重構(gòu)學(xué)習(xí)單元,創(chuàng)新學(xué)習(xí)指導(dǎo)*
——以“空間幾何體的截面”單元學(xué)習(xí)為例

? 江蘇省宜興市丁蜀高級中學(xué) 王 銀

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下,立體幾何中空間幾何體模塊知識的高考命題與綜合應(yīng)用更加新穎創(chuàng)新,特別是有關(guān)空間幾何體截面知識的應(yīng)用,成為高考數(shù)學(xué)命題的一個熱點(diǎn)與亮點(diǎn),備受各方關(guān)注.涉及空間幾何體的截面問題,源于高中教材,依托教材合理構(gòu)建截面概念;在此基礎(chǔ)上,強(qiáng)化截面的本質(zhì)與內(nèi)涵,增加平面幾何與立體幾何等相關(guān)知識之間的聯(lián)系;彰顯與截面相關(guān)知識的應(yīng)用,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)思維能力;強(qiáng)化截面的數(shù)學(xué)應(yīng)用,著力應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識等.此類問題成為高考數(shù)學(xué)命題中既充分體現(xiàn)知識基礎(chǔ),又體現(xiàn)選拔功能的一類創(chuàng)新考點(diǎn).

1 依托教材,構(gòu)建概念

“三新”背景下空間幾何體的截面的命題,回歸高中數(shù)學(xué)教材,突出對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、截面的概念與形狀等層面的考查,注重空間想象能力與直觀想象素養(yǎng)等,合理構(gòu)建對應(yīng)的概念與相關(guān)的知識網(wǎng)絡(luò),注重對空間幾何體的基礎(chǔ)知識的理解與掌握,全面夯實基礎(chǔ).

例1(人教A版必修第二冊例3)如圖1所示的一塊木料中,棱BC平行于面A′C′.

圖1

(1)要經(jīng)過面A′C′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開,在木料表面應(yīng)該樣畫線?

(2)所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系?

具體的分析與解析過程可以參考教材中的對應(yīng)部分(教材第138頁),這里不再展開.初步總結(jié)并提煉空間幾何體中截面問題的解答策略,體會空間中點(diǎn)、線、面的“動”與“靜”之間的聯(lián)系,領(lǐng)悟“平面”與“立體”之間的化歸與轉(zhuǎn)化思想.在此基礎(chǔ)上,給出空間幾何體中截面的概念.

截面：用一個平面去截一個空間幾何體(經(jīng)過空間幾何體內(nèi)部的點(diǎn)),得到的平面圖形叫做這個空間幾何體的截面(其中,截面與空間幾何體表面的交線叫做截線).

特別地,經(jīng)過空間幾何體的內(nèi)部,且每條邊都在空間幾何體表面上的封閉圖形,可以作為空間幾何體的截面.

基于此,可以通過截面的作法與確定來強(qiáng)化本質(zhì),加強(qiáng)平面幾何與立體幾何之間的聯(lián)系;借助截面的形狀判斷來彰顯能力,凸顯空間想象思維、分類討論思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想等;結(jié)合截面圖形的面積或周長等來著力創(chuàng)新,強(qiáng)化數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識等.

2 強(qiáng)化本質(zhì),增加聯(lián)系

“三新”背景下空間幾何體的截面的命題,基于空間幾何體的截面的概念、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征等,以及問題的場景應(yīng)用等,合理綜合立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等,合理通過截面的作法與確定,強(qiáng)化截面的本質(zhì),從而構(gòu)建立體幾何與平面幾何等相關(guān)知識之間的聯(lián)系.

例2正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知點(diǎn)E,F,G分別在棱AB,BC,DD1上,如圖2所示,求作過E,F,G三點(diǎn)的截面.

圖2

正方體的截面,是空間幾何體的截面問題中最常見的基本類型之一.從題設(shè)條件入手,抓住正方體的結(jié)構(gòu)特征加以合理分析與確定,巧妙聯(lián)系起立體幾何與平面幾何之間的關(guān)系與應(yīng)用等.

作法：如圖3,(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD內(nèi),過E,F兩點(diǎn)作出直線EF,該直線分別與棱DA,DC的延長線交于點(diǎn)L,M;(2)在正方體的側(cè)面AA1D1D內(nèi),連接LG,并交棱AA1于點(diǎn)K;在正方體的側(cè)面DD1C1C內(nèi),連接GM,并交棱CC1于點(diǎn)H;(3)連接KE,FH,則五邊形EFHGK即為所求的過E,F,G三點(diǎn)的截面.

圖3

歸納起來,正方體的截面主要有以下幾種情況：正方體的橫截面為正方形;縱截面為正方形或矩形;斜截面的情況如圖4.

圖4

在解決空間幾何體的截面作法或與之有關(guān)的判斷問題時,要強(qiáng)化直觀想象意識以及空間想象能力等,借助立體幾何圖形,從立體到平面進(jìn)行降維處理,有時還要涉及數(shù)形結(jié)合思想以及化歸轉(zhuǎn)化思想等.

河長制在地方黨和政府的領(lǐng)導(dǎo)下進(jìn)行，在具體工作中，對流域進(jìn)行總體規(guī)劃，采取自上而下的防治水生態(tài)環(huán)境污染的措施。完善水污染管理框架，為農(nóng)村水生態(tài)環(huán)境系統(tǒng)建設(shè)提供針對性的指導(dǎo)。流域水污染防治是河長制工作實施的重點(diǎn)之一，其最終目標(biāo)是改善水生態(tài)環(huán)境。在實際工作中，要制定合理的防治方案，根據(jù)流域的實際情況，制定科學(xué)的工作評價和水質(zhì)評價目標(biāo)，明確責(zé)任制分工，運(yùn)用河長的個人能力，充分發(fā)揮各部門職權(quán)，促進(jìn)各部門的協(xié)調(diào)運(yùn)作。

3 彰顯能力,凸顯思維

“三新”背景下空間幾何體的截面的命題,在截面的作法與確定的基礎(chǔ)上,合理判斷并確定截面的形狀等應(yīng)用,彰顯能力,突出對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及題設(shè)條件的應(yīng)用,突出立體幾何與平面幾何等相關(guān)知識之間的聯(lián)系,以及圖形結(jié)構(gòu)特征的內(nèi)涵與本質(zhì)等,凸顯數(shù)學(xué)思維.

例3(多選題)如圖5,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,其中P為BC的中點(diǎn),Q為線段CC1上的一個動點(diǎn),設(shè)CQ=m,若過A,P,Q三點(diǎn)的截面記為S.則下列命題中正確的是( ).(答案：ABC.)

圖5

在解決有關(guān)立體幾何中的截面形狀判斷以及與截面的幾何性質(zhì)相關(guān)的應(yīng)用問題時,要合理綜合運(yùn)用立體幾何中相關(guān)的基本性質(zhì),綜合平面幾何的基本性質(zhì),并結(jié)合直觀想象與空間想象來分析與處理.

4 著力創(chuàng)新,強(qiáng)化應(yīng)用

“三新”背景下空間幾何體的截面的命題,合理創(chuàng)設(shè)問題場景,利用動點(diǎn)、動直線、動平面等合理“動態(tài)”引入,以截面圖形的面積或周長等的確定或?qū)?yīng)最值的判斷等來著力創(chuàng)新,強(qiáng)化空間幾何體的綜合應(yīng)用,特別有時要聯(lián)系起函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)與解三角形、平面解析幾何等知識的交匯與應(yīng)用.

解析：如圖6,取CD的中點(diǎn)O,連接OA,OB.因為△ACD為等邊三角形,O為CD的中點(diǎn),所以O(shè)A⊥CD.同理OB⊥CD.又OA∩OB=O,所以CD⊥平面AOB,又AB?平面AOB,所以CD⊥AB.設(shè)平面α分別交AC,AD,BD,BC于點(diǎn)E,F,G,H,連接EF,FG,GH,HE.因為CD∥平面α,CD?平面ACD,平面ACD∩平面α=EF,所以CD∥EF.同理GH∥CD,EH∥AB,FG∥AB.

圖6

所以EF∥GH,EH∥FG,故EFGH為平行四邊形.

又AB⊥CD,則EF⊥EH,所以EFGH為矩形.

解決截面面積最值問題的方法與技巧主要是：首先根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及截面所在平面滿足的條件,確定截面的形狀,然后合理設(shè)置變量,用變量表示出截面面積,最后利用均值不等式或函數(shù)的性質(zhì)求出最值,即可求得截面面積的最值.

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下,進(jìn)一步落實“雙減”政策與新課改理念,探尋立體幾何中考點(diǎn)與考題的基礎(chǔ)性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性等,基于“四基”的落實與數(shù)學(xué)能力的提升,更加注意創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用,從而指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).