遞推:貫穿數(shù)列教學(xué)的始終

徐蘭 黃俊赟

遞推是數(shù)列的靈魂，是序列計(jì)算的一種常用算法，是按照一定的規(guī)律來(lái)計(jì)算序列中的每一項(xiàng).其思想是把一個(gè)復(fù)雜的龐大的運(yùn)算過程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單過程的多次重復(fù).已知一個(gè)數(shù)列｛an｝第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系用一個(gè)公式來(lái)表示就是這個(gè)數(shù)列的遞推公式.這是數(shù)列的一種表示方法.遞推是數(shù)列的本質(zhì)屬性，也是它與其他函數(shù)的最大區(qū)別，本文從遞推的視角來(lái)縱觀數(shù)列全章.

1.遞推的初步理解——等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式推導(dǎo)

等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式是高中數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，這兩個(gè)公式的推導(dǎo)是教師引導(dǎo)學(xué)生從遞推的視角來(lái)研究數(shù)列問題的起始階段.等差數(shù)列中，，an+1-an=d，∴an=an-1+d=an-2+2d=…=a1+（n-1）d.通項(xiàng)公式可以通過遞推、迭代得到.等比數(shù)列中，an+1an=q，∴an=an-1q=an-2q2=a1qn-1課本中用累加法和累乘法來(lái)展現(xiàn)這一過程，本質(zhì)就是遞推.所以累加、累乘是相鄰遞推公式求通項(xiàng)的最常用的方法.教師在課堂中要引導(dǎo)學(xué)生自主探索，理解等差、等比數(shù)列的遞推公式的特點(diǎn)：從第二項(xiàng)開始，描述數(shù)列中每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差或商的關(guān)系.

在推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式時(shí)，教師無(wú)需落入俗套，可以順應(yīng)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生從遞推的角度來(lái)研究.已知等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)為a1，公差為d，那么前n項(xiàng)和Sn怎么用a1、d和n來(lái)表示呢？∵Sn+1=a1+a2+…+an+1=a1+（a1+d）+（a2+d）+…+（an+d）=Sn+a1+nd.∴Sn+1-Sn=a1+nd.∴S2-S1=a1+d，S3-S2=a1+2d，Sn-Sn-1=a1+（n-1）d，各式相加得Sn-S1=（n-1）a1+（1+2+3+4+…+（n-1））d，∴Sn=na1+（1+2+3+4+…+（n-1））d.求和研究方法此時(shí)遇到了難題就是自然數(shù)列的求和，卻為倒序相加法的出現(xiàn)提供了好的契機(jī).再看等比數(shù)列，已知等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)為a1，公比為q，那么前n項(xiàng)和Sn怎么用a1、q（q≠1）和n來(lái)表示呢？Sn+1=a1+a2+…+an+1=a1+qSn.遞推關(guān)系已經(jīng)建立，那么怎么推出求和公式呢？這個(gè)遞推關(guān)系相對(duì)學(xué)生比較陌生，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生利用已有的數(shù)列知識(shí)來(lái)解決問題.思路一：Sn+1=Sn+an+1=a1+qSn，∴Sn=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q.課本中的錯(cuò)位相減法學(xué)生很難想到，而這樣的推導(dǎo)的本質(zhì)解釋了錯(cuò)位相減法從何而來(lái)，把這個(gè)方程的求解過程詳細(xì)展示出來(lái)就是錯(cuò)位相減法.思路二：從遞推關(guān)系入手，Sn+1=a1+qSn，如果沒有常數(shù)a1，那么數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，那么這個(gè)常數(shù)該怎么擺放還是一個(gè)等比數(shù)列呢？學(xué)生會(huì)做出各種嘗試，會(huì)想到待定系數(shù)法，Sn+1+x=q（Sn+x），解之x=a1q-1，Sn+1+a1q-1=q（Sn+a1q-1）.∴｛Sn+a1q-1｝是以a1qq-1為首項(xiàng)，公比為q的等比數(shù)列.∴Sn+a1q-1=a1qq-1qn-1=a1qnq-1，∴Sn=a1（1-qn）1-q.筆者認(rèn)為關(guān)于遞推關(guān)系an+1=pan+q的通項(xiàng)求解，如果說(shuō)要在課本中找到這個(gè)遞推關(guān)系的本源那么就應(yīng)該是出自這里了.經(jīng)歷了這樣一個(gè)過程，學(xué)生對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí)不會(huì)停留在通項(xiàng)公式上，而是數(shù)列的遞推公式，對(duì)遞推公式的理解也深刻很多，為后面的復(fù)雜遞推公式求解通項(xiàng)埋下伏筆.

2.遞推的深度應(yīng)用——累加法、累乘法的另辟蹊徑

數(shù)列的遞推關(guān)系滿足an+1-an=f（n）或者an+1an=f（n）時(shí)，分別用累加法和累乘法計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式，但是計(jì)算過程比較繁瑣，還要檢驗(yàn)首項(xiàng)，學(xué)生容易出錯(cuò).如果對(duì)f（n）進(jìn)行拆分成n+1與n的數(shù)學(xué)關(guān)系，那么我們可以用整體的思想構(gòu)造出幾個(gè)最基本的遞推關(guān)系：常數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的遞推關(guān)系，從而優(yōu)化求解.如已知數(shù)列{an}中，an+1-an=2n，a1=1，求an·an+1-an=2n+1-2n，∴an+1-2n+1=an-2n=a1-2=-1，∴an=2n-1.把2n拆分成2n+1-2n實(shí)現(xiàn)了從n+1遞推到n，再分別與an+1和an結(jié)合，分別把a(bǔ)n+1-2n+1和an-2n看成一個(gè)整體bn+1和bn，構(gòu)造出了最基本的常數(shù)列遞推關(guān)系bn+1=bn=b1.推廣到一般化an+1-an=stn，a1=1，（其中s，t為常數(shù)）.拆分時(shí)用上待定系數(shù)法，an+1-an=k（tn+1-tn），則k（t-1）=s，求出k=st-1.∴an+1=-k·tn+1=an-k·tn=a1-kt.從而求出an.再如an+1an=3（n+2）n+1，a1=1，觀察遞推關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)等式的左邊an從n遞推到n+1，等式的右邊從n+1遞推到n+2，遞推的數(shù)量是一致的，所以構(gòu)造an+1n+2=3ann+1，令ann+1=bn，∴bn+1=3bn，b1=12，構(gòu)造出了基本的等比遞推關(guān)系，再求解通項(xiàng).如果遇到an+1an=n+2n呢？我們又該如何處理？我們發(fā)現(xiàn)左邊an中的下標(biāo)從n遞推到n+2;右邊從n遞推到n+2，兩邊的遞推數(shù)量不一致，直接通過結(jié)構(gòu)變化構(gòu)造遞推關(guān)系不能成功，有沒有辦法能夠通過增加項(xiàng)來(lái)實(shí)現(xiàn)遞推數(shù)量的統(tǒng)一呢？在等式的右邊分子分母同乘n+1得到an+1an=（n+2）（n+1）（n+1）n，把n（n+1）看成一個(gè)整體，等式的右邊就實(shí)現(xiàn)了從n到n+1的遞推，再進(jìn)行結(jié)構(gòu)的變化得到an+1（n+2）（n+1）=an（n+1）n.得到了常數(shù)列an（n+1）n=a12，求出通項(xiàng)公式an.

3.遞推的深刻理解——一般數(shù)列求和方法的豁然

一般數(shù)列的求和方法中，最重要的就是裂項(xiàng)求和法和錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)求和的本質(zhì)就把通項(xiàng)公式裂成有遞推關(guān)系的兩項(xiàng)之差，從而達(dá)到消掉相同項(xiàng).比如an=1n（n+1）=1n-1n+1.

理解了以上，我們不妨思考適合錯(cuò)位相減法的通項(xiàng)公式是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列構(gòu)成的，從理論上也可以實(shí)現(xiàn)裂項(xiàng)形式.如an=（n+1）2n，觀察這個(gè)式子，根據(jù)之前遞推公式構(gòu)造的思路，我們要把（n+1）2n裂成兩項(xiàng)之差，可以用待定系數(shù)法：［A（n+1）2+B（n+1）+C］·2n+1-［An2+Bn+C］·2n=2n［An2+（4A+B）n+2A+2B+C］=（n+1）2n.∴Sn=（1·22-0）+（2·23-22）+（3·24-2·23）+（4·25-3·24）+…+n·2n+1-（n-1）·2n=n·2n+1.顯然可見，比錯(cuò)位相減法的運(yùn)算量要小很多.所以遞推，貫穿于數(shù)列學(xué)習(xí)的始終.

4.遞推的綜合應(yīng)用——高考命題的熱點(diǎn)

建立數(shù)列的遞推關(guān)系是數(shù)列的應(yīng)用和其他數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合的重要方法，也成為數(shù)列試題重要的命題方向.2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷第21題，通過全概率公式構(gòu)建了數(shù)列的遞推關(guān)系，是數(shù)列與概率的綜合.23年的上海數(shù)學(xué)高考題考察了數(shù)列與函數(shù)的綜合，也是運(yùn)用迭代思想解決問題.

題目： 甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且PXi=1=1－PXi=0=qi，i=1，2，…，n，則E∑ni=1xi=∑ni=1qi．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）．

解：（1）設(shè)“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，則P（B2）=

P（A1·B2）+P（B1·B2）=P（A1）·P（B2|A1）+P（B1）·P（B2）|B1）=05·0.4+05·08=06.

（2）設(shè)P（Ai）=pi，P（Ai）=pi=P（Ai-1·Ai）+P（Bi-1·Ai）=P（Ai-1）·P（Ai|Ai-1+P（Bi-1）·P（Ai|Bi-1）=0.6·pi-1+（1-pi-1）·0.2=0.4pi-1+0.2（n≥2），得到一組遞推公式pi=25pi-1+15，pi+x=25（pi-1+x），解之x=-13，∴pi-13=25（pi-1-13）.又pi=12，∴pi-13=16，{pi-13}是首項(xiàng)為16，公比為25的等比數(shù)列，∴pi-13=16·（25）i-1，∴pi=13+16·（25）i-1，（i=1，2，3，…）.

（3）依據(jù)題意，E（Y）=∑ni=1pi=16×1-（25）n1-25+n3=518［1-（25）n］n3.

數(shù)列的綜合應(yīng)用問題中，搞清事物發(fā)展的前因后果及其相互聯(lián)系，搞清事物的形成過程和形成方法，是尋找解題思路，突破難點(diǎn)的必經(jīng)之路，用遞推的方法來(lái)表達(dá)事物間的聯(lián)系能夠

讓我們對(duì)所解決的問題以數(shù)學(xué)的方式呈現(xiàn)出來(lái)，其實(shí)就是建立數(shù)學(xué)模型的過程。建立遞推關(guān)系，是解決這類綜合問題的核心環(huán)節(jié).只有真正理解遞推，才有能力在實(shí)際情境中用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察問題，用數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)表達(dá)問題.

遞推蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化、迭代、程序化與機(jī)械化等思想.在數(shù)列的教學(xué)過程中，教師要抓本質(zhì)，重點(diǎn)體現(xiàn)“邏輯思維能力”，滲透思想方法，在關(guān)鍵處多著力，靶向新高考的熱門題型與教學(xué)中的難點(diǎn)問題，提升學(xué)生的關(guān)鍵能力.