通曉概率公式 盡顯數(shù)學(xué)魅力*
——生物概率問題中“貝葉斯公式”的應(yīng)用

聶振榮 潘小峰

1.南京市第九中學(xué)(210023);2.江蘇省外國(guó)語學(xué)校(215100);3.華中師范大學(xué)人工智能教育學(xué)部(430070)

生物數(shù)學(xué)是近現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)中有著最大進(jìn)展和發(fā)展?jié)摿Φ念I(lǐng)域,數(shù)學(xué)的幾乎所有分支都己經(jīng)滲透到了生物學(xué)中并產(chǎn)生了許多對(duì)理論數(shù)學(xué)不具有普適性,但卻很適合于研究生物學(xué)問題的專門技巧與方法[1].高考生物大綱中明確指出考生要能用文字、圖表及數(shù)學(xué)方式等多種形式準(zhǔn)確描述生物學(xué)方面的內(nèi)容,并能通過建立模型、系統(tǒng)分析等數(shù)學(xué)方法解決生物問題.因此數(shù)學(xué)知識(shí)是否掌握牢固對(duì)生物的學(xué)業(yè)成績(jī)有很大影響.靈活運(yùn)用高中數(shù)學(xué)知識(shí)解決生物問題,有利于學(xué)生能夠體會(huì)和理解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,從而提高學(xué)習(xí)興趣.下面我們以貝葉斯公式解決生物中的概率問題為例做簡(jiǎn)要分析.

例1 某一特定地區(qū)對(duì)任意一個(gè)人而言感染艾滋病的概率為0.001.醫(yī)學(xué)研究表明,化驗(yàn)結(jié)果是存在錯(cuò)誤的.已知患有AIDS 的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽性,而沒患AIDS 的人其化驗(yàn)結(jié)果97%呈陰性,現(xiàn)某人的檢驗(yàn)結(jié)果呈陽性,問他真的患有AIDS 的概率是多少?

這是生物中經(jīng)常遇到的概率計(jì)算問題,在數(shù)學(xué)中屬于貝葉斯公式的應(yīng)用.如果將“被檢查者患有AIDS”記作事件B,將“檢查結(jié)果呈陽性”記作事件A,本質(zhì)是求在檢查結(jié)果是陽性的結(jié)果中患有AIDS 的概率,即本質(zhì)為數(shù)學(xué)中的求條件概率P(B|A).

這就要引入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的著名公式——貝葉斯公式.它是基于乘法公式與全概率公式,用來求解條件概率的工具.

貝葉斯公式也常稱為逆概率公式,即在已知“結(jié)果”的條件下,求出“原因”的概率.如果稱P(Bi)為Bi的先驗(yàn)概率,稱P(Bi|A)為Bi的后驗(yàn)概率,則貝葉斯公式是專門用于計(jì)算后驗(yàn)概率的,也就是通過A發(fā)生的這個(gè)信息,來對(duì)Bi的概率做出修正.

即貝葉斯定理可表述成:后驗(yàn)概率=調(diào)整因子×先驗(yàn)概率.在不少國(guó)外教材中,也有把P(B|A)稱為“似然度”,P(B)稱為“標(biāo)準(zhǔn)化常量”等.但個(gè)人認(rèn)為前者的方式更利于對(duì)該定理的理解.回到例題, 則可以清晰的發(fā)現(xiàn)P(B) = 0.001,由貝葉斯公式可得

現(xiàn)在來分析這一結(jié)果,首先,如果不做檢查,該地區(qū)對(duì)任意一人而言感染的概率為P(B)=0.001,根據(jù)檢查后的陽性反應(yīng),此人是AIDS 患者的概率為P(B|A)=0.032,從0.001到0.032 增加約31 倍,說明這項(xiàng)檢查對(duì)于診斷個(gè)人是否患有AIDS 是有意義的.

其次, 在檢查結(jié)果呈陽性的人中, 真患AIDS 的人不到3.2%,這個(gè)結(jié)果可能令人吃驚,但稍作分析便可理解.由于艾滋病發(fā)病率低,在1000 個(gè)人中約有1 人,也就是約有999 人不患艾滋病.對(duì)這1000 個(gè)人進(jìn)行檢查,按其錯(cuò)檢的概率可知,999 個(gè)不患病的人中約有999×0.03 = 29.97 個(gè)呈陽性.而另外1 個(gè)真患艾滋病的檢查者中約有1×0.99 = 0.99 個(gè)呈陽性.如果僅僅從30.96 個(gè)呈陽性檢查者中,真患病的患者0.99 人約占3.2%.

因?yàn)榘滩摲诤荛L(zhǎng), 所以即便感染了也可能在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)不會(huì)有任何不適, 所以艾滋病檢測(cè)的假陽性會(huì)造成非常嚴(yán)重的心理壓力.而在現(xiàn)代醫(yī)學(xué)中,為了進(jìn)一步降低檢查出現(xiàn)差錯(cuò)的概率, 常采用復(fù)查的方式, 通過其余醫(yī)療檢測(cè)方法排除明顯不是艾滋病患者的人群后, 再用艾滋病檢測(cè)對(duì)懷疑的人群進(jìn)行檢查.此時(shí)我們通過貝葉斯公式再次計(jì)算,

發(fā)現(xiàn)這類人群被懷疑的可能性將大幅度提升.

對(duì)于這種初次檢測(cè)準(zhǔn)確率較低的檢測(cè),只需要經(jīng)過再次篩查,就可大幅度提高AIDS 檢測(cè)的準(zhǔn)確性.除此之外,貝葉斯公式還可以在肝癌診斷中最重要的腫瘤標(biāo)志物甲胎蛋白的檢測(cè)中發(fā)揮作用,在孟德爾的基因遺傳學(xué)上也得以應(yīng)用.

例2 在孟德爾豌豆實(shí)驗(yàn)中, 子二代的基因型為DD,Dd,dd, 其中D為顯性基因,d為隱性基因, 且這三種基因型的比為1 : 2 : 1.如果在子二代中任意選取兩株豌豆進(jìn)行雜交試驗(yàn),那么子三代中基因型為dd的父本基因組合為Dd,Dd的概率是多大?

分析 設(shè)從子二代中任取兩株豌豆作為父本進(jìn)行雜交試驗(yàn),有多種基因組合形式,記為Ai(i=1,2,3,···,9);設(shè)事件B: 子三代基因型dd.

因此可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于生物學(xué)科中計(jì)算概率的問題,往往利用與條件概率息息相關(guān)的貝葉斯公式,在已知“結(jié)果”的條件下,探求“原因”的概率.除此之外,數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理、排列組合等多種思想方法在生物學(xué)中個(gè)體自由交配的基因突變和雜合子的基因型判斷都已廣泛應(yīng)用.若生物學(xué)教師能經(jīng)常以數(shù)學(xué)思維引領(lǐng)學(xué)生,配合使用數(shù)學(xué)公式,有利于學(xué)生基于數(shù)理基礎(chǔ)理解更多復(fù)雜的生物學(xué)問題,這也更有利于數(shù)學(xué)公式及定理在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).所以教師在探究生物學(xué)科與數(shù)學(xué)學(xué)科之間的融合問題中,可以多做思考和探索.