切點弦場景創(chuàng)設,定點與動點軌跡
——一道拋物線題的探究

? 江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實驗高級中學 盧 闖

切點弦是二次曲線中一類比較特殊的弦,其是由二次曲線外的一點向二次曲線引兩條切線,連接兩切點的線段.特別對于拋物線中的切點弦問題,更是其中一個具有獨特屬性的知識點,備受關注.

1 問題呈現(xiàn)

問題(2024屆廣東四校高三第一次聯(lián)考數(shù)學試卷·16)過P(m,-2)向拋物線x2=4y引兩條切線PQ,PR,切點分別為Q,R.又點A(0,4)在直線QR上的射影為H,則焦點F與H連線的斜率的取值范圍是______.

2 問題剖析

此題以過定直線中的動點向拋物線引兩條切線來設置問題場景,結合拋物線切點弦的構建,以及定點到切點弦上的射影的給出,確定焦點到對應射影的連線的斜率問題,以直線斜率的取值范圍來構建問題.

本題涉及動點、切點、定點、射影、焦點等眾多類型的點,切線、弦點弦、焦點與射影的連線等對應類型的直線,創(chuàng)設一個“動”“靜”結合的和諧場景,以定直線上動點的變化帶動切線的變化,引起切點弦的變化,進一步帶動定點在切點弦上的射影的變化,最后直接關系到焦點與射影連線的斜率的變化,“定值”與“變量”的巧妙轉化,構建一個動態(tài)情景,同時也為問題的解決提供切入點.

本題可以從眾多類型的點入手加以設點法處理,也可以從眾多類型的直線入手加以設線法處理,都可以很好達到解決問題的目的.若理解并掌握圓錐曲線切點弦公式的話,可直接利用“二級結論”快捷處理.

而對于該問題,當動點P(m,-2)中m=0時,焦點F與點H的連線是一條怎樣的直線,是否存在斜率呢?這也是該問題命制過程中的一個弊端所在,要加以合理的修正與改進,以保證命題的完善性.

3 問題破解

方法1：設點法——導數(shù)思維.

用x2替換x1,用y2替換y1,可知點R也是直線mx-2y+4=0上的點.所以直線QR的方程為mx-2y+4=0.

將上述方程變形,得mx=2(y-2),從而直線QR過定點B(0,2).

而由于AH⊥BH,|AB|=2,則知點A在直線QR上的射影H的軌跡就是以AB為直徑的圓,其方程為x2+(y-3)2=1.

圖1

解后反思：通過設點法,結合導數(shù)的幾何意義來確定圓錐曲線的切線方程,為進一步求解圓錐曲線的切點弦提供條件.這是圓錐曲線的切點弦方程求解的一種“通性通法”.而基于拋物線的切點弦方程,通過對直線過定點的挖掘,以及射影軌跡的判斷,為數(shù)形結合確定對應直線斜率的極端情況打下基礎.同時要注意直線斜率的取值范圍以及圖形之間的聯(lián)系,不要出現(xiàn)混淆.

方法2：設線法——方程思維.

解析：設切線PQ,PR的方程分別為

y=k1(x-m)-2,y=k2(x-m)-2.

于是可知k1,k2是方程k2-km-2=0的兩個根,利用韋達定理可得k1+k2=m,k1k2=-2.

解后反思：通過設線法,結合方程的判別式來確定圓錐曲線的切點弦所在的直線方程,為進一步求解圓錐曲線的切點弦提供條件.這是圓錐曲線的切點弦方程求解的另一種“通性通法”.思維視角不同,對數(shù)學基礎知識的理解與應用也有所側重,關鍵是把握問題的內涵與實質,巧妙加以綜合與應用.

方法3：性質法.

4 問題辨析

在以上問題中,對于動點P(m,-2),若m=0時,此時點P(0,-2),過點P向拋物線x2=4y引兩條切線PQ,PR,利用拋物線的對稱性可知,切點Q,R關于y軸對稱,由此可得點A(0,4)在直線QR上的射影H在y軸上,而焦點F(0,1)也在y軸上,可知FH的方程為x=0,此時,FH的斜率不存在.

由以上問題的特殊場景分析可知,在原問題的設置中,應該把m=0這一特殊情況排除在外,由此對原問題進一步加以改進如下：

問題過P(m,-2)(m≠0)向拋物線x2=4y引兩條切線PQ,PR,切點分別為Q,R.又點A(0,4)在直線QR上的射影為H,則焦點F與H連線的斜率的取值范圍是______.

這樣修改后,問題更加合理與完善,不存在漏洞或不合理的地方,而具體的解析過程也更加合理有效.

5 變式拓展

借助原問題解析過程中的產物,可以得到一些相應的變式問題.

5.1 定點問題

變式1過P(m,-2)向拋物線x2=4y引兩條切線PQ,PR,切點分別為Q,R,則直線QR恒過的定點的坐標是______.(答案：(0,2).)

由此可得更加一般性的結論：

結論：過P(m,a)(a<0)向拋物線x2=2py(p>0)引兩條切線PQ,PR,切點分別為Q,R,則直線QR恒過的定點的坐標是(0,-a).

5.2 軌跡問題

變式2過P(m,-2)向拋物線x2=4y引兩條切線PQ,PR,切點分別為Q,R.又點A(0,4)在直線QR上的射影為H,則動點H的軌跡方程是______.(答案：x2+(y-3)2=1.)

6 教學啟示

二次曲線(圓、橢圓、雙曲線與拋物線)中的切點弦問題,是平面解析幾何中一類綜合性較強的問題,解決這類問題的“通性道法”主要有兩種：(1)結合函數(shù)與導數(shù)的應用,利用導數(shù)的幾何意義確定對應的切線方程,進而加以深入綜合與應用;(2)結合函數(shù)與方程的應用,利用方程的判別式確定對應的切線方程,同時為切點弦的確定提供條件.

而特殊的思維技巧就是借助二次曲線的切點弦方程的“二級結論”,直接利用公式確定切點弦方程,快速解決問題.

常規(guī)的技巧方法是我們必須理解并掌握的知識,也是對此類問題的基本要求,需要借助知識的學習與練習的訓練加以掌握與應用;而特殊的思維技巧給我們的課外學習開辟了一個更加寬廣的空間,提供了更加簡單快捷的技巧與方法.