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      平面向量模問題的求解策略研究

      2024-05-23 13:15:19徐志剛
      中學數學研究 2024年4期
      關鍵詞:特殊化真題變式

      徐志剛

      平面向量是高考命題的重要考點,尤其是平面向量模的問題,時常出現在高考題的填空題中.我們知道,向量既有大小又有方向,這里的大小就是指向量的模,也叫向量的長度.計算向量的模或模的最值(取值范圍)是一類常考題型.那么這類問題該如何破解,本文從一道高考真題談起.

      真題(2023年新課標Ⅱ卷第13題)已知向量,滿足-=3,+=2-,則=.

      本題題干中的兩個向量滿足的條件都是以向量模的形式出現,無論是已知條件還是所求結論都統一到向量的模這個“焦點”上,主題十分明確.可以說,本題是一道語言精煉,考點明確不可多得的好題.那么這道題該如何解呢?

      首先,我們都知道向量模的運算往往與兩類的數量積有關,于是出現了一下兩種思路:

      思路1直接利用向量數量積的律運算求解

      解法1:[HT]因為+=2-,即+2=2-2,則2+2·+2=42-4·+2,整理得2-2·=0,又因為-=3,即-2=3,則2-2·+2=2=3,故=3.

      思路2換元再結合數量積的運算律求解

      解法2:設=-,則=3,+=+2,2-=2+,由題意可得+22=2+2,則2+4·+42=42+4·+2,整理得2=2,即==3.

      上述兩種解法只是表述上的不同,實質是一致的,有時應用了向量的數量積運算的有關公式.其實,在求解向量問題時,還有一種方法不可忽視,那就是坐標法.

      思路3引入向量坐標,轉化為方程組

      解法3:不妨將已知條件特殊化,把向量,的起點都放在原點上,且它們的終點都在x軸上,令=(m,0),=(n,0),則||=|n|.由-=3得|m-n|=3m-n=±3;由+=2-得|m+n|=|2m-n|m=2n或m=0,所以由m-n=3,

      m=2n 得n=3;由m-n=-3,

      m=2n 得n=-3;由m-n=3,

      m=0 得n=-3;m-n=-3,

      m=0 得n=3.

      綜上可知n=±3,故||=|n|=3.

      解答高考題,直接法固然是最常用的方法,但對于單選題與填空題來說,特殊化法有時省時又省力,值得嘗試.

      思路4應用特殊化思想

      解法4:當=0時,+=2-恒成立,于是由-=3得=3.

      點評:從以上四種解法中不難看出,處理向量模的問題,一般有兩種方法,一種是依據向量的數量積與向量的模之間的關系式:||2=·;另一種方法就是將向量坐標化,把原問題轉化為解析幾何或代數問題求解.

      為了更好的研究這類問題,我們不妨將上述高考真題加以變式后再作研究.

      變式1已知平面內非零向量,,滿足<+,>=π3,||=2,|+|=1,則-=.

      分析:由已知條件可求得||=3,2·=-6,將-平方展開代入求值即可得答案.

      解析:因為<+,>=π3,||=2,|+|=1,

      所以[(+)-]2=|+|2+||2-2|+|·||cosπ3=3,所以||=3,

      又因為|+|=1,兩邊平方得||2+||2+2·=1,解得2·=-6,所以-2=||2+||2-2·=4+3+6=13,所以-=13.

      點評:本題中含有“<+,>=π3”的條件,不適宜用坐標法,只需應用向量的數量積運算的定義和相關運算法則.

      變式2已知平面向量,,中,||=3,||=1,-·-=0,且-=-,則的最大值為 .

      分析:根據題意可設-=x,y,-=-y,x,再利用||=3,||=1可得x2+y-32=1,寫出的表達式利用幾何意義即可求得≤6+1.

      解析:由(-)·(-)=0且-=-,不妨設-=x,y,-=(-y,x),又因為||=3,||=1,不妨設=3,0,則=(x+3,y),=3-y,x,又=3-y2+x2=1,即x2+y-32=1.所以(x,y)的軌跡是以(0,3)為圓心,半徑r=1的圓,而=x+32+y2表示x,y與-3,0之間的距離,顯然圓心0,3與-3,0之間的距離為d=6,所以d-r≤≤d+r,即的最大值為6+1.

      點評:本題屬于模的最值問題,最后的方法是數形結合,揭示向量的幾何意義,所以坐標法是首選.

      變式3已知平面向量、、滿足·=0,=1,-=-=5,則12+12-的取值范圍為.

      分析:設=1,0,=x1,y1,=x2,y2,作OA=,OB=,OC=,則C1,0,求出線段AB的中點M的軌跡方程為x-122+y2=494,可得出12+12-=CM,設點D12,0,由CM=DM-DC結合向量模的三角不等式可求得12+12-的取值范圍.

      解析:如圖1,設=1,0,=x1,y1,=x2,y2,作OA=,OB=,OC=,則C1,0,則-2=x1-12+y21=25,-2=x2-12+y22=25,·=x1x2+y1y2=0.

      令OM=12+=x,y,即x1+x22,y1+y22=x,y, x2+y2=x1+x22+y1+y224=x21+y21+x22+y224=x1-12+y21+x2-12+y22+2x1+x2-24=4x+484=x+12,整理得x-122+y2=494, 故點M的軌跡方程為x-122+y2=494,又12+12-=OM-OC=CM.設點D12,0,圓D的方程為x-122+y2=494,半徑r=92,因為CM=DM-DC,且DM=72,DC=12,所以CM=DM-DC≥DM-DC=3,CM=DM-DC≤DM+DC=4.

      即3≤CM≤4,即3≤12+12-≤4.

      故12+12-的取值范圍是3,4.

      點評:本題考查向量模的取值范圍的求解,對于較為復雜的題型,一般可以考慮將向量特殊化、坐標化來處理,利用解析法結合平面幾何的相關知識、向量模的三角不等式來求解.

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