基于“抽象素養(yǎng)”培養(yǎng)的課堂教學(xué)實(shí)踐與思考
——以“導(dǎo)數(shù)的定義”為例

? 江蘇省通州高級(jí)中學(xué) 徐婧婧

抽象素養(yǎng)指學(xué)習(xí)者經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過(guò)程而獲得的一種能力.此類(lèi)素養(yǎng)的發(fā)展一般以問(wèn)題情境為起點(diǎn),學(xué)生通過(guò)對(duì)情境的分析,舍棄一些無(wú)關(guān)的內(nèi)容,提煉出數(shù)學(xué)屬性,并借助豐富的數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表征[1].研究發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)中的很多基礎(chǔ)知識(shí)都給抽象素養(yǎng)的培育與發(fā)展提供了肥沃的土壤,特別是在“導(dǎo)數(shù)的定義”教學(xué)中關(guān)注抽象素養(yǎng)的培育,可有效挖掘?qū)W生的潛能,拔高思維,為發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)夯實(shí)基礎(chǔ).

1 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.1 創(chuàng)設(shè)情境,激趣啟思

多媒體展示如下兩個(gè)情境：(1)《莊子天下篇》中載有“尺之錘,日取其半,萬(wàn)世不竭.”(2)將一個(gè)圓,以圓心為起點(diǎn)分成無(wú)數(shù)個(gè)小扇形,形成的扇形數(shù)量越多則越接近小三角形的面積.

教師通過(guò)展示圖片,合理借助語(yǔ)言分析與設(shè)置,要求學(xué)生說(shuō)說(shuō)它們的共性特征.

設(shè)計(jì)意圖：這兩個(gè)情境意在讓學(xué)生通過(guò)對(duì)文字與圖形的感知,初步體會(huì)數(shù)學(xué)無(wú)限逼近的思想,也是抽象素養(yǎng)培育的一種基本方式,為導(dǎo)入新課奠定基礎(chǔ),達(dá)到滲透數(shù)學(xué)文化、激趣啟思的目的.

1.2 引入實(shí)例,初步探索

實(shí)例跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員和水面的距離h(單位：m)和起跳之后的時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為h=-4.9t2+6.5t+10,那么t=2時(shí)的瞬時(shí)速度是多少?

問(wèn)題1請(qǐng)大家以小組合作學(xué)習(xí)的方式討論本題的解題方案.

生1：我們組經(jīng)討論后認(rèn)為可取t∈[2,2.1]的平均速度,估算問(wèn)題的結(jié)論.

師：如此估算出來(lái)結(jié)論的是否一定準(zhǔn)確?

生2：多取幾組就可以了,如分別取t∈[2,2.2],t∈[2,2.3],t∈[2,2.4],t∈[2,2.5]……

師：想要獲得精準(zhǔn)的瞬時(shí)速度,就要合理縮小時(shí)間間隔,誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)怎樣調(diào)整時(shí)間間隔更合理有效?

生3：可以分別取t∈[2,2.1],t∈[2,2.01],t∈[2,2.001]……

生4：換個(gè)思路,還可取t∈[1.9,2],t∈[1.99,2],t∈[1.999,2]……

生5：分別用0.1,0.01,0.001,0.000 1或-0.1,-0.01,-0.001,-0.000 1來(lái)表示,而后借助計(jì)算軟件獲得Δt在不同取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的值.

問(wèn)題2當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0,運(yùn)動(dòng)員的平均速度會(huì)呈現(xiàn)出怎樣的變化?

設(shè)計(jì)意圖：合作交流的模式,意在讓各個(gè)認(rèn)知水平層次的學(xué)生都能在這個(gè)問(wèn)題的探索中有所收獲;平均變化率、瞬時(shí)速度等的探索,意在夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ).同時(shí),也為抽象素養(yǎng)的培育創(chuàng)造條件.

1.3 新知建構(gòu),深化理解

問(wèn)題3若以函數(shù)f(x)描述上述問(wèn)題中的函數(shù),該怎樣描述f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率呢?

此問(wèn)促使學(xué)生成功提煉出導(dǎo)數(shù)的定義.(教師板書(shū)定義,此處略.)

問(wèn)題4類(lèi)比切線(xiàn)斜率的求解方法,該怎樣理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義?

生7：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率為函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線(xiàn)斜率,那么y=f(x)在x=x0時(shí)的導(dǎo)數(shù)f′(x0)即為曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線(xiàn)斜率.

由此,師生共同總結(jié)出導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f(x0)為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線(xiàn)斜率,即處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物體在特定時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度.

問(wèn)題5與求切線(xiàn)斜率與瞬時(shí)速度的過(guò)程進(jìn)行類(lèi)比,求導(dǎo)數(shù)的基本步驟有哪些?

設(shè)計(jì)意圖：導(dǎo)數(shù)定義的提取、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與求導(dǎo)步驟的總結(jié)幫助學(xué)生成功構(gòu)建了新知,課堂在問(wèn)題的引導(dǎo)下漸入佳境.利用類(lèi)比思想的滲透,增強(qiáng)學(xué)生知識(shí)與學(xué)習(xí)方法的遷移能力,促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展.基于舊知識(shí)的類(lèi)比與創(chuàng)造,成為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培育與發(fā)展的一個(gè)重要方式.

1.4 練習(xí)訓(xùn)練,應(yīng)用定義

練習(xí)1請(qǐng)用多種方法探索函數(shù)y=2x2+4x+5在x=0時(shí)的導(dǎo)數(shù),并闡述此時(shí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

變式若f(x)=2x2+ax+5,已知f′(2)的值為4,求a的值.

練習(xí)2將原油進(jìn)行冷熱加工,可分別提煉出柴油、汽油與塑膠等產(chǎn)品.若在第xh,原油溫度(單位：℃)是f(x)=x2-7x+14(0≤x≤8),請(qǐng)分別計(jì)算x等于0,2,6時(shí)的導(dǎo)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)1及其變式的提出,意在引導(dǎo)學(xué)生借助新知分別從“數(shù)式”與“圖表取值”兩個(gè)維度來(lái)解決問(wèn)題,感知符號(hào)表征的優(yōu)勢(shì),進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的認(rèn)識(shí);練習(xí)2從生活實(shí)際出發(fā)提出與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的問(wèn)題,一方面考查學(xué)生的應(yīng)變能力,另一方面發(fā)散學(xué)生的思維,增強(qiáng)學(xué)生的抽象素養(yǎng),為推進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展創(chuàng)造條件.

1.5 歸納總結(jié),鞏固提升

要求學(xué)生分別從本節(jié)課所學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、涉及到的數(shù)學(xué)基本思想方法以及探索數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)等維度進(jìn)行歸納總結(jié),特別也為進(jìn)一步培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)創(chuàng)造條件.

學(xué)生自主分析,總結(jié)如下.①知識(shí)：瞬時(shí)速率、瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)的定義等,課堂中掌握了求導(dǎo)的基本步驟,獲得了“求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)”的能力;②思想方法：數(shù)形結(jié)合、歸納、類(lèi)比、無(wú)限接近等數(shù)學(xué)思想方法;③學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)：想要探索一個(gè)未知的概念,可通過(guò)對(duì)不同實(shí)例的分析,探尋其共同特征與規(guī)律,用符號(hào)語(yǔ)言對(duì)其性質(zhì)關(guān)系進(jìn)行描述.

設(shè)計(jì)意圖：基于不同維度對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行提煉與總結(jié),可進(jìn)一步梳理知識(shí)結(jié)構(gòu),完善認(rèn)知,提升學(xué)力.同時(shí),課堂總結(jié)也是發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一種方式,學(xué)生通過(guò)對(duì)零碎內(nèi)容的梳理與整合,可抽象出簡(jiǎn)潔的知識(shí)架構(gòu).

2 思考與感悟

俗話(huà)說(shuō)：“授人以魚(yú)不如授人以漁.”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)除知識(shí)的傳授外,還要注重學(xué)習(xí)方法、經(jīng)驗(yàn)與能力的培育.數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分,不僅是促進(jìn)個(gè)體發(fā)展的重要因素,更是當(dāng)今社會(huì)對(duì)高層次人才的需要.新課標(biāo)背景下,單純的知識(shí)傳授與練習(xí)訓(xùn)練雖然能提高成績(jī),但對(duì)于學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展意義不大.想要從真正意義上提升學(xué)力,培育適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的人才,就要帶領(lǐng)學(xué)生苦練“內(nèi)功”,在學(xué)習(xí)過(guò)程中積極思考與交流,不斷積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),讓思維經(jīng)歷由淺入深的抽象與概括過(guò)程[2].

總之,數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培育并非一朝一夕就能完成的基本目標(biāo).作為教師,應(yīng)在充分了解學(xué)生現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知水平與數(shù)學(xué)技能的基礎(chǔ)上合理設(shè)計(jì)教學(xué)方案,借助數(shù)學(xué)創(chuàng)新情境與應(yīng)用情境等的創(chuàng)設(shè),引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的形成與發(fā)展過(guò)程,在這個(gè)過(guò)程中不斷提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展創(chuàng)造有利條件,也為全面提升數(shù)學(xué)品質(zhì)與優(yōu)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).