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    高中數(shù)學(xué)選擇性必修課程函數(shù)主線分析

    2024-05-23 08:32:57柳雙吳立寶
    中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2024年4期
    關(guān)鍵詞:必修課程主線選擇性

    柳雙 吳立寶

    函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念之一,是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的利器,更是數(shù)形結(jié)合思想的重要載體,在解決實際問題中發(fā)揮關(guān)鍵作用.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(下文簡稱“課標(biāo)”)在明確課程基本理念中強調(diào)突出數(shù)學(xué)主線,凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法.[1]高中數(shù)學(xué)課程分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程,課程內(nèi)容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動四條主線.函數(shù)主線主要分布在必修與選擇性必修課程中,包括必修課程的預(yù)備知識、函數(shù)的概念與性質(zhì)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用,選擇性必修課程的數(shù)列、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.但選擇性必修課程函數(shù)主線內(nèi)容與必修課程函數(shù)主線內(nèi)容在教材編排上處于分割狀,數(shù)列、導(dǎo)數(shù)兩個單元在教學(xué)過程中易與函數(shù)主線脫節(jié),教師不重視其中的連貫性,學(xué)生難以將數(shù)列、導(dǎo)數(shù)與必修課程所學(xué)函數(shù)內(nèi)容聯(lián)系起來.基于此,本文深入挖掘函數(shù)主線,進一步聯(lián)結(jié)必修與選擇性必須課程內(nèi)容,明晰選擇性必修課程內(nèi)容與整個函數(shù)主線的聯(lián)系,同時以數(shù)列單元為例進行函數(shù)主線分析,充實選擇性必修課程函數(shù)部分的案例分析研究.

    一、函數(shù)主線結(jié)構(gòu)

    站在高中數(shù)學(xué)課程整體角度上來明晰函數(shù)主線結(jié)構(gòu),認識數(shù)學(xué)知識邏輯發(fā)展,挖掘其中滲透的數(shù)學(xué)思想方法,理解數(shù)學(xué)活動的設(shè)計編排意圖,發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),這是教師整體規(guī)劃函數(shù)教學(xué)不可或缺的一步.參照中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容主線分析的結(jié)構(gòu),函數(shù)主線分為知識線、活動線、思想方法線、素養(yǎng)線.[2]知識線是教學(xué)的根源,活動線依附于知識線,將靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為動態(tài)的數(shù)學(xué)活動,思想方法線與素養(yǎng)線是數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)隱本質(zhì),跟隨知識與活動連續(xù)進階,最終發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

    從知識線分析函數(shù),按照知識發(fā)生發(fā)展的過程,剖析函數(shù)內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)聯(lián)、本質(zhì)內(nèi)涵,從宏觀和微觀兩個角度入手,讓學(xué)生的認識在整體形成與局部聯(lián)系中逐步結(jié)構(gòu)化并螺旋上升.宏觀上用十字模型,將函數(shù)產(chǎn)生的背景、函數(shù)概念與性質(zhì)、函數(shù)模型橫向連接,將函數(shù)的應(yīng)用、研究函數(shù)的工具(方法)與函數(shù)性質(zhì)縱向連接.函數(shù)主線的主體部分由函數(shù)概念、函數(shù)表示和函數(shù)性質(zhì)組成,因生活生產(chǎn)需要根據(jù)函數(shù)主體構(gòu)建多種函數(shù)模型,在研究函數(shù)中需要借助其他主線知識作為工具,同時將函數(shù)主線應(yīng)用到其他主線之中.微觀上通過梳理高中數(shù)學(xué)課程中有關(guān)函數(shù)的知識點、思想方法等,尋找知識點之間的關(guān)聯(lián),總結(jié)其知識結(jié)構(gòu),最終確定宏觀結(jié)構(gòu)中每個部分的微觀結(jié)構(gòu).函數(shù)概念從“刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具”(變量說)進一步抽象到“實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系”(對應(yīng)關(guān)系說),在研究函數(shù)中需要借助代數(shù)運算作為基礎(chǔ)工具、導(dǎo)數(shù)作為分析函數(shù)性質(zhì)的工具,函數(shù)可以看作數(shù)形結(jié)合的載體之一,解析幾何、平面向量幾何也可以看成研究函數(shù)的工具,如圖1.

    站在教師教的角度來看,活動線是知識線的活動載體;站在學(xué)生學(xué)的角度來看,知識線是活動線的內(nèi)容根基.基于此,函數(shù)主線的活動線主要體現(xiàn)在教材編排結(jié)構(gòu)和教學(xué)設(shè)計上.教材中函數(shù)內(nèi)容的發(fā)展主線由“函數(shù)定義—函數(shù)性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、最值)—基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù))—函數(shù)的應(yīng)用(解方程、建模)—三角函數(shù)—數(shù)列—一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”展開,教師根據(jù)教材編排順序,分析靜態(tài)的知識線,優(yōu)化教學(xué)設(shè)計,學(xué)生通過活動直接體驗在“做”中感悟習(xí)得數(shù)學(xué)知識.函數(shù)主線中蘊含著重要的思想方法,函數(shù)圖象與代數(shù)運算相結(jié)合的數(shù)形結(jié)合思想,證明數(shù)列簡單命題的數(shù)學(xué)歸納法,在導(dǎo)數(shù)概念形成中體會極限思想,以及函數(shù)應(yīng)用的二分法和模型思想等.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展建立在數(shù)學(xué)知識的不斷積累、數(shù)學(xué)活動的親身經(jīng)歷、數(shù)學(xué)思想方法的感悟理解上,是數(shù)學(xué)教育的育人目標(biāo).在知識線和思想方法線的梳理中不難發(fā)現(xiàn),函數(shù)主線的學(xué)習(xí)重點是提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

    二、選擇性必修課程函數(shù)主線分析要點

    梳理選擇性必修課程函數(shù)主線分析需要附著的要點,確定分析角度、找準(zhǔn)找全聯(lián)結(jié)點、厘清單元微觀結(jié)構(gòu),以期突破函數(shù)主線分析現(xiàn)有的圍欄.

    1.確定分析角度

    對現(xiàn)行人民教育出版社A版(下文簡稱“人教A版”)與北京師范大學(xué)出版社(下文簡稱“北師大版”)選擇性必修教材內(nèi)容進行比較分析,對比兩版教材的章前引入、數(shù)列概念、導(dǎo)數(shù)概念、數(shù)列性質(zhì)等部分,明確不同版教材對于函數(shù)模型的學(xué)習(xí)以及應(yīng)用的基本過程,把握核心重點,如表1,從中發(fā)現(xiàn)核心概念的獲得過程、知識內(nèi)部的推理發(fā)展,其中蘊含的思想方法,進而凸顯的育人價值極為關(guān)鍵.延續(xù)函數(shù)主線“知識線、活動線、思想方法線與素養(yǎng)線”的四條準(zhǔn)繩,可以歸納出選擇性必修課程函數(shù)主線分析要從“知識主線核心概念、知識內(nèi)部推理發(fā)展、數(shù)學(xué)思想方法滲透、知識文化價值體現(xiàn)和應(yīng)用模型”五角度展開.

    2.找準(zhǔn)找全聯(lián)結(jié)點

    依據(jù)高中數(shù)學(xué)課程面向全體學(xué)生的理念,實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.”[1]高中數(shù)學(xué)課程被劃分三類,函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建?;顒优c數(shù)學(xué)探究活動四條主線貫穿于三類課程,故三類課程不是相對孤立的呈現(xiàn),而是相互聯(lián)系的存在.在選擇性必修課程開始前,學(xué)生已通過必修課程的學(xué)習(xí),明晰了函數(shù)的概念和性質(zhì),總結(jié)了研究函數(shù)的基本方法,掌握了一些基本函數(shù)類,探索了函數(shù)的應(yīng)用.因此,找準(zhǔn)找全選擇性必修課程內(nèi)容與函數(shù)主線主體的聯(lián)結(jié)點是有效分析選擇性必修課程函數(shù)主線的前提.在操作上分為三步,首先分析知識主線核心概念的基礎(chǔ)性,概念的邏輯生長點,找到選擇性必修課程函數(shù)知識在函數(shù)主體上的延伸處;其次分析數(shù)學(xué)思想方法的滲透,在學(xué)生已有的思想方法上繼續(xù)深入拓寬邊界,或者借用已有的函數(shù)思想“生長”出新的思想方法,比如學(xué)生已掌握初等函數(shù)模型,再加入特殊函數(shù)模型,實現(xiàn)函數(shù)模型思想方法的進階,在“對數(shù)增長”“知識爆炸”的基礎(chǔ)上體會極限思想.最后,分析知識育人價值的體現(xiàn),能力和素養(yǎng)目標(biāo)一般不能通過一節(jié)課的教學(xué)來實現(xiàn),需要一個中長期的培養(yǎng)過程,[3]選擇性必修課程是必修課程的補充和延伸,能力和素養(yǎng)勢必會得到進一步的發(fā)展.

    3.厘清單元微觀結(jié)構(gòu)

    在分析知識主線核心概念、數(shù)學(xué)思想方法滲透、知識育人價值體現(xiàn),找尋必修課程與選擇性必修課程間聯(lián)結(jié)點的過程中,已經(jīng)確定單元內(nèi)容的宏觀結(jié)構(gòu).單元內(nèi)容微觀結(jié)構(gòu)是指教材中本單元知識的組織安排,知識塊的邏輯發(fā)展順序,思想方法上的縱觀引領(lǐng),先拆分理解而后全局規(guī)劃.[4]聚焦選擇性必修課程中包含于函數(shù)主線的單元內(nèi)容知識的微觀結(jié)構(gòu),對知識的上下位關(guān)聯(lián)及知識順序進行梳理,深挖其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.具體操作方法是梳理本單元教材所含的知識點堆積形成知識塊,把握學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點、關(guān)鍵點,列出學(xué)生學(xué)習(xí)重點知識所需的輔助性知識塊,分析各知識塊之間的關(guān)聯(lián),各知識塊時如何發(fā)生發(fā)展的,總結(jié)其知識結(jié)構(gòu),形成知識塊的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖.

    三、數(shù)列單元函數(shù)主線分析

    數(shù)列作為一種離散函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要研究對象之一,也是函數(shù)主線內(nèi)容學(xué)習(xí)的一條支線,數(shù)列研究把研究對象從以往簡單的“數(shù)”的研究延伸到對復(fù)雜的“一列數(shù)”的研究,包括研究它們之間的關(guān)系、規(guī)律、特征等,是對先前所學(xué)連續(xù)函數(shù)模型的延伸,也是后續(xù)深入學(xué)習(xí)離散函數(shù)的基礎(chǔ).

    1.數(shù)列知識主線核心概念

    數(shù)列單元涉及數(shù)列概念、特殊數(shù)列、數(shù)列應(yīng)用和數(shù)學(xué)歸納法等.數(shù)列概念包括數(shù)列、項、首項、通項公式、遞推公式、數(shù)列前n項和等核心概念,是本單元學(xué)習(xí)的起點.隨后將一般數(shù)列特殊化得到等差數(shù)列和等比數(shù)列,圍繞這兩類特殊數(shù)列探索變化規(guī)律以及在實際問題中的應(yīng)用.同時,數(shù)列概念、數(shù)列表示、數(shù)列性質(zhì)、等差數(shù)列、等比數(shù)列等與函數(shù)主線主體關(guān)聯(lián),在其中感受數(shù)列與函數(shù)的共性和差異,了解數(shù)學(xué)歸納法并簡單使用數(shù)學(xué)歸納法,如圖2.

    數(shù)列知識主線的學(xué)習(xí)具有發(fā)展性.其一,數(shù)列與其他內(nèi)容主線聯(lián)系的發(fā)展性,數(shù)列屬于函數(shù)主線,與不等式、方程、概率、算法、極限等其他主線知識緊密相關(guān),是將這些內(nèi)容進行綜合應(yīng)用的交互點.其二,在數(shù)學(xué)思想方法中的發(fā)展性,數(shù)列學(xué)習(xí)的過程中蘊藏多種數(shù)學(xué)思想方法,如函數(shù)與方程、特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸等,這些思想方法既是函數(shù)思想的延伸,也為未來學(xué)習(xí)極限理論奠定基礎(chǔ).其三,現(xiàn)實生活應(yīng)用的發(fā)展性,數(shù)列在生活中的應(yīng)用十分廣泛,如銀行存款、汽車折舊、城市空氣質(zhì)量指數(shù)等實際問題,利用數(shù)列知識建立數(shù)學(xué)模型刻畫其遞推規(guī)律從而解決問題.

    2.數(shù)列知識內(nèi)部推理發(fā)展

    通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實例,掌握數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項公式),理解數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其有限子集上的特殊函數(shù),等差數(shù)列、等比數(shù)列屬于數(shù)列的典型特例.借助情境引入等差數(shù)列,探索發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的通項公式,借高斯算法推廣到等差數(shù)列的前n項和,類比等差數(shù)列通過數(shù)學(xué)史問題和生活實例得到等比數(shù)列.

    分析數(shù)列知識塊之間的關(guān)系.就概念學(xué)習(xí),在學(xué)習(xí)了集合、函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法和性質(zhì)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)數(shù)列的概念,明確數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系.就簡單性質(zhì),了解數(shù)列的幾種簡單表示方法,對比函數(shù)獲得數(shù)列的簡單性質(zhì),掌握求數(shù)列通項與圖3數(shù)列知識塊關(guān)系圖數(shù)列求和的方式,意在讓學(xué)生了解研究數(shù)列的常見思路.就具體特例,等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩類特殊的數(shù)列,具體到探討其通項、性質(zhì)、前n項和等,通過對這兩類數(shù)列的學(xué)習(xí),實現(xiàn)對數(shù)列的深入探討,強調(diào)數(shù)列和函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,著重類比思想與數(shù)學(xué)歸納思想的滲透.就應(yīng)用部分,數(shù)列是重要模型,其思想滲透在教育儲蓄模型、分期付款模型等現(xiàn)實應(yīng)用中,如圖3.

    3.數(shù)列實際問題應(yīng)用模型

    數(shù)列在現(xiàn)實問題中被廣泛應(yīng)用,同時也是古老的數(shù)學(xué)課題,在《周髀算經(jīng)》里談到等差數(shù)列的概念,《易傳系辭》里有世界數(shù)學(xué)史上等比數(shù)列最早的文字記載.基于PM視角,引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題,利用數(shù)學(xué)史中的等差數(shù)列求和問題,思考等差數(shù)列求和的通項公式,進行數(shù)學(xué)化并建立數(shù)學(xué)模型解決問題.利用數(shù)學(xué)歸納法,學(xué)生將有限數(shù)項通過運算進行數(shù)學(xué)表達,最終歸納為數(shù)學(xué)公式,再與實際生活相聯(lián)系.將數(shù)學(xué)與實際生活以及數(shù)學(xué)思想文化結(jié)合起來,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)概念的形成過程是歷史上真實發(fā)生的,使數(shù)列的學(xué)習(xí)擁有現(xiàn)實意義.

    4.數(shù)列數(shù)學(xué)思想方法滲透

    數(shù)列中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法.其一函數(shù)思想,認識到數(shù)列是一種特殊的函數(shù).其二方程思想,通常引導(dǎo)學(xué)生將等差數(shù)列或等比數(shù)列的5個參量看成是變量,面對“知三求二”的題目建立方程組,求出基本量.其三演繹思想,借助情境引出數(shù)列的相關(guān)概念,從一般數(shù)列概念和性質(zhì)中探索出特殊的兩類數(shù)列的特征和應(yīng)用意義.其四歸納思想,從高斯算法推廣到一般的等差數(shù)列前n項和公式.其五類比思想,在學(xué)習(xí)等差數(shù)列的基礎(chǔ)上類比得到等比數(shù)列的概念、性質(zhì)和應(yīng)用.其六數(shù)學(xué)歸納法,分析多米諾骨牌全部倒下的條件,通過猜想抽象出數(shù)學(xué)歸納法的步驟.其七分類討論思想,利用等差數(shù)列的性質(zhì),分奇、偶兩種情況解決求數(shù)列前n項和問題.其八數(shù)列求和用到的方法,累加(乘)法、錯位相減法、倒序相加法、裂項相消法等.

    5.數(shù)列知識育人價值體現(xiàn)

    從函數(shù)視角看數(shù)列,數(shù)列與函數(shù)、等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)間存在關(guān)聯(lián),其中的核心概念和數(shù)學(xué)思想方法有內(nèi)在統(tǒng)一性,學(xué)生能逐步體會到研究數(shù)學(xué)對象的基本框架和路徑,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式,培養(yǎng)理性精神.在等差、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)中,讓學(xué)生經(jīng)歷探索數(shù)列中項的取值規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)列的性質(zhì)、應(yīng)用數(shù)列的性質(zhì)解決問題的過程,利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力.數(shù)學(xué)歸納法是一種有力的證明數(shù)學(xué)命題的工具,通過其本身及蘊含的數(shù)學(xué)思想,有助于培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的素養(yǎng).

    參考文獻

    [1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[M].北京:人民教育出版社,2021.

    [2]劉琦琦,吳立寶,陳健.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容主線分析的要素與結(jié)構(gòu)——以三角函數(shù)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西師大),2022(2):1-5.

    [3] 吳立寶,王雨清.基于UbD的中學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2021(Z1):1-6.

    [4] 吳立寶,劉琦琦,鞏雅楠.數(shù)學(xué)單元教學(xué)內(nèi)容分析框架——以圓錐曲線的方程為例[J].數(shù)學(xué)通報,2022,61(10):16-19+59.

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