Ax=λx，非零向量x是矩陣A的特征向量，λ是非零向量x對應(yīng)的特征值）。這個定義對于學習過線性代數(shù)課程的學生應(yīng)該是爛熟于心的，可是為什么這么定義？這個簡潔的定義背后有著怎樣的深層次含義？筆者在給學生進行這部分知識講授的時候，會從特征值、特征向量的英文名稱（eigenvalue，eigenvector）進行引入，eigen作為一個德文詞根，它的意思是本征、特征、特有，突出了特征值和特征向量與給定矩陣的內(nèi)在性質(zhì)的關(guān)聯(lián)，強調(diào)它們是該矩陣特有的屬性。借助于MATLAB軟件中的eigshow功能，可以很直觀地看到一個確定的二維矩陣A和平面上的所有向量x相乘時，向量Ax的方向有時會與向量x的方向保持一致（當然也不是所有的二維矩陣都具有這個結(jié)論，這個問題可以留給學生課后思考），只是長度可能會發(fā)生一些改變，這些方向不變的非零向量即為特征向量，可以看作為矩陣的一個固有屬性，因此就有了Ax=λx。然后再引出特征值和特征向量的定義，這樣可以使得學生對定義理解更為直觀，而不是僅僅背住了公式，只是會計算而已。以這種引導式啟發(fā)式的方式重新構(gòu)建我們的數(shù)學教材，筆者認為是一種有益的嘗試。

二? 結(jié)束語

課程是落實立德樹人的主要載體，教師是課程思政的執(zhí)行者和實施者，而課程思政的根本目標是人才培養(yǎng)。一方面，教師要主動開闊自己的視野，豐富自己的知識儲備，砥礪德行，身正為范；另一方面，課程思政要因課程而異，數(shù)學教師要更多從數(shù)學的視角挖掘思政元素，通過數(shù)學的具體例子，引導學生進行德育思考，同時作為數(shù)學教師也可以更得心應(yīng)手收放自如，使得育人工作更有成效。我們始終認為，落實課程思政的過程是孕育更多卓越教師的過程，也是切實落實培育人、塑造人的過程。全面、精準地在課程教學中實施課程思政，是實現(xiàn)教育大計的堅實基礎(chǔ)。

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