不同靜平衡計(jì)算方法對(duì)纜索動(dòng)力學(xué)釋放過(guò)程的影響

余佳旭，張大朋*，張仡，趙博文，朱克強(qiáng)，嚴(yán)謹(jǐn)

（1.廣東海洋大學(xué)船舶與海運(yùn)學(xué)院，廣東湛江 524088；2.浙江大學(xué)海洋學(xué)院，浙江舟山 316021；3.寧波大學(xué)海運(yùn)學(xué)院，浙江寧波 315211）

海洋纜索是海洋資源勘探與開(kāi)發(fā)中不可或缺的細(xì)長(zhǎng)撓性構(gòu)件。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在海洋纜索相關(guān)領(lǐng)域已進(jìn)行了多項(xiàng)研究。重慶交通大學(xué)的袁培銀等人通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了復(fù)雜海況下大型集裝箱碼頭系泊工況，發(fā)現(xiàn)波浪的周期和波幅對(duì)系泊纜索頂端張力有顯著影響[1]。天津大學(xué)的趙金鳳、張若瑜、唐友剛等人在考慮扭轉(zhuǎn)作用的基礎(chǔ)上，分析了不同纜索編制型式對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響，得出纜索張力與編制型式相關(guān)的結(jié)論[2]。浙江大學(xué)的張大朋等人則針對(duì)特定海況下的海洋平臺(tái)系泊系統(tǒng)總體張力分布情況進(jìn)行了分析[3]。哈爾濱大學(xué)的章建軍、段文洋等人探討了Newmark-β迭代解法在纜索動(dòng)力學(xué)特性求解中的效率問(wèn)題[4]。華南理工大學(xué)的劉灶和陳超核研究了風(fēng)浪流聯(lián)合作用下半潛式海洋平臺(tái)系泊系統(tǒng)的水動(dòng)力特性，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的非線性在這些聯(lián)合作用下明顯增強(qiáng)[5]。中海油的于文太等人通過(guò)迭代計(jì)算多浮筒懸鏈線非線性方程組，獲得了系泊纜索的姿態(tài)參數(shù)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的正確性[6]。哈爾濱工程大學(xué)的丁佐鵬基于細(xì)長(zhǎng)桿理論對(duì)系泊纜索進(jìn)行了離散，開(kāi)發(fā)了完整的靜、動(dòng)力分析程序，同時(shí)驗(yàn)證了程序的有效性[6]。寧波大學(xué)的朱克強(qiáng)、張大朋等人則運(yùn)用凝集質(zhì)量法對(duì)海洋纜索進(jìn)行離散，并將該方法應(yīng)用于海洋管線與纜索的三維動(dòng)力學(xué)仿真中[7-12]。

盡管上述研究在海洋纜線的數(shù)值求解、離散方式以及外界載荷變化對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性的影響方面取得了顯著進(jìn)展，但關(guān)于靜平衡計(jì)算方法的變化對(duì)海洋細(xì)長(zhǎng)撓性構(gòu)件總體動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性的影響，目前仍缺乏定性的研究論述。

靜平衡階段作為動(dòng)態(tài)分析的起點(diǎn)，其結(jié)果的準(zhǔn)確性對(duì)動(dòng)態(tài)分析的結(jié)果具有重要的影響。特別是對(duì)于海洋細(xì)長(zhǎng)撓性纜線而言，靜平衡階段的計(jì)算方法直接決定了其結(jié)果的可靠性。鑒于此，本文將深入探討三種不同的靜平衡計(jì)算方法（快速靜平衡計(jì)算法、解析懸鏈線法、懸鏈線法）對(duì)系泊纜索釋放過(guò)程中動(dòng)力學(xué)特性的影響。通過(guò)對(duì)比分析，本文旨在揭示靜平衡計(jì)算方法的變化對(duì)海洋細(xì)長(zhǎng)撓性構(gòu)件動(dòng)力學(xué)仿真過(guò)程的具體影響，從而為海洋纜線的動(dòng)態(tài)仿真建模提供有益的借鑒與參考。

一、理論

鑒于這三種方式均根植于傳統(tǒng)懸鏈線理論，并在其基礎(chǔ)上進(jìn)行了特定取舍，本文將從傳統(tǒng)懸鏈線法的推導(dǎo)及其初步假設(shè)入手，為下文對(duì)三種方法的理論對(duì)比提供基礎(chǔ)。考慮到業(yè)界對(duì)經(jīng)典懸鏈線法已有深入了解，此處僅展示與下文內(nèi)容密切相關(guān)的部分，而不詳述全部經(jīng)典理論。

我們選擇纜索上的一個(gè)微小段ds作為研究對(duì)象（如圖1所示）。其中，D代表垂直于纜索元的流體作用力；F代表沿纜索元切向的流體作用力；T表示纜索的張力；Φ是纜索元與水流方向的夾角，也被稱(chēng)作纜索角；dT和dΦ則分別代表在微小段ds上張力和纜索角的微小變化；ω代表單位長(zhǎng)度纜索在水中的重量，這是扣除了浮力后的凈重。重要的是，我們?cè)谶M(jìn)行纜索元ds的受力分析時(shí)，需要引入一個(gè)修正項(xiàng)。因?yàn)槲覀冊(cè)谟?jì)算纜索元浮力時(shí)已經(jīng)計(jì)入了其兩端的流體壓力，但實(shí)際上這兩端并不直接受到流體壓力的作用。具體來(lái)說(shuō)，我們需要在纜索元上下兩端的張力中分別減去ρgA（h-z-dz）和ρgA（h-z），其中A代表纜索的橫截面積。

圖1 纜索微元受力示意圖Figure1 Diagram of Cable Micro-element Force

圖2 快速靜平衡計(jì)算法時(shí)纜索下放過(guò)程中空間形態(tài)的動(dòng)態(tài)變化Figure2 Configuration of Cable with Quick Equilibrium Calculation Method

圖3 解析懸鏈線法計(jì)算靜平衡時(shí)纜索下放過(guò)程中空間形態(tài)的動(dòng)態(tài)變化Figure3 Configuration of Cable with Analytic Catenary Calculation Method

圖4 懸鏈線法計(jì)算靜平衡時(shí)纜索下放過(guò)程中空間形態(tài)的動(dòng)態(tài)變化Figure4 Configuration of Cable with Catenary Calculation Method

根據(jù)圖1，當(dāng)這些力達(dá)到靜平衡狀態(tài)時(shí)，我們可以得出以下等式關(guān)系：

在纜索元的法線方向上：

在切線方向上：

在這兩個(gè)公式中，我們利用了纜索元張力和纜索角的變化（dT和dΦ）都是小量的前提，并且省略了包含諸如dTdΦ、dzdΦ等高階小量的項(xiàng)。

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化表達(dá)，我們引入表觀張力T的概念，即T=T-ρgA（h-z）。這樣，（1）和（2）兩個(gè)公式可以重新表達(dá)為：

為了表述的簡(jiǎn)潔性，我們?cè)诤罄m(xù)的討論中將省略T上的撇號(hào)。

值得注意的是，以上兩個(gè)描述纜索平衡的方程是非線性的，通常難以找到解析解。但在特定情況下，尋求解析解是可能的。比如，在纜索材質(zhì)較重或海流流速較小時(shí)，纜索受到的作用力以重力為主，流體作用力的影響可以被忽略，這樣方程就可以簡(jiǎn)化為：

以上便是傳統(tǒng)懸鏈線法的推導(dǎo)過(guò)程。此過(guò)程基于一個(gè)前提：重力相較于流體作用力是可以忽略的。由于這種方法能夠獲得明確的解析解，我們將其稱(chēng)為解析懸鏈線法。

解析懸鏈線法實(shí)際上是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)懸鏈線法的一種簡(jiǎn)化處理。在這種方法中，我們主要考慮了纜索所承受的重力、浮力以及軸向彈性，而忽略了諸如慣性力、拖曳力、附加質(zhì)量力、彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度，以及端點(diǎn)連接剛度和壓力等因素的影響。

然而，需要指出的是，如果在特定情況下流體作用力的影響變得顯著，那么纜索平衡方程3和4之后的推導(dǎo)就不再成立，從而無(wú)法導(dǎo)出式5和6。在這種情況下，我們需要借助數(shù)值積分的方法，來(lái)逐個(gè)考慮流體作用力的影響。

本文所提及的懸鏈線法是基于傳統(tǒng)懸鏈線理論。與傳統(tǒng)解析懸鏈線法相似的是，它也忽略了纜索的彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度。不同的是，它采用了數(shù)值積分的方式來(lái)全面考慮纜索所承受的各種力，包括重力、浮力、波流拖曳力、慣性力以及纜索的軸向剛度。這一方法目前已成為海洋纜線靜態(tài)計(jì)算的主流方法。為了便于區(qū)分，下文中提到的“懸鏈線法”均指這種方法。

快速靜平衡算法是一種為了提高計(jì)算效率和收斂性而進(jìn)行了大量簡(jiǎn)化的算法。具體來(lái)說(shuō)，它忽略了纜索所受的浮力、流體拖曳力、彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度以及纜索與海床之間的相互接觸力，僅考慮單位長(zhǎng)度的重力和軸向彈性。

二、計(jì)算模型的建立

目前，針對(duì)海洋管線等細(xì)長(zhǎng)撓性構(gòu)件，凝集質(zhì)量法被廣泛采用作為建模和離散方法，且其準(zhǔn)確性已獲得普遍驗(yàn)證。因此，在本文中，我們選擇了凝集質(zhì)量法來(lái)建立系泊纜索的模型。有關(guān)凝集質(zhì)量法的詳細(xì)闡述，可參考作者在文獻(xiàn)中的論述，此處不再重復(fù)。

纜索的頂端初始時(shí)是系泊在一艘船上的。靜平衡建立之初，纜索頂端與船艏緊密連接，靜平衡建立后，纜索便會(huì)從船艏脫落釋放。

系泊纜索的具體參數(shù)設(shè)置如下：長(zhǎng)度為220m，外徑0.35m，內(nèi)徑0.25m，彈性模量無(wú)限大，線密度為0.18t/m。此外，泊松比為0.5，彎曲剛度為120kN.m2，扭轉(zhuǎn)剛度為80kN.m2，軸向剛度高達(dá)700MN。纜索的附加質(zhì)量系數(shù)設(shè)為1，法向拖曳力系數(shù)為1.2，軸向拖曳力系數(shù)則為0.008。在本文中的離散單元為2m，因此，整根系泊纜索被離散成了110個(gè)凝集質(zhì)量點(diǎn)。

具體海況：水深為100m，平坦海床，海床的法向剛度和切向剛度均為1 000kN/m/m2。由于微幅波理論和Stokes波理論在求解析近似解時(shí)涉及大量復(fù)雜的代數(shù)計(jì)算，且無(wú)法全面考慮海流對(duì)波浪特性的影響，Dean在1965年提出了流函數(shù)理論。該理論基于流體不可壓縮、運(yùn)動(dòng)有勢(shì)的假設(shè)，同時(shí)考慮了波動(dòng)自由水面的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力邊界條件，因而適用于任何海況下的波浪模擬。為確保本文波浪載荷加載的精確性，我們選擇了流函數(shù)作為波浪類(lèi)型，波浪方向設(shè)為180°，波高為7m，波浪周期為8s。如果采用其他波浪理論，筆者建議將其結(jié)果與流函數(shù)理論進(jìn)行比對(duì)，以驗(yàn)證其有效性。

三、計(jì)算結(jié)果

（一）快速靜平衡計(jì)算法

在觀察快速靜平衡計(jì)算法下的纜索釋放過(guò)程時(shí)，我們可以明顯看到其空間形態(tài)的變化。在靜平衡階段，由于主要考慮了重力的作用，系泊纜索在釋放后會(huì)直接垂直下落。此階段中，纜索的上部分并未出現(xiàn)S型反復(fù)彎折。這種彎折現(xiàn)象主要集中在纜索即將接觸海床時(shí)，因大范圍的長(zhǎng)度重疊而產(chǎn)生。彎折過(guò)程中，纜索先彎向一側(cè)，然后彎向與前一步彎曲方向相反的另一側(cè)，這種次第彎曲在時(shí)域上持續(xù)進(jìn)行并向下傳導(dǎo)。最終，反復(fù)彎折的區(qū)域在觸底后會(huì)在海床上小范圍滑動(dòng)，最終形成一種類(lèi)似橫8字蝴蝶結(jié)（∞）的形態(tài)。此外，纜索最初觸地的部分在整個(gè)動(dòng)態(tài)仿真過(guò)程中始終保持與海床平行的水平狀態(tài)，不會(huì)發(fā)生改變。這種現(xiàn)象的產(chǎn)生原因是，在靜平衡階段，模型主要考慮了拖纜的重力，而忽略了浮力和水流的拖曳作用，從而導(dǎo)致纜索在重力作用下自然下垂。當(dāng)進(jìn)入動(dòng)態(tài)仿真階段后，由于水流的拖曳力、波浪力等開(kāi)始起作用，纜索在這些合力的影響下開(kāi)始發(fā)生反復(fù)彎扭。

（二）解析懸鏈線法

與快速靜平衡計(jì)算法相比，解析懸鏈線法更進(jìn)一步地考慮了浮力的作用。因此，在靜平衡計(jì)算階段及纜索下落的動(dòng)態(tài)階段，浮力都會(huì)對(duì)纜索產(chǎn)生影響。從形態(tài)變化上來(lái)看，由于浮力的作用，纜索在達(dá)到靜平衡時(shí)會(huì)與快速靜平衡計(jì)算法有所不同。具體而言，此時(shí)纜索的觸底部分在動(dòng)態(tài)階段的初始時(shí)刻會(huì)形成一個(gè)半橫8字形的回折角。這是快速平衡計(jì)算法中所未觀察到的現(xiàn)象。隨后的動(dòng)態(tài)下落階段則與纜索在快速靜平衡算法下的表現(xiàn)類(lèi)似，都會(huì)發(fā)生集中在纜索即將接觸海床時(shí)的S型反復(fù)彎折。同樣地，這種彎折也是由于大范圍的長(zhǎng)度重疊所導(dǎo)致，并伴隨著向兩側(cè)交替的彎曲過(guò)程。最終，反復(fù)彎折的區(qū)域在觸底后也會(huì)在海床上小范圍滑動(dòng)，并呈現(xiàn)出橫8字蝴蝶結(jié)的形狀。然而，由于之前在觸底段的最左側(cè)形成了半橫8字形的回折角，纜索最終落地后會(huì)形成一種半橫8字型與橫8字型組合的空間形態(tài)。顯然，增加浮力作用后，纜索釋放后的形態(tài)相較于僅考慮重力和軸向剛度時(shí)的情況發(fā)生了顯著的變化。

此外，我們通過(guò)對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)入動(dòng)態(tài)階段后，無(wú)論是快速靜平衡計(jì)算法還是解析懸鏈線法，波浪力在纜索動(dòng)態(tài)仿真中的效應(yīng)均未能得到充分體現(xiàn)。這主要是因?yàn)檫@兩種方法均未充分考慮拖曳力與慣性力的作用所導(dǎo)致的。

（三）懸鏈線法

正如前文所述，懸鏈線法在進(jìn)行纜索靜平衡計(jì)算時(shí)，綜合考量了纜索所承受的重力、浮力、波流拖曳力、慣性力以及纜索的軸向剛度。值得注意的是，波浪力正是由波流拖曳力和慣性力共同構(gòu)成。因此，在靜平衡階段，該方法就已計(jì)算了波浪力的作用。相較于前兩種纜索靜平衡計(jì)算方法，懸鏈線法的特點(diǎn)在于，在纜索釋放的靜平衡階段就充分考慮了波浪對(duì)纜索形態(tài)變化的影響。通過(guò)觀察動(dòng)態(tài)下放階段的纜索空間形態(tài)變化情況，我們可以發(fā)現(xiàn)，采用懸鏈線法作為靜平衡階段計(jì)算方法的纜索動(dòng)態(tài)形態(tài)，與其余兩種方法下的動(dòng)態(tài)形態(tài)存在顯著差異。在懸鏈線法靜平衡計(jì)算后，纜索的上部分在初期下落時(shí)便出現(xiàn)了大幅度的拉伸與彎扭。在下降過(guò)程中，纜索除了呈現(xiàn)S型反復(fù)彎折外，還伴隨著垂向運(yùn)動(dòng)和反復(fù)的左右擺動(dòng)。這種垂向與橫向的復(fù)合運(yùn)動(dòng)是由于考慮了波流的拖曳力和慣性力，隨著波浪的起伏而產(chǎn)生的，貫穿于纜索釋放的整個(gè)過(guò)程。這種既有垂向運(yùn)動(dòng)又有橫向擺動(dòng)的組合運(yùn)動(dòng)，使纜索在下落過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)軌跡變得異常復(fù)雜。運(yùn)動(dòng)軌跡的復(fù)雜性又進(jìn)一步導(dǎo)致了纜索形態(tài)變化的復(fù)雜性。在S型彎折下落的過(guò)程中，纜索發(fā)生了大幅度的回環(huán)，形成了一個(gè)橫向拉長(zhǎng)的0形回轉(zhuǎn)結(jié)。隨后，繼續(xù)經(jīng)歷反復(fù)的S型彎折，纜索最終形成了三個(gè)橫8字形。這三個(gè)橫8字形的左側(cè)高度重合，而右側(cè)則相互滑移錯(cuò)開(kāi)。隨著不斷彎曲重疊，纜索最終呈現(xiàn)出三個(gè)橫8字形重疊、一個(gè)橫向拉長(zhǎng)的0形回轉(zhuǎn)結(jié)位于橫8字形結(jié)合部的復(fù)雜形態(tài)。

四、結(jié)束語(yǔ)

1.纜索釋放過(guò)程雖然屬于動(dòng)態(tài)范疇，但對(duì)其進(jìn)行仿真的基石是靜平衡狀態(tài)。只有在達(dá)到靜平衡之后，我們才能進(jìn)行動(dòng)態(tài)過(guò)程的仿真與分析。

2.纜索靜平衡的計(jì)算方法對(duì)動(dòng)態(tài)計(jì)算的響應(yīng)特性具有直接影響。采用不同的靜平衡計(jì)算方法，會(huì)導(dǎo)致纜索在動(dòng)態(tài)下放階段展現(xiàn)出截然不同的特性。

3.若在靜平衡階段我們僅考慮重力因素和纜索的軸向剛度（即采用快速靜平衡計(jì)算法），則纜索在動(dòng)態(tài)下放過(guò)程中對(duì)波浪與海流載荷的響應(yīng)會(huì)顯著減弱。這與實(shí)際情況存在較大差異。

4.若在靜平衡階段我們只考慮重力、浮力因素以及纜索的軸向剛度（即采用解析懸鏈線法），則纜索在動(dòng)平衡下放過(guò)程中會(huì)更好地體現(xiàn)海流的作用，但波浪載荷導(dǎo)致的動(dòng)態(tài)特性仍會(huì)有所削弱。

5.若我們?cè)诶|索的靜平衡計(jì)算中綜合考慮了重力、浮力、波流拖曳力、慣性力以及纜索的軸向剛度（即采用懸鏈線法），則纜索在動(dòng)態(tài)下放過(guò)程中所展現(xiàn)的特性將最為接近真實(shí)狀態(tài)。

6.最后需強(qiáng)調(diào)的是，在靜平衡階段如果考慮的因素過(guò)多會(huì)增加收斂的難度。因此，針對(duì)具體的海洋工程情境，我們可靈活選擇特定的靜平衡方法，以在節(jié)省計(jì)算時(shí)間的同時(shí)確保計(jì)算的準(zhǔn)確性。例如，在無(wú)波浪的海域進(jìn)行海洋管線鋪設(shè)施工時(shí)，由于下放速度較慢且海流拖曳作用較弱，為節(jié)省計(jì)算時(shí)間和降低模型收斂難度，我們可優(yōu)選解析懸鏈線法進(jìn)行靜平衡計(jì)算。這樣既能考慮浮力影響，保證動(dòng)態(tài)特性的相對(duì)真實(shí)性，又能在相對(duì)節(jié)省時(shí)間的同時(shí)提高計(jì)算準(zhǔn)確性。