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    數(shù)學方法抽象性的具象轉(zhuǎn)變探析

    2024-05-16 10:40:40程偉偉
    江蘇教育研究 2024年2期
    關鍵詞:抽象性數(shù)學方法小學數(shù)學教學

    摘要:數(shù)學方法的抽象性給學生的數(shù)學學習帶來了距離感。應融合數(shù)學方法的形成過程和學生學習數(shù)學的思維過程,讓數(shù)學方法的抽象性更容易被學生接受,增強數(shù)學學科的親和力。教師可帶領學生深入弱抽象過程,投入探究過程,融入再創(chuàng)造活動,引入數(shù)學文化,淡化數(shù)學方法的抽象性,培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

    關鍵詞:數(shù)學方法;抽象性;具象教學;小學數(shù)學教學

    中圖分類號:G623.5 文獻標志碼:A 文章編號:1673-9094(2024)02-0117-04

    《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》中,數(shù)學眼光主要表現(xiàn)為:抽象能力(包括數(shù)感、量感、符號意識)、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識。通過對現(xiàn)實世界中基本數(shù)量關系與空間形式的觀察,學生能夠直觀理解所學的數(shù)學知識及其現(xiàn)實背景;能夠在生活實踐和其他學科中發(fā)現(xiàn)基本的數(shù)學研究對象及其所表達的事物之間簡單的聯(lián)系與規(guī)律;能夠在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題,進行數(shù)學探究;逐步養(yǎng)成從數(shù)學角度觀察現(xiàn)實世界的意識與習慣,發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識[1]。具象思維是直觀思維的初級形式,而形象思維是直觀思維的高級形式。數(shù)學具有抽象性,對于以直觀思維為主的小學生而言,抽象的數(shù)學是有理解難度的,具象思維是幫助他們理解抽象數(shù)學的重要手段。

    數(shù)學的一個最基本的特征就是高度抽象,而且數(shù)學的抽象還不同于其他學科:數(shù)學不但研究的對象是抽象的、形式化的思維材料,而且數(shù)學研究的思辨方式也是抽象的。數(shù)學的抽象特征處理得不當就會遮蔽數(shù)學學科應有的親和力,掩蓋學生學習數(shù)學的興趣,影響數(shù)學學習的效果,解決這一問題的最佳策略是數(shù)學學習的具象化。小學數(shù)學的概念、方法與思想等是隨著人類的發(fā)展以及數(shù)學本身的發(fā)展自然形成的。數(shù)學學習認識論認為學生學習數(shù)學思維過程是“從具體到抽象,從特殊到一般,由表及里,由現(xiàn)象到本質(zhì)”。筆者提出淡化數(shù)學方法的抽象性,不是要拋棄數(shù)學抽象性,而是主張融合數(shù)學方法的形成過程和學生學習數(shù)學的思維過程,讓數(shù)學方法的抽象性更容易被學生接受,增強數(shù)學學科的親和力。

    一、深入弱抽象過程,在數(shù)學化中發(fā)現(xiàn)

    數(shù)學研究的對象是抽象的、形式化的思想材料,但現(xiàn)實世界中畢竟沒有這些對象物化形式的實際存在,人類可能會依據(jù)數(shù)學對象去形成相關的客觀背景,但它們依舊是人類思維抽象的產(chǎn)物。這種舍棄部分屬性、保留共同屬性的弱抽象過程讓部分學生感到陌生,但數(shù)學對象形成的客觀背景卻為教學提供了突破口:通過豐富感知的材料,經(jīng)過觀察、比較等活動展示數(shù)學化的過程。

    例如,在“倍的認識”的教學中,教師引導學生用小棒擺兩行,讓第二行的根數(shù)是第一行的5倍,開展比較:小棒的數(shù)量都不同,為什么第二行都是第一行的5倍?進一步拓展:(第一行3根,第二行15根)第二行是第一行的幾倍?如何擺6倍、10倍、100倍?如果把小棒變成相對應的綠帶子與紅帶子,紅帶子的長是綠帶子的幾倍?去掉帶子的顏色,長帶子是短帶子的幾倍?帶子變成線段,再標上長度,第二條線段的長度是第一條的幾倍?學生會自覺地想到用除法計算倍數(shù)關系。教師追問這里為什么用除法。學生發(fā)現(xiàn)就是求10里面有幾個2,所以用除法計算。

    這個學習過程實際上和人類認識數(shù)學的抽象過程是一致的:從小棒這樣的實物之間的倍數(shù)開始動手操作,先把小棒抽象為彩帶,去掉彩帶的顏色,再把彩帶抽象為線段,最后把線段抽象為用數(shù)據(jù)表示的長度,成倍數(shù)的兩個量可以有不同的表現(xiàn)形式,但只要是把一個量看作1份,另一個量有這樣的5份,就是5倍的關系。學生通過兩個數(shù)量之間的5倍關系由具體到抽象的過程,認識到求兩個量之間的倍數(shù)關系用除法。抽象的數(shù)量之間倍的關系經(jīng)歷了這樣的生成過程,運用圖例、實物等思維“可視化”技術可將學生看不見的思維方法呈現(xiàn)出來,使學生思維變得清晰,從而幫助學生理解概念、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、掌握方法、建構(gòu)思想等[2]。

    二、投入探究過程,在猜想驗證中體驗

    數(shù)學的思維方式以抽象的思辨為主,嚴謹?shù)倪壿嬐评韺πW生而言過于抽象,學生會感到比較陌生。根據(jù)小學生的年齡特點,無論是教材的編寫人員,還是一線的教育專家都建議:數(shù)學教學中多運用合情推理的探索方法來得出結(jié)論。這種合情推理的方法就是從一類對象的部分對象都具有的某種性質(zhì)中推出這類對象全體都具有這種性質(zhì),從一個或幾個特殊情形中推出一般性結(jié)論的歸納推理方法。實踐證明學生很容易接受并掌握這種方法。

    在“分數(shù)除以整數(shù)”的教學中,創(chuàng)設探究過程,讓學生獲得觀察猜想和舉例驗證的體驗。

    (一)搭建觀察猜想的平臺

    數(shù)學的歷史表明,數(shù)學的發(fā)展與數(shù)學猜想密切聯(lián)系。猜想時,往往要將問題加以特殊化和具體化,對觀察到的現(xiàn)象和情況進行分析、比較、綜合、歸納,把其中本質(zhì)的性質(zhì)抽取出來,目的是為了提出合理的猜想。它不是對問題的所有可能的情況進行歸納,而是從若干個別的事實中看到真理的端倪或身影,從中受到啟發(fā),提出假設和猜想。

    教師出示這樣的題組:“老師帶來了同樣大小的4個橙子分給小朋友,每人吃2個,一共可以分給幾個小朋友?每人吃1個呢?每人吃?個呢?”通過追問“為什么這里都用除法?”,讓學生感知4里面有幾個“1份”。教師引導學生通過分圓片來觀察思考:“4里面有幾個?呢?”學生觀察圓片可以很快看出4里面有8個? ? ?。仔細對比4÷? ? ?、4×2這兩個式子,有些思維能力較強的學生當時就能提出這樣的猜想:似乎一個數(shù)除以幾分之一等于乘幾分之一的倒數(shù)。

    (二)提供舉例檢驗的空間

    小學數(shù)學探究活動中的檢驗,并不是通常意義上的數(shù)學證明,即不是邏輯推理的論證,因此這樣的猜想驗證才會被小學生接受。這種探究性的檢驗,實際上是借助特例或反例,對所提出的猜想進行思想驗證。通過這樣的檢驗,或提高猜想的可信度,或?qū)υ瓉淼牟孪脒M行改進,或推翻原來的猜想。

    針對提出猜想后學生感覺到還需要再探究一些例子,教師及時呈現(xiàn)以下例子:“如果每人吃? ? 個,可以分給幾人?如果每人吃? ? 個呢?”讓學生分組研究,學生邊操作邊思考,找到解決問題的辦法,認識到4÷? ? 和4÷? ?這兩個例子都可以用整數(shù)乘這個分數(shù)的倒數(shù)來算。有學生持懷疑態(tài)度:這個結(jié)論有可能是對的,但目前我們還不能確定。然后再追問:怎么才能確定這個結(jié)論是正確的呢?有學生提出:可以用4除以一個任意的分數(shù)試試看。教師再引導:是不是每個人所舉的例子都可以用乘倒數(shù)算呢?學生發(fā)現(xiàn)全班同學的幾十個例子中都找不到反例,結(jié)論正確的情況越多,結(jié)論的可靠性就越大。此時,教師深入提問:“有沒有同學的例子能代表所有的同學所舉的例子?”啟發(fā)學生舉出一般性的例子:“4個橙子,如果每人吃? ? ?個,可以分給幾人?(n不為0)”當然,這個例子概括了這種問題的所有情況,已涉及代數(shù)的內(nèi)容,具有很強的抽象性。

    通過以上層層深入的幾個步驟,學生充分地自主探究、體驗,思維從具體到抽象、從特殊到一般。這樣探究的方式,學生樂于接受,同時還可提升不完全歸納的可靠性,培養(yǎng)學生科學嚴謹?shù)膶W習精神。

    三、融入再創(chuàng)造活動,在親身實踐中提煉

    數(shù)學思想方法是對數(shù)學對象的本質(zhì)認識,是對數(shù)學認識過程中提煉概括的基本觀點和根本想法,對數(shù)學活動具有普遍的指導意義,是數(shù)學的靈魂。數(shù)學思想方法不能單獨存在,而是蘊含在數(shù)學知識中,特別蘊含在數(shù)學概念和原理的形成過程中。這就要求我們有意識地安排從中領悟數(shù)學思想方法的過程[3]。實踐中應當充分利用概念和原理的形成過程,讓學生在教師的指導下經(jīng)歷數(shù)學思想方法的再創(chuàng)造過程,即悟數(shù)學思想方法。悟需要實踐過程,需要一個循序漸進、逐步逼近思想本質(zhì)的過程。

    重疊問題在日常生活中應用比較廣泛,具有濃濃的生活味。集合是比較系統(tǒng)抽象的數(shù)學思想方法,針對小學生的認知水平,讓學生通過生活中容易理解的題材去初步體會集合思想,學生能夠用自己所悟到的數(shù)學思想方法來解決問題[4]。因此,在“重疊問題”的教學中,集合圖的生成及理解一定要作為重中之重,因為集合圖滲透著集合的數(shù)學思想。集合圖的生成過程就是集合思想的滲透過程。學生初次接觸,對于他們來說是一個認知的跨越,也是一個思維的跨越。

    在教學中,首先,為學生提供含有重疊問題的信息:參加定點投籃比賽的同學的名單和參加運球跑比賽的同學的名單。其次,引導學生在解決問題時多加思考:需要選拔多少人參加這兩項比賽?為什么有的計算的結(jié)果比實際數(shù)量要多?再次,激發(fā)學生整理重復信息。整理的結(jié)果應該符合這樣的標準:體現(xiàn)形象、美觀、簡單的特點,便于觀察。最后,在課堂上讓學生充分地自主整理,學生發(fā)現(xiàn)了很多整理的方式:

    方式1:

    參加定點投籃比賽的:1、2、3、(4、5)

    參加運球跑比賽的:6、7、8、9、(4、5)

    括號里是兩項都參加的

    方式2:

    只參加定點投籃比賽的:(1、2、3)

    只參加運球跑比賽的:(6、7、8、9)

    兩項都參加的:(4、5)

    方式3:

    只參加定點投籃比賽的:(1、2、3)

    兩項都參加的:(4、5)

    只參加運球跑比賽的:(6、7、8、9)

    方式4:(分別對應文字下方內(nèi)容,括號里兩項都參加)

    參加定點投籃比賽的:? ? ?參加運球跑比賽的:

    1、2、3、(4、5)、6、7、8、9

    教師追問:表示信息的方式各有什么特點呢?哪一種表示方式最好?找一找心目中理想的方法。多種不同的方式可以引發(fā)學生思維的碰撞。

    學生的再創(chuàng)造源于自身對問題的深切感受和教師的恰當引導,是學生為了解決問題的必然選擇,從而使再創(chuàng)造成為可能。經(jīng)歷這樣的再創(chuàng)造,學生對抽象的、集合的數(shù)學思想方法不再陌生,感覺這些方法就在自己身邊,當學生需要時,經(jīng)過思考,這些數(shù)學思想方法就會得以運用。

    四、引入數(shù)學文化,在具象探究中提升

    教師不僅僅是數(shù)學知識的傳遞者,也是數(shù)學文化的介紹者,更是學生數(shù)學觀念的締造者[5]。數(shù)學文化是數(shù)學歷史發(fā)展的“活化石”。課堂上教師不僅能把數(shù)學文化當作開拓視野的內(nèi)容,而且可以借鑒數(shù)學文化中經(jīng)典方法的實際運用,引導學生在具象的探究中,創(chuàng)造性地解決一些數(shù)學方法探索中的矛盾。

    將數(shù)學文化中的內(nèi)在美引入課堂,在數(shù)學文化中追尋數(shù)學的美,不僅有利于學習困難的解決,而且有利于學生對數(shù)學方法產(chǎn)生親切感。例如,學生對圓周率已知曉,但教師故意“攪局”,問道:墨子說“大圓之圓與小圓之圓同”,《周髀算經(jīng)》說“周三徑一”,都是書上記載,為什么會不同呢?在這樣的問題思考中,引發(fā)認知沖突,學生就會精心測量周長、直徑,認真地計算。學生的探究還是得不到3.14。甚至教師的親自動手測量計算都得不到理想的數(shù)據(jù),學生感覺到用測量的辦法是永遠無法得到這個答案的?;谶@樣的憤悱情緒,學生就會有去探尋中外數(shù)學家解決圓周率問題的動機?!案顖A術”在此時的出現(xiàn)水到渠成,教師介紹“割圓術”:不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周長的方法。按照這樣的思路,由此而求得了圓周率為3.14和3.1416這兩個近似數(shù)值。教師讓學生討論“割圓術”和“操作測量法”比較有什么優(yōu)點。學生感覺到越是把圓周分割得細,誤差就越少,其內(nèi)接正多邊形的周長就越是接近圓周。如此不斷地分割下去,一直到圓周無法再分割為止,也就是到了圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限多的時候,它的周長就與圓周“合體”而完全一致了。

    “割圓術”數(shù)學方法的巧妙和數(shù)學思想方法的創(chuàng)造讓學生在形象生動的探究過程中感受到數(shù)學的美好。在具象探究中解決圓周率的有關問題時,學生受到數(shù)學文化的熏陶、數(shù)學美的感染,被培養(yǎng)了這樣的觀念:當一種方法難以解決一個問題時,就得另辟蹊徑,這就是數(shù)學上的創(chuàng)新。

    教學實踐中,教師應堅持循序漸進,逐步深入;強調(diào)從特殊到一般,從具體到抽象;克服急于求成、急功近利的思想。教師帶領學生深入弱抽象過程,投入探究過程,融入再創(chuàng)造活動,引入數(shù)學文化,淡化數(shù)學方法的抽象性,讓不同智力水平的學生獲得基本的數(shù)學素養(yǎng)。

    參考文獻:

    [1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)[M].北京:北京師范大學出版社,2022:5-6.

    [2]徐萌.聚焦思維“可視化”,引領學生走向數(shù)學意義的深刻理解[J].教育觀察,2019(8):100-101.

    [3]陳志凱.指向思維可視化的小學數(shù)學教學策略[J].數(shù)學教學通訊,2022(4):17-18.

    [4]徐慧萍.講究教學策略 提升思維品質(zhì)[J].小學數(shù)學教育,2018(9):16-17.

    [5]陳華忠.提升數(shù)學核心素養(yǎng)的五個著眼點[J].江西教育,2016(29):73-74.

    責任編輯:石萍

    收稿日期:2023-12-11

    作者簡介:程偉偉,南京市鼓樓實驗小學,主要研究方向為小學數(shù)學教學。

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