數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

作者簡(jiǎn)介：林欣（1996—），女，漢族，福建泉州人，本科，中學(xué)二級(jí)，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、中學(xué)數(shù)學(xué)。

為了促進(jìn)教學(xué)活動(dòng)的順利、高效開展，明確落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，教師需要重視對(duì)教學(xué)理念的創(chuàng)新與變革，以便為學(xué)生創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，進(jìn)一步挖掘?qū)W生的潛能，為學(xué)生高效開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。數(shù)形結(jié)合思想作為重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力有著重要意義。

教師應(yīng)將數(shù)形結(jié)合思想融入日常教學(xué)中，以助力學(xué)生更高效地解決數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維。同時(shí)函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力的提升有著重要影響。

因此，在“函數(shù)”教學(xué)中，教師應(yīng)重視對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的有效應(yīng)用，直觀、生動(dòng)地展現(xiàn)抽象的函數(shù)知識(shí)，充分發(fā)揮學(xué)生的形象思維能力，幫助學(xué)生掌握問題的本質(zhì)，使其能夠快速、高效地解決問題，從而為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的高質(zhì)、高效開展提供助力。

一、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師可以結(jié)合教學(xué)知識(shí)創(chuàng)設(shè)生動(dòng)、有趣的教學(xué)情境，以吸引學(xué)生的注意力，使學(xué)生能夠真正關(guān)注到問題，并運(yùn)用圖形對(duì)問題中所包含的內(nèi)容進(jìn)行直觀呈現(xiàn)，讓學(xué)生親身感受到數(shù)形結(jié)合所創(chuàng)造的便利，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)學(xué)問題的熱情，并深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值與意義。

例如，教師可以結(jié)合生活實(shí)際設(shè)置例題，通過創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的解題興趣。

問題：25路公交車往返于A、B兩地，兩地的發(fā)車時(shí)刻表相同。假設(shè)公交車均速直線向前行駛，從A地到B地，從B地到A地所用時(shí)間都是60分鐘，每間隔10分鐘發(fā)一趟車。提問：一輛25路公交車從A地出發(fā)，途中能遇到幾輛由B地出發(fā)的25路公交車？

在分析問題后：

學(xué)生1：能夠遇到4輛。

學(xué)生2：能夠遇到5輛。

學(xué)生3：能夠遇到6輛。

學(xué)生4：能夠遇到7輛。

教師：針對(duì)這一問題，大家的答案各不相同，以前也有數(shù)學(xué)家針對(duì)類似問題進(jìn)行了激烈爭(zhēng)論。雖然這道題十分簡(jiǎn)單，卻隱藏著重要信息，需要我們運(yùn)用合理的方法解題。

學(xué)生一聽數(shù)學(xué)家都沒有解出這道題都感到十分的疑惑，非常想知道最后數(shù)學(xué)家是怎樣解出問題的。

教師引導(dǎo)：有一位數(shù)學(xué)家針對(duì)此題目畫了一張圖（見圖1），其他數(shù)學(xué)家看到后醍醐灌頂。所以我們?cè)诮忸}的過程中，也需要畫一畫，看一看畫圖能不能讓問題簡(jiǎn)單化，幫助我們更快速地解決問題。

通過對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)例的運(yùn)用，教師可以為學(xué)生創(chuàng)造熟悉的學(xué)習(xí)環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的解題欲望，同時(shí)在學(xué)生答案不統(tǒng)一的情況下，教師并沒有直接展示答題過程以及結(jié)果，而是運(yùn)用話語(yǔ)激發(fā)學(xué)生的探索欲望，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)家也會(huì)遇到不能解決的問題，但數(shù)學(xué)家會(huì)積極探尋解題的思路與方法，當(dāng)學(xué)生知道數(shù)學(xué)家借助圖形解決問題后，自然而然地產(chǎn)生了運(yùn)用圖形解決問題的欲望，探索熱情空前高漲。

在日常解題過程中，盡管題目看似十分簡(jiǎn)單，但如果解題方法沒有用對(duì)，就會(huì)讓解題過程困難重重。數(shù)形的有效結(jié)合不僅可以簡(jiǎn)化問題，還能夠保障學(xué)生的解題質(zhì)量。

在解答以上問題的過程中，學(xué)生可以通過展示公交車的運(yùn)行軌跡和時(shí)間間隔，并通過對(duì)公交車的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)和時(shí)間間隔進(jìn)行展示，使學(xué)生能夠在實(shí)際解題中深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)形之間的關(guān)系，使學(xué)生能夠在不斷練習(xí)中形成良好的數(shù)形結(jié)合思想，從而不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力。

二、強(qiáng)化學(xué)習(xí)拓展

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，并將數(shù)形結(jié)合思想融入其中，讓學(xué)生能夠在活動(dòng)中掌握數(shù)形結(jié)合的方法，并形成相關(guān)的思想理念。在豐富多樣、生動(dòng)有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生能夠始終保持高漲的學(xué)習(xí)熱情，并對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有著較高的探究欲望。

例如，在“一次函數(shù)”的教學(xué)中，為了探尋一次函數(shù)的凸顯與性質(zhì)，教師可以通過提問給予學(xué)生引導(dǎo)，并設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，助力學(xué)生形成良好的數(shù)形結(jié)合意識(shí)。

教師：同學(xué)們，讓我們?cè)谙嗤闹苯亲鴺?biāo)系中畫出函數(shù)y=2x、y=2x+1、y=2x-1的圖象。

在學(xué)生繪制函數(shù)圖象的過程中，教師可以通過電子白板繪制并展示函數(shù)圖象，給予學(xué)生引導(dǎo)。

教師：我們已經(jīng)完成了對(duì)函數(shù)圖象的繪制，接下來讓我們仔細(xì)觀察圖象，想一想一次函數(shù)圖象的性質(zhì)。

（學(xué)生之間互動(dòng)交流。）

學(xué)生1：通過對(duì)一次函數(shù)圖象的觀察我發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)圖象是一條直線。如果k的數(shù)值相同，而b的數(shù)值不同，就能夠獲得平行直線。

教師：這是一個(gè)非常重要的發(fā)現(xiàn)。讓我們一起探究一下k的數(shù)值不同，而b的數(shù)值相同情況下的函數(shù)圖象。

此時(shí)教師可以鼓勵(lì)學(xué)生大膽舉例，說出幾個(gè)k的數(shù)值不同，b的數(shù)值相同的一次函數(shù)，并將這些函數(shù)的圖象繪制在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，然后讓學(xué)生觀察與總結(jié)圖象的特征。

學(xué)生2：如果k的數(shù)值不同，b的數(shù)值相同，函數(shù)圖象會(huì)在同一點(diǎn)相交。并且k的數(shù)值越大，函數(shù)圖象越無限接近于y軸。

教師：總結(jié)得非常到位，同學(xué)們可以看一看自己所畫的函數(shù)圖象，是不是與剛剛的總結(jié)相同。

在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過圖象明確感受k與b存在的不同。同時(shí)通過對(duì)函數(shù)圖象的直接觀察，明確得出一次函數(shù)圖象所具備的性質(zhì)，在共同參與、探討與體驗(yàn)的過程中，有效調(diào)動(dòng)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的積極性。然后引導(dǎo)學(xué)生由象限角度，分析k、b數(shù)值為正數(shù)、負(fù)數(shù)時(shí)函數(shù)圖象發(fā)生的變化，以實(shí)現(xiàn)對(duì)一次函數(shù)圖象以及性質(zhì)的有效總結(jié)。

在師生、生生的良好互動(dòng)中，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐、親身體驗(yàn)中，觀察并總結(jié)相關(guān)規(guī)律。這樣不僅能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生觀察與探究函數(shù)圖象的積極性，還能夠使學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想得到進(jìn)一步升華。

三、建立數(shù)學(xué)模型

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，建模是一項(xiàng)十分關(guān)鍵的能力，所以在日常教學(xué)中教師應(yīng)通過數(shù)形結(jié)合的方式引導(dǎo)學(xué)生建模，以便學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中靈活運(yùn)用理論知識(shí)。這樣可以不斷增強(qiáng)解題的趣味性，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究積極性，為數(shù)學(xué)教學(xué)的順利、高效開展奠定基礎(chǔ)。

問題：拋物線y=2x2+8x+k和y軸相較于點(diǎn)C（0，6），P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△POC成為以O(shè)C為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P。

問題分析：在解答此類題型時(shí)，學(xué)生可以由已知條件中抽取信息，畫出拋物線圖象，成功建立數(shù)學(xué)模型。因?yàn)辄c(diǎn)C是拋物線與y軸的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)C是拋物線上的一點(diǎn)，由此可以計(jì)算出k的數(shù)值。然后假設(shè)點(diǎn)P（x，y）過OC的中點(diǎn)D，做一條與y軸垂直的線段，所以O(shè)D=3，由此可以得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是3，然后將其帶入拋物線函數(shù)式中，可以得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4±■，3）。

在解答這一問題時(shí)，學(xué)生需要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法。先用解析式繪制拋物線圖象，成功建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，然后將拋物線圖象和等腰三角形性質(zhì)相結(jié)合，以明確解題思路。在解答此類問題時(shí)，學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方式，能讓題目?jī)?nèi)容變得更加直觀、清晰，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解，提升對(duì)相關(guān)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用能力。

四、探索實(shí)際問題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，想要實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想與能力的培養(yǎng)，教師就要引導(dǎo)學(xué)生探索、分析與解決實(shí)際問題，使其能夠運(yùn)用圖形明確、高效地分析問題，以提升學(xué)生的解題能力，進(jìn)而使學(xué)生在親身實(shí)踐中品味數(shù)形結(jié)合思想的魅力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與能力的提升。

問題：公園中修建了一個(gè)圓形噴水池，其中間有個(gè)噴水口，噴水口有根柱子，噴出的水能夠由柱子頂部向不同方向噴出，并形成無數(shù)條形狀相同、魅力非凡的拋物線，其圖象見圖2。假設(shè)A是水柱頂部，B為拋物線的最高點(diǎn)，然后水柱會(huì)在C處落地，那么水柱的高度y（米）和水平距離x（米）存在函數(shù)關(guān)系為：

提問：（1）柱子OA的高度是多少？（2）水柱噴出的最大高度為多少？（3）如果要求水柱不會(huì)噴到水池外面，所修建噴水池的最小半徑應(yīng)該是多少？

問題分析：在求解柱子的高度時(shí)，學(xué)生可以直接對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行觀察與分析，對(duì)柱子OA的高度進(jìn)行計(jì)算，也就是x=0時(shí)函數(shù)的縱坐標(biāo)，由此可以得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，■），由此可以得出柱子的高度是1.25米。

計(jì)算水柱噴出的最大高度，也就是找函數(shù)y=-x2+2x+■的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以學(xué)生在解答第二問時(shí)，首先需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變?yōu)轫旤c(diǎn)式：y=-（x+1）2+■，從而得出：當(dāng)x=1時(shí)，拋物線達(dá)到最高點(diǎn)，即水柱噴出的最大高度是2.25米。

在計(jì)算噴水池的最小半徑時(shí)，可以將一元二次函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉畏匠?，?x2+2x+■=0，然后對(duì)方程的根進(jìn)行求解。這是一個(gè)將形轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)的解題方法，可以求出C的坐標(biāo)是（2.5，0），由此可以得出噴水池的最小半徑應(yīng)該是2.5米。

數(shù)學(xué)知識(shí)與生活有著緊密聯(lián)系，所以在日常教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，從而提升學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。因此，在解答實(shí)際問題的過程中，重點(diǎn)在于對(duì)實(shí)際問題的有效轉(zhuǎn)化，使其轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問題，以便學(xué)生解答。在對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行觀察與分析的基礎(chǔ)上，將圖形轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題，以降低解題難度，使得學(xué)生能夠順利、高效地完成解題。

總之，函數(shù)是初中數(shù)學(xué)知識(shí)中的重難點(diǎn)，很多學(xué)生因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了畏懼心理。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)重視對(duì)新教學(xué)方法的探尋，盡可能轉(zhuǎn)變這一教學(xué)現(xiàn)狀。數(shù)形結(jié)合是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)思想，不論在任何階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中均能獲得良好的教學(xué)效果。

因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合思想的有效融入，讓學(xué)生在不斷實(shí)踐中深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合方法的價(jià)值與意義，以幫助學(xué)生更好地理解與掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，樹立良好的自信心，充分激發(fā)學(xué)生開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，進(jìn)而在潛移默化中助力學(xué)生形成良好的數(shù)形結(jié)合思想，并促進(jìn)學(xué)生的遷移應(yīng)用能力、多角度分析能力、綜合思維能力等多方面能力的提升，為學(xué)生的健康成長(zhǎng)、全面發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

（作者單位：福建師范大學(xué)泉州附屬中學(xué)）

編輯：趙文靜