課例：函數(shù)的奇偶性

陳鑫 湯高敏

摘要：?奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì).“函數(shù)的奇偶性”的教學(xué)按照研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，通過問題串的形式，再適當(dāng)融入數(shù)學(xué)文化來組織，以幫助學(xué)生更好地完成對“奇偶性”概念的建構(gòu)和理解.

關(guān)鍵詞：函數(shù)的奇偶性；問題串；數(shù)學(xué)文化

1 教學(xué)內(nèi)容分析

“函數(shù)的奇偶性”是人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊第三章第二節(jié)的內(nèi)容.一方面，函數(shù)的奇偶性是繼函數(shù)的單調(diào)性后的又一重要性質(zhì)，它延續(xù)了研究函數(shù)單調(diào)性的方法；另一方面，它也為后續(xù)研究函數(shù)的周期性以及冪函數(shù)、三角函數(shù)等奠定基礎(chǔ).

1.1 教學(xué)目標(biāo)

（1）經(jīng)歷函數(shù)奇偶性的探究過程，進(jìn)一步體會研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法；

（2）通過對具體函數(shù)奇偶性的探究，會用符號語言刻畫函數(shù)圖象關(guān)于y軸或原點對稱，了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義，體會奇偶函數(shù)命名的由來；

（3）會利用函數(shù)奇偶性的定義和函數(shù)圖象特征判斷具體函數(shù)的奇偶性；

（4）在函數(shù)奇偶性概念的形成過程中感受數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

1.2 教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義.

教學(xué)難點：從具體函數(shù)的圖象特征到數(shù)量刻畫，再進(jìn)一步抽象出符號語言的過程.

2 教學(xué)過程

2.1 情境引入

師：我們是如何研究函數(shù)的單調(diào)性和最值的？

生1：具體函數(shù)—圖象特征—數(shù)量刻畫—符號語言—抽象定義.

師：下面我們將繼續(xù)采用這種研究方法研究函數(shù)的其他性質(zhì).

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)研究函數(shù)性質(zhì)的一般思路、方法，為接下來研究函數(shù)的奇偶性做準(zhǔn)備.

2.2 新知探究

師：請同學(xué)們畫出函數(shù)f（x）=x2和g（x）=2－|x|的圖象，并觀察這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征？

生2：如圖1，這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對稱.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)偶函數(shù)的圖象特征.

師：我們以f（x）=x2為例，探究如何從數(shù)的角度刻畫其圖象關(guān)于y軸對稱.

師：由于圖象本質(zhì)上是由點所構(gòu)成的集合，我們不妨取一些特殊點來觀察.

師：觀察表1數(shù)據(jù)，同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)什么？

生3：f（－3）=9=f（3）;f（－2）=4=f（2）;f（－1）=1=f（1）.當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值相等.

師：這個規(guī)律是否具有一般性？我們借助信息技術(shù)來看一看（利用GGB演示：在f（x）=x2圖象上任取兩點，

當(dāng)這兩點橫坐標(biāo)互為相反數(shù)時，縱坐標(biāo)相同）.

師：也就是說，“圖象關(guān)于y軸對稱”等價于“自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值相等”.

設(shè)計意圖：由“形”到“數(shù)”，得到函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱的數(shù)量刻畫.

師：那現(xiàn)在我們就得到了函數(shù)f（x）=x2的圖象關(guān)于y軸對稱的數(shù)量刻畫.進(jìn)一步地，如何用符號語言來描述呢？

生4：?x∈R，都有f（－x）=（－x）2=x2=f（x）.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生自然地得到“函數(shù)f（x）=x2圖象關(guān)于y軸對稱”的符號語言表征，并在過程中體會“”符號的由來，發(fā)展學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng).

師：請同學(xué)們仿照上述表達(dá)方式，用符號語言描述g（x）=2－|x|的圖象關(guān)于y軸對稱.

生5：?x∈R，都有g(shù)（－x）=2－|－x|=2－|x|=g（x）.

設(shè)計意圖：借助實例讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱的符號語言表征，并為后續(xù)抽象出偶函數(shù)的符號語言表征做準(zhǔn)備.

師：如何用符號語言描述函數(shù)y=f（x），x∈I的圖象關(guān)于y軸對稱？

生6：?x∈I，都有f（－x）=f（x）.

設(shè)計意圖：從具體函數(shù)到一般函數(shù)，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力及數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

師：如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那它的定義域有什么特點？

生7：定義域關(guān)于原點對稱.

師：鑒于定義域?qū)瘮?shù)奇偶性判斷的重要性，我們將上述所得的符號語言作進(jìn)一步補充，即?x∈I，－x∈I，且f（x）=f（－x）.一般地，我們把滿足這一條件的函數(shù)叫做偶函數(shù).

設(shè)計意圖：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)定義域?qū)瘮?shù)奇偶性判斷的重要性，并在定義中將定義域關(guān)于原點對稱這一條件顯性化.

師：接下來請通過小組合作，探究以下問題.

（1）函數(shù)f（x）=x和g（x）=?1?x?的圖象有何共同特征？

（2）如何用符號語言準(zhǔn)確描述這一共同特征？

（3）如何用符號語言準(zhǔn)確描述函數(shù)y=f（x），x∈I的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱？

生8：（1）……；（2）……；（3）?x∈I，－x∈I，且f（－x）=－f（x）.

師：類似地，我們把滿足這樣條件的函數(shù)叫做奇函數(shù).

設(shè)計意圖：放手讓學(xué)生通過類比的方式研究奇函數(shù)，不僅能促進(jìn)數(shù)學(xué)知識、方法的有效遷移，還能加深學(xué)生對奇偶性概念的理解.

師：在前面的學(xué)習(xí)中，我們定義了兩類新的函數(shù)，分別是偶函數(shù)和奇函數(shù).那同學(xué)們知道為什么要這樣命名嗎？

師：我們不妨來分別觀察兩組函數(shù)y=x2，y=x4，y=x6與y=x，y=x3，y=x5的圖象，說說它們分別具有怎樣的對稱性？（用幾何畫板呈現(xiàn)圖象.）

生9：y=x，y=x3，y=x5的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，y=x2，y=x4，y=x6的圖象關(guān)于y軸對稱.

師：請同學(xué)們再觀察一下，上述函數(shù)中，圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)的自變量的次數(shù)有什么特點？關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的呢？

生10：上述函數(shù)中，圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)的自變量的次數(shù)都為偶數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)的自變量的次數(shù)都為奇數(shù).

師：同學(xué)們得到了一個偉大的發(fā)現(xiàn)！實際上，著名數(shù)學(xué)家歐拉正是由此首次提出了奇、偶函數(shù)的概念.后來隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，奇、偶函數(shù)又進(jìn)一步得到了推廣，形成了如今的奇、偶函數(shù)概念.

設(shè)計意圖：借助部分正整數(shù)次冪的冪函數(shù)圖象，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其共同特征——對稱性，并通過追問發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而引出奇、偶函數(shù)的概念，讓學(xué)生經(jīng)歷奇函數(shù)、偶函數(shù)概念的產(chǎn)生過程，了解命名的由來，獲得良好的數(shù)學(xué)體驗.此外，通過穿插數(shù)學(xué)史，學(xué)生能體會其中所蘊含的數(shù)學(xué)文化，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

2.3 數(shù)學(xué)運用

練習(xí)1?判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1）f（x）=x+?1?x?；

（2）f（x）=?x2－x?x－1?；

（3）f（x）=?x－2?+?2－x?.

設(shè)計意圖：再一次體會定義域?qū)瘮?shù)奇偶性判斷的重要性，掌握用定義判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟.

練習(xí)2?（1）判斷函數(shù)f（x）=x3+x的奇偶性.

（2）圖2是函數(shù)f（x）=x3+x圖象的一部分，你能根據(jù)它的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？

（3）一般地，若y=f（x）為奇（偶）函數(shù)，如何簡化對它的研究？

設(shè)計意圖：進(jìn)一步讓學(xué)生鞏固利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法，學(xué)會根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的對稱性解決問題，體會奇偶性的作用——簡化對函數(shù)的研究.

練習(xí)3?已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=x（1+x），求f（x）的解析式.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生學(xué)會利用奇偶性求函數(shù)的解析式.

2.4 回顧小結(jié)

（1）我們是如何開展對函數(shù)奇偶性的研究的？

（2）完成表2：

（3）如何用定義判斷函數(shù)的奇偶性？

設(shè)計意圖：通過（1），進(jìn)一步深化對研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法的認(rèn)識，提升研究性思維.通過（2），加深對奇、偶函數(shù)概念和幾何意義的理解.通過（3），進(jìn)一步掌握用定義判斷函數(shù)奇偶性的一般方法、步驟.