基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的四邊三角形解題策略
——一道東莞市期末考試題的思考

廣東省東莞市第六高級(jí)中學(xué)(523419) 王薔薇

解三角形是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要章節(jié).在高考解答題的六大模塊中, 解三角形與三角函數(shù)是其中的一個(gè)重要部分.其中,解三角形題目的涉及形式多樣,主要考察學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).從2020 年八省聯(lián)考,以及2021、2022 年的新高考對(duì)解三角形的考察來看,考察的力度有所增強(qiáng).在教學(xué)中,適當(dāng)?shù)奶幚斫馊切蔚膫€(gè)別微專題,對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力的提升是很有幫助的.筆者探究解四邊三角形的多種解法,希望能起到拋磚引玉的作用.

那什么是四邊三角形呢? 如下圖,在三角形中,增加一條線段,組成兩個(gè)小三角形,這樣的形狀我們稱之為四邊三角形.

1 典例分析

例1 (東莞市2022 高一下期末考試21) ?ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且滿足2bcosC=2a-c.

(1)求角B;

(2)如右圖,若?ABC外接圓半徑為,D為AC的中點(diǎn),且BD=2,求?ABC的周長(zhǎng).

分析 這道題的第(2)問能看到,所有的三角形都不是可解三角形,由第一問得到的B角和外接圓半徑易算出b,要求周長(zhǎng),即找到a+c的值,從條件中不難發(fā)現(xiàn),余弦定理易得到第一個(gè)關(guān)系,兩個(gè)未知數(shù),但是還需另找一個(gè)條件聯(lián)立方程組或者消元才行.所以如何找到第二個(gè)條件,是本題的關(guān)鍵.

2 常見方法

方法一: 余弦定理

評(píng)注 四邊三角形由于圖形的特點(diǎn),容易找到公共的角或者相鄰互補(bǔ)的角即可得到新的邊角關(guān)系,所以,這道題用余弦定理的方法即可解.

方法二: 向量的加法

評(píng)注 由中點(diǎn)的特點(diǎn)易發(fā)現(xiàn),向量法是結(jié)合角度和邊長(zhǎng)的的有力工具,從而結(jié)合余弦定理聯(lián)立方程組,易得.

方法三: 極化恒等式

評(píng)注 由中線的特點(diǎn),用極化恒等式可以快速找到邊角間的關(guān)系.

方法四: 作平行線,轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形

即

評(píng)注 本題由于所給的邊角都不在一個(gè)三角形中,關(guān)鍵沒有可解三角形,所以,將所知條件平移到一個(gè)三角形中也是一個(gè)很巧妙的方法.

方法五: 構(gòu)造平行四邊形

即

評(píng)注 本題由于給定的中線,要找a,c的關(guān)系,補(bǔ)成平行四邊形,用四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和也是一個(gè)不錯(cuò)的方法.

小結(jié) 解三角形問題,關(guān)鍵是看是否有可解三角形,如果不可解,那就需要聯(lián)立方程組或者消元,所以找到相應(yīng)的條件是關(guān)鍵.那么,此類問題,找公共角或者相鄰的補(bǔ)角,利用余弦定理是個(gè)不錯(cuò)的選擇.而由于中線,又有很多可以入手的方式,所以可選擇性比較多.那,如果不是中線呢? 我們可以看看以下的變式.

3 拓展變式

例2 如右圖,在?ABC中,AB=2AC,AD是∠BAC的角平分線,且AD=kAC.求k的取值范圍;

分析: 這也是四邊三角形問題, 只是由中線變成了角平分線,所以我們要根據(jù)角平分線的一些性質(zhì)來求, 比如角平分線定理、面積或者正弦定理來求解.

方法一: 正弦定理

評(píng)注 本題由于給的是角平分線,角多,可以選擇正弦定理求解.也都不是可解三角形,要求k的值,就是邊之間的比例關(guān)系,所以,選擇正弦定理是比較合適的.

方法二: 等面積法

評(píng)注 本題由于給的是角平分線,得到兩角相等,也可以根據(jù)等面積法,找到邊角關(guān)系.

方法三: 余弦定理法

評(píng)注 根據(jù)公共的角或者相鄰互補(bǔ)的角即可得到新的邊角關(guān)系,所以,這道題,用余弦定理的方法即可求解.

方法四: 作平行線,轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形

評(píng)注 由于所給的條件不在一個(gè)三角形中, 所以也可以通過平行線, 將相關(guān)信息轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中,經(jīng)過相似的到邊長(zhǎng)的關(guān)系,亦可利用余弦定理將所求值轉(zhuǎn)換為相關(guān)角來求范圍.

小結(jié) 此題的求解過程很好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程(利用正弦定理、余弦定理解三角形體現(xiàn)的就是方程思想,函數(shù)思想體現(xiàn)在利用函數(shù)知識(shí)求最值)、數(shù)形結(jié)合(將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系再解題)思想.

4 高考鏈接

例3 (2021 新高考Ⅰ卷19)記?ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b2=ac, 點(diǎn)D在邊AC上,BDsin ∠ABC=asinC.

(1)略.(2)若AD=2DC,求cos ∠ABC.

分析 (2)關(guān)鍵是消元,找a和c的關(guān)系,列出等式關(guān)系求解.

評(píng)注 四邊三角形由于圖形的特點(diǎn),容易找到公共的角或者相鄰互補(bǔ)的角即可確定a和c的關(guān)系,所以,這道題,用余弦定理的方法即可求解.

法二: 向量法

由余弦定理得

評(píng)注 由三等分點(diǎn)的特點(diǎn)易發(fā)現(xiàn),向量法也可以結(jié)合角度和邊長(zhǎng)的關(guān)系,從而結(jié)合余弦定理聯(lián)立方程組,易得.

法三: 作平行線,轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形

評(píng)注 根據(jù)輔助線的構(gòu)造,通過平行的比例關(guān)系確定對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度,利用余弦定理,結(jié)合方程的轉(zhuǎn)化與求解,確定a和c的關(guān)系,通過分類討論,可達(dá)到有效轉(zhuǎn)化,巧妙處理.

評(píng)注 這道高考題的模型還是四邊三角形,更為巧妙的是滲透了更多的函數(shù)思想, 用的還是解三角形的思想方法,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)提出了更高的要求.

5 常見解四邊三角形的策略選擇

綜上所述,四邊三角形模型主要包含以下幾種情況:

增加的線段是中線(圖1)時(shí),可用方法比較多,向量的加法、極化恒等式、構(gòu)造平行四邊形等等都是比較好的方法;

圖1

增加的線段是垂線(圖2)時(shí),勾股定理、等面積法常見;

圖2

增加的線段是角平分線(圖3) 時(shí),角平分線定理常用,優(yōu)先正弦定理或者等面積法;

圖3

增加的線段是定比分點(diǎn)或者任意線(圖4)時(shí),如果是定比分點(diǎn),那用向量法或者做平行線構(gòu)造相似也很好用.如果是任意點(diǎn)的話,就公共角或者兩補(bǔ)角互補(bǔ)用余弦定理.

萬變不離其宗, 利用三角形內(nèi)蘊(yùn)的基本方程與不等式(正弦定理、余弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角形三邊的不等關(guān)系),解決代數(shù)條件下或幾何條件下的三角形三條邊與三個(gè)角的度量問題.在獲得三角形三條邊或三個(gè)角的度量關(guān)系的同時(shí),也可以獲得該三角形其他度量信息,如三角形的周長(zhǎng)、面積以及其他伴隨要素的度量信息.所謂給定的代數(shù)條件或幾何條件,既可以是基于三角形三條邊、三個(gè)角的有關(guān)等式,也可以是基于周長(zhǎng)、面積等問題信息.這些給定的條件是否等價(jià)于三角形全等判定的基本定理(角邊角、邊角邊、邊邊邊),決定了該三角形是完全可解,還是局部可解.

6 結(jié)束語

本文探究由一道期末考試題,鏈接高考,比對(duì)感悟,觸類旁通, 歸納出一類題, 形成一個(gè)系統(tǒng)塊, 進(jìn)而拓寬解題視野.在教學(xué)復(fù)習(xí)的過程中,確定好的框架范圍內(nèi),教師通過數(shù)學(xué)教學(xué)課堂,發(fā)揮學(xué)生的主作用.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析,探索發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑,及融入解題思路、規(guī)律等數(shù)學(xué)方法技巧,在此基礎(chǔ)上,提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力,培養(yǎng)其邏輯推理能力,形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).對(duì)我們老師來說,授人以魚不如授人以漁,學(xué)生更加需要的是方法的指引,在高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中,我們希望學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的四基四能,更能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).