關(guān)于角平分線的研究拓展與應(yīng)用

浙江省寧波市效實中學(xué)(315012) 徐靖杰 童益民

數(shù)學(xué)解題就是在探求已知條件和目標(biāo)之間的聯(lián)系通道,此為數(shù)學(xué)解題的本質(zhì).角平分線是高中數(shù)學(xué)中頻繁出現(xiàn)的條件, 其性質(zhì)豐富多樣, 應(yīng)用技巧靈活多變, 有諸多特殊結(jié)論.對于有關(guān)角平分線基本結(jié)構(gòu)的歸納、總結(jié)與拓展,對數(shù)學(xué)解題應(yīng)用有很大的幫助.

1 角平分線的研究拓展

基本結(jié)構(gòu)1 已知?ABC中邊b,c與角A,處理角平分線AD.

題1 如圖1, 已知?ABC中, 角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,b=4,c= 2,A= 120°,求角平分線AD的長.

解1: 利用面積方法

小結(jié)1: 利用面積方法處理角平分線的問題是常用的方法,利用面積方法還可以得到一些常用的結(jié)論.

結(jié)論1: 角平分線定理

結(jié)論2: 張角定理

基本結(jié)構(gòu)2 已知?ABC中邊a,b,c, 處理角平分線AD.

結(jié)論3: 斯特瓦爾特定理

設(shè)D為?ABC的邊BC上異于B,C的任一點,則有AB2·CD+AC2·BD=AD2·BC+BD·CD·BC.

結(jié)論4: 斯庫頓定理

2 角平分線的應(yīng)用

例2 (2018 年高考江蘇卷) 在?ABC中, 角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, ∠ABC= 120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為____.

解: ?ABD中, 利用余弦定理, 可得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA,解得AD=2.不妨設(shè)CD=t,由角平分線定理,,可得

法1: 利用余弦定理

3 總結(jié)

與角平分線模型有關(guān)的問題,可以已知條件求角平分線長,也可以已知角平分線長,求其它結(jié)論,常見的處理方法是利用角平分線定理,及余弦定理等解三角形.本文利用面積方法和向量方法,拓展得到角平分線定理、張角定理、斯特瓦爾特定理及斯庫頓定理,面積方法與向量方法是處理角平分線的一般方法,而靈活應(yīng)用角平分線定理、張角定理及斯庫頓定理,對快速解題有很好的幫助,在掌握常規(guī)方法的基礎(chǔ)上,對學(xué)生進(jìn)行一定的拓展與應(yīng)用,可以拓寬他們的思維,更能系統(tǒng)的掌握相關(guān)的內(nèi)容,更加靈活的解決問題.