優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)提升一輪復(fù)習(xí)效率

黃慧美

一輪復(fù)習(xí)是高考復(fù)習(xí)教學(xué)的關(guān)鍵一環(huán).在此階段，學(xué)生依然是課堂的主體，然大多復(fù)習(xí)課堂卻以教師為主導(dǎo)，延續(xù)著“師講生聽(tīng)”的教學(xué)模式，課堂容量大、頻率快，容易出現(xiàn)學(xué)生“懂而不會(huì)”的尷尬局面.實(shí)際上，一輪復(fù)習(xí)要重視通性通法的提煉，讓解題方法和解題策略更具系統(tǒng)性和方向性，使復(fù)習(xí)更高效，解題更流暢.本文筆者以“函數(shù)零點(diǎn)”復(fù)習(xí)為例，以典型問(wèn)題為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，掌握解題通法，構(gòu)建數(shù)學(xué)思想方法體系，進(jìn)而優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升復(fù)習(xí)效率.

一、教學(xué)實(shí)錄

1.明確方向，激發(fā)欲望

例1函數(shù)f（x）=6x－log2x，在下列區(qū)間中，包含f（x）的零點(diǎn)的區(qū)間是（）.

A.（0，1）B.（1，2）C.（2，4）D.（4，+∞）

在復(fù)習(xí)階段，不能將目光定位在解題上，而是要透過(guò)題目了解考試動(dòng)向，分析核心考點(diǎn)，進(jìn)而進(jìn)一步鞏固“雙基”，掃清解題障礙.

師：題中涉及到什么概念？

生齊聲答：函數(shù)的零點(diǎn).

師：函數(shù)零點(diǎn)的概念大家還記得嗎？

生1：使函數(shù)f（x）=0成立的實(shí)數(shù)x叫函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).

師：很好，那么想一想例1該如何求解呢？

生2：如果令f（x）=0是無(wú)法直接求解的，可以將其轉(zhuǎn)化為求y=6x和y=log2x的交點(diǎn)，根據(jù)圖象可知兩函數(shù)的交點(diǎn)是1個(gè)，根據(jù)函數(shù)值得到交點(diǎn)的范圍是（2，4）.

生3：生2的解法沒(méi)有問(wèn)題，解題時(shí)既要畫(huà)圖又要代值，我覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題可以換個(gè)思路來(lái)解，可以考慮應(yīng)用零點(diǎn)存在的定理來(lái)解答.

師：說(shuō)說(shuō)你的解題思路.

生3：由題可知，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，f（1）=6－0=6>0，f（2）=3－1=2>0，f（4）=64log24=32－2=－12，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，4）上必有零點(diǎn).

師：很好，通過(guò)代數(shù)法和幾何法都順利地得到了答案.生2是從定義的角度去考慮，首先將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根，然本題方程難以直接求解，為此又繼續(xù)轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，最后利用數(shù)形結(jié)合的思路精準(zhǔn)地求得了答案，這是解決此類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)常用的方法，看來(lái)大家已經(jīng)掌握了解題的精髓.生3結(jié)合題目特點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理巧妙地解決了問(wèn)題.

師：如果例1中需要求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，生3的方法還有效嗎？

通過(guò)交流，學(xué)生運(yùn)用不同的解題方案順利地求解了問(wèn)題，通過(guò)剖析發(fā)現(xiàn)解決此類(lèi)問(wèn)題可以從代數(shù)和幾何兩方面入手，同時(shí)體驗(yàn)了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想在解題中的重要價(jià)值，為了進(jìn)一步強(qiáng)化認(rèn)識(shí)，教師又給出新問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究，不斷挖掘，揭開(kāi)問(wèn)題的實(shí)質(zhì).

2.拓展應(yīng)用，活躍思維

師：思考一下，下面問(wèn)題該如何求解？

例2關(guān)于x的方程xx+2－k=0，k∈R，探究方程根的個(gè)數(shù).

問(wèn)題給出后，教師鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考，進(jìn)而通過(guò)拓展逐漸完善認(rèn)知，鞏固應(yīng)用.

生4：可以將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=xx+2與y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)圖象可知，當(dāng)k=1時(shí)，無(wú)交點(diǎn)，因此方程無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng)k≠1，有1個(gè)交點(diǎn)，為此方程有1個(gè)根.

生5：我沒(méi)有畫(huà)圖也做出來(lái)了，通分得（1－k）x－2k=0，所以當(dāng)k=1時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)根，當(dāng)k≠1時(shí)，方程有1個(gè)根.

師：生4和生5分別從幾何和代數(shù)的思路進(jìn)行求解，他們的解題過(guò)程是否有問(wèn)題呢？（眼尖的學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題）

生6：根據(jù)生5的代數(shù)式，是否要檢驗(yàn)k一定不等于－2呢？

師：觀察得非常仔細(xì)，非常好！檢驗(yàn)會(huì)發(fā)現(xiàn)k一定不等于－2.其實(shí)方程簡(jiǎn)單的情況下用代數(shù)法更為方便，然在解題過(guò)程中一定要注意隱藏條件，要確保轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.如果將例2中的函數(shù)做一些改變，你認(rèn)為該如何求解呢？（教師PPT給出變式）

變式1若關(guān)于x的函數(shù)f（x）=xx+2－kx2有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.

根據(jù)前例，同樣可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=xx+2與y=kx2的交點(diǎn)個(gè)數(shù).雖然學(xué)生能夠畫(huà)出圖形，但曲線(xiàn)和曲線(xiàn)與曲線(xiàn)和直線(xiàn)不同，用上面的幾何法和代數(shù)法都很難判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，為此解題時(shí)需要進(jìn)一步轉(zhuǎn)化.

生7：函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為f（x）=0，根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)容易得x=0為方程的根，約去x可變形為1x+2=kx，轉(zhuǎn)化后圖象就不是兩條曲線(xiàn)了，這樣可以應(yīng)用圖象的交點(diǎn)來(lái)求解.因?yàn)閥=1x+2的圖象是固定的，y=kx當(dāng)k≤0時(shí)顯然不滿(mǎn)足.當(dāng)k>0時(shí)，要有3個(gè)交點(diǎn)，只需y=－kx與y=1x+2有兩個(gè)交點(diǎn)，由此可知直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，進(jìn)而通過(guò)導(dǎo)數(shù)或Δ=0可以求出k>1.

生8：還可先約去x，得1x+2=kx，兩邊同除x得1x（x+2）=k，這樣轉(zhuǎn)化為y=k與y=1x（x+2）的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

師：通過(guò)分離變量的思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化沒(méi)有問(wèn)題，但是y=1x（x+2）這個(gè)函數(shù)圖象如何畫(huà)呢？（生8表示沒(méi)有畫(huà)出圖象，顯然通過(guò)這樣的轉(zhuǎn)化使問(wèn)題變得更加復(fù)雜了）進(jìn)一步，如將1x（x+2）=k再進(jìn)行變形，將其轉(zhuǎn)化為1k=x（x+2）呢？（學(xué)生恍然大悟）

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生利用幾何方法輕松地解決了問(wèn)題.問(wèn)題解決后，教師又鼓勵(lì)學(xué)生利用代數(shù)法進(jìn)行求解，然學(xué)生嘗試后發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用代數(shù)法問(wèn)題變得更加復(fù)雜了，很難求解.通過(guò)對(duì)比學(xué)生發(fā)現(xiàn)，處理零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)可以應(yīng)用代數(shù)法和幾何法，那么哪種方法為最優(yōu)解決方案則需要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)判斷，若是簡(jiǎn)單的問(wèn)題，利用代數(shù)法效率會(huì)更高，而對(duì)于較為復(fù)雜的問(wèn)題，可以考慮借助圖形的直觀性來(lái)判斷，但是應(yīng)用幾何法時(shí)，要使問(wèn)題向容易作圖的方向轉(zhuǎn)化.

3.鞏固強(qiáng)化、升華認(rèn)知

師：大家看看這個(gè)題又該如何轉(zhuǎn)化呢？（教師PPT展示變式2）

變式2函數(shù)f（x）=xx+2，若關(guān)于x的函數(shù)y=2f2（x）+2bf（x）+1有4個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

師：本題較前面問(wèn)題相比，略顯復(fù)雜，是關(guān)于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，這個(gè)又該如何轉(zhuǎn)化呢？（教師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行合作探究，以此既能活躍課堂氣氛，又能發(fā)揮個(gè)體優(yōu)勢(shì)）

生9：可以令t=f（x），則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2t2+2bt+1=0，y=t與y=f（x）共有4個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)需要兩個(gè)t∈（0，1），即y=2t2+2bt+1在（0，1）上有兩根，所以Δ>0，0<－b2<1，2+2b+1>0，這樣問(wèn)題就迎刃而解了.

可見(jiàn)，通過(guò)以上的變式訓(xùn)練，學(xué)生已經(jīng)很好地掌握了解決此類(lèi)問(wèn)題的方法，極大程度上提高了解題信心.雖說(shuō)高考題變化莫測(cè)，然若將知識(shí)點(diǎn)學(xué)懂吃透，規(guī)律會(huì)自然地涌現(xiàn)，新題變成了舊題，復(fù)雜題變成了簡(jiǎn)單題，解題也就自然水到渠成了.

二、教學(xué)反思

在一輪復(fù)習(xí)中，以下幾點(diǎn)應(yīng)引起師生重視：

首先，在解題教學(xué)中既要掌握通性通法，又要善于結(jié)合題型和題目特點(diǎn)進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化.在夯實(shí)“雙基”的同時(shí)，也要積累一些解題技巧，提高解題效率.

其次，教師在典型問(wèn)題的處理上要遵循由淺入深，從簡(jiǎn)到繁的原則，使例子的呈現(xiàn)具備一定的層次性，順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展，提高學(xué)生解題信心.

再次，對(duì)于一些規(guī)律性的問(wèn)題，需要教師的及時(shí)點(diǎn)撥.對(duì)關(guān)鍵的方法和結(jié)論進(jìn)行了及時(shí)的總結(jié)和歸納，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，找到解題通法.

最后，教師要為學(xué)生提供鞏固強(qiáng)化的時(shí)間和空間.教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知設(shè)計(jì)變式題目，通過(guò)“變”感受通性通法的價(jià)值，體驗(yàn)?zāi)切┎蛔兊囊?guī)律，進(jìn)而深化認(rèn)知，活化數(shù)學(xué)思維，鍛煉學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.