從三角形面積公式到正余弦定理和三角恒等式

黃婧文

本文將通過(guò)三角形的面積公式導(dǎo)出正余弦定理和三角恒等式，過(guò)程中并不需要其他新知識(shí)作為鋪墊，不但能夠?qū)⒊踔衅矫嫒切魏透咧腥侵R(shí)有效的銜接，也能使得后置的正余弦定理和三角恒等式更早更自然的進(jìn)入學(xué)生視野，以便后期學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容時(shí)能夠有更深入的認(rèn)識(shí).

1.正弦定理

若給定ΔABC，∠A、∠B、∠C對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則asinA=bsinB=csinC.

證明：由S△ABC=12b·csinA=12c·asinB=12a·bsinC，可得sinAa=sinBb=sinCc.

2.余弦定理

若給定ΔABC，∠A、∠B、∠C對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則c2=a2+b2－2abcosC.

證明：如圖1所示，不妨設(shè)C為三個(gè)角中的最大角，作∠ACD等于∠B，∠BCE等于∠A，則ΔABC相似于ΔACD和ΔCBE，那么ADAC=ACAB=DCCB，BEBC=BCBA=ECCA.

即ADb=bc=DCa，BEa=ac=ECb，

則AD=b2c，DC=abc，BE=a2c，EC=abc.

顯然，SΔABC=SΔACD+SΔDCE+SΔECB，則S△ABC=12absinC=12b2cabcsinC+12abc·abcsin（π－2π－C）+12a2cabcsinC，

等式兩邊同乘以c212absinC，并用誘導(dǎo)公式可得c2=a2+b2－absin2CsinC=a2+b2－2abcosC.

3.三角恒等式

設(shè)α、β是兩個(gè)角，則sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ.

下面僅證此公式，因?yàn)楦鶕?jù)此公式和誘導(dǎo)公式可以推導(dǎo)出其他和角公式、差角公式.

證明：

如圖2，設(shè)α、β是兩個(gè)角，把α、β兩個(gè)角的一邊拼在一起，頂點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)B作OB的垂線(xiàn)，交α另一邊于B，交β另一邊于C，則SΔAOC=SΔAOB+SΔBOC.

即12|OA|·|OC|sin（α+β）=12|OA||OB|sinα+12|OB|·|OC|sinβ.

而|OB|=|OA|cosα=|OC|cosβ，代入上式得|OA||OC|sin（α+β）=|OA|·|OC|cosβsinα+|OA|cosα|OC|sinβ.

等式兩邊同乘以1|OA|·|OC|得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

下面再舉一例，直接從面積關(guān)系得出三角函數(shù)的和差化積公式.如圖3所示，設(shè)α、β是兩個(gè)角，把α、β兩個(gè)角的一邊拼在一起，頂點(diǎn)為O，作等腰ΔAOC，頂角∠O=α+β，OA=OC，OD⊥AC.顯然SΔAOC=SΔAOB+SΔBOC=12OAOBsinα+12OBOCsinβ=12|OA||OB|（sinα+sinβ），

另一方面SΔAOC=12ACOD=122ADOD=ADOD=OAsinα+β2OBcos（α+β2－β）=OA·sinα+β2OBcos（α－β2），

則12OAOB（sinα+sinβ）=OAsinα+β2OBcos（α－β2），等式兩邊同乘以21OAOB，即得sinα+sinβ=2sinα+β2cosα－β2.

在誘導(dǎo)公式、正余弦和角、差角公式的基礎(chǔ)上，其他諸如積化和差、和差化積、半角公式、萬(wàn)能公式等三角恒等式均可通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算和換角得到，亦可如上考慮其直觀的面積證法.通過(guò)直觀的三角形面積法來(lái)證明正余弦定理和三角恒等式，學(xué)生不僅能夠更快的接觸并熟悉和記憶這些公式，而且能夠融匯貫通初高中的三角相關(guān)知識(shí).