不忘初“型”，方得始終

周方旦 高明

我們知道，函數(shù)f（x）=x+kx（k>0），對其求導(dǎo)得 f′（x）=1－kx2（x≠0），

令f′（x）>0得x>k或x<－k;f′（x）<0，得－k0）

在區(qū)間（－∞，－k），（k，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（－k，0），（0，k）上單調(diào)遞減，且當(dāng)x=－k時f（x）取得極大值，當(dāng)x=k 時f（x）取得極小值，由于其圖像類似“雙勾”形狀，故我們稱其為雙勾函數(shù)，這類函數(shù)在解題中經(jīng)常會遇到，且許多看似不是雙勾函數(shù)的問題，都可以轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)來處理，所以雙勾函數(shù)可以作為一種解題模型.本文通過幾例予以探究.

例1設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax－1（x>2）.

（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的最小值;

（2）當(dāng)0

解析：（1）把a(bǔ)=2代入f（x）=x+ax－1得f（x）=x+2x－1=（x－1）+2x－1+1，因?yàn)閤>2，所以x－1>1 ， 令t=x－1，所以f（t+1）=t+2t+1，其中t>1，因?yàn)閥=t+2t在（1，2）單調(diào)遞減，在［2，+∞）單調(diào)遞增，所以原函數(shù)f（x）min=22+1.

（2）當(dāng)01），因?yàn)閥=t+at在（0，a］單調(diào)遞減，在［a，+∞）單調(diào)遞增，由于t>1所以原函數(shù)無最小值，因此值域?yàn)椋╝+2，+∞）.

評注：本題通過對求解函數(shù)進(jìn)行配湊，然后再將其換元，轉(zhuǎn)化為f（t）=t+at（a>0）形式，結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性以及自變量t的取值范圍，求出函數(shù)最值或值域，求解過程中要特別注意新元的范圍.

例2當(dāng)x>－2時，求f（x）=x2－4x+1x+2的最小值.

解析：由f（x）=（x+2）2－8（x+2）+13x+2－8，因?yàn)閤>－2，所以x+2>0，令t=x+2（t>0），所以f（t－2）=t+12t－8（t>0）.該函數(shù)在（0，13］單調(diào)遞減，在（13，+∞）單調(diào)遞增，所以f（x）min=213－8.

例3求函數(shù)f（x）=xx2+2x+2（x>0）的最大值.

解析：由f（x）=xx2+2x+2=1x+2x+2，因?yàn)閤>0，此處令g（x）=x+2x，由于

g（x）=x+2x在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增，所以g（x）min=22，所以f（x）max=2－12.

評注：求解中有同學(xué)會把該題型與分離變量的問題搞混淆，本題中原函數(shù)的分子為一次函數(shù)而分母為二次函數(shù)，注意到這個特征再將其轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)，從而問題得到解決.

變式求函數(shù)g（x）=x+2x2+6x+10（x＞-2）的值域.

解析：函數(shù)g（x）=x+2x2+6x+10（x>－2）可以整理為g（x）=x+2（x+2）2+2（x+2）+2，再轉(zhuǎn)化得g（x）=1（x+2）+2x+2+2. 令x+2=t，由于x>－2，所以t>0，故g（t－2）=1t+2t+2，令h（t）=t+2t（t>0），根據(jù)其單調(diào)性得h（t）≥22，所以0

例4已知x>0，y>0，且4x+2y－xy=0，求2x+y的最小值.

解析：由題意4x+2y=xy，兩邊同時除以xy得2x+4y=1，所以2x+y=（2x+y）（2x+4y）=2yx+8xy+8.令yx=t，則t>0，所以2x+y=2t+8t+8=2（t+4t）+8，由于y=t+4t在［0，2］單調(diào)遞減，在［2，+∞］單調(diào)遞增，所以（2x+y）min=16.

變式已知 x>0，y>0，x+3y+xy=9，求x+3y的最小值.

解析：本題中由于等式中出現(xiàn)了常數(shù)9，可以采用代入消元法，由x+3y+xy=9，得x=9－3yy+1，所以x+3y=9－3y1+y+3y=－3（y+1）+12y+1+3（y+1）－3，令t=y+1，由于x>0，所以0

例5已知 f（x）=8x（x2+1）2x4+5x2+2（x>0），求f（x）的最大值.

解析：整理f（x）=8x（x2+1）2x4+4x2+2+x2=8x（x2+1）2（x2+1）2+x2=82（x2+1）x+x（x2+1）.

令x2+1x=t，則f（x）=82t+1t，由于t=x+1x（x>0），所以t≥2，令g（t）=2t+1t（t≥2），g（t）=2（t+12t），該函數(shù)是以雙勾函數(shù)為主體結(jié)構(gòu)的一個函數(shù)，可知函數(shù)g（t）在（0，22）單調(diào)遞減，在（22，+∞）上單調(diào)遞增，由于t≥2，所以g（t）min=g（2）=92，原函數(shù)g（x）max=169.

評注：本例題借助一個分式函數(shù)，通過適當(dāng)?shù)淖冃螌⑵浞帜皋D(zhuǎn)化為一個雙勾函數(shù)，在轉(zhuǎn)化過程中g(shù)（t）=2t+1t如果用基本不等式去求可知2t+1t≥22，但要求2t=1t而等式才成立，而t=22顯然不在t≥2范圍內(nèi)，所以用基本不變式無法求最小值，所以繼續(xù)將g（t）=2t+1t轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)求最小值，本題中出現(xiàn)了雙勾函數(shù)中嵌套了雙勾函數(shù)，特別要注意換元之后變量的取值范圍.

本文主要針對高中階段出現(xiàn)的分式型函數(shù)f（x）=ax+bmx2+nx+p，或者g（x）=mx2+nx+pax+b型函數(shù)最值和值域問題，在處理此類問題的時候，關(guān)鍵是將分子或分母的一次代數(shù)式換元，再對分式進(jìn)行變形，將其轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)模型求解，其求解過程中既能提升學(xué)生的觀察能力，也能培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化和化歸解題素養(yǎng).