數(shù)學(xué)基本思想在集合教學(xué)中的運(yùn)用

胡 乙

（江蘇經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 211168）

0 引言

數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)產(chǎn)生及數(shù)學(xué)發(fā)展中必須依賴的思想［1］，一般包括抽象、推理與模型。國內(nèi)外學(xué)者從不同角度對數(shù)學(xué)基本思想在集合教學(xué)中的運(yùn)用進(jìn)行了研究。黃根初［2］提出從數(shù)值對象與非數(shù)值對象出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識集合及其蘊(yùn)含的原則。劉廣科［3］認(rèn)為集合是沒有定義的數(shù)學(xué)概念，主張學(xué)生應(yīng)區(qū)分集合與元素，切勿混淆點(diǎn)集與數(shù)集，切勿忽略空集的作用。熊玲玲等［4］認(rèn)為數(shù)學(xué)基本思想是解決集合教學(xué)中所有問題的重要途徑，但涉及具體的教學(xué)方法與教學(xué)內(nèi)容尚在研究中。格林貝格［5］主張通過舉例引導(dǎo)學(xué)生理解集合符號、集合名稱、集合中的集合、有限集與無限集之間的關(guān)系等。皮尤［6］主張采用概念疑問教學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解集合概念。羅森［7］主張從屬性出發(fā)認(rèn)識集合。此外，為訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維，柯朗等［8］主張從集合代數(shù)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出新的集合命題或集合恒等式，但具體推導(dǎo)方法還需要補(bǔ)充與完善。

在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，從數(shù)學(xué)基本思想出發(fā)開展集合教學(xué)是一項(xiàng)有益的嘗試，有助于學(xué)生感悟集合抽象的特點(diǎn)與層次、建構(gòu)集合知識系統(tǒng)、掌握運(yùn)用集合模型解決相關(guān)問題的方法。

1 數(shù)學(xué)抽象思想在集合教學(xué)中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)抽象是將現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)生的事物抽象到數(shù)學(xué)中，使之成為數(shù)學(xué)的研究對象。這是一種構(gòu)造性活動，是借助定義、概念、推理等進(jìn)行的邏輯構(gòu)建。由數(shù)學(xué)抽象思想派生出集合的思想，以此為基礎(chǔ)，在抽取復(fù)雜事物間共同屬性的過程中，初步形成抽象集合概念。

1.1 集合概念的抽象性

區(qū)別于其他抽象概念，數(shù)學(xué)抽象僅僅抽取事物或現(xiàn)象的量的關(guān)系和空間形式而舍棄其他一切。自然數(shù)是人類對現(xiàn)實(shí)事物中數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，天然地包含了集合的概念。如果用口袋比喻集合，則數(shù)字本身就是一種集合。例如：數(shù)字1表示該口袋中天然具有1個“1”的符號，數(shù)字2表示該口袋中具有2個“1”的符號，以此類推。可見，數(shù)本身就應(yīng)該是集合或集合數(shù)。可以對數(shù)進(jìn)行簡化與抽象，設(shè)計(jì)用一個符號a代表所有的數(shù)。同理，也可以用集合符號使現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)值與非數(shù)值對象成為數(shù)學(xué)的研究對象。

假設(shè)所有的對象（成員）具備某種特定性質(zhì)，則組成一個大類、一個群體、一個口袋，即一個集合。據(jù)此，集合是一個抽象概念，準(zhǔn)確地說應(yīng)是抽象集合，它包括成員或元素。集合是一類具有特定性質(zhì)元素（成員）的集體，其中元素可以包括數(shù)值對象與非數(shù)值對象。例如：小于10的正整數(shù)構(gòu)成一個集合，全世界說中文的人構(gòu)成一個集合。描述集合有多種方式，最簡單的描述方式為花名冊法，即列出集合中所有的元素。通常用大寫字母表示集合，用小寫字母表示其中的元素（成員）。如果a∈A，則a是A中一個元素（成員）；反之，a?A，則a不是A中一個元素（成員）。由于現(xiàn)實(shí)的復(fù)雜性，當(dāng)不可能列出集合中所有元素時，可運(yùn)用集合構(gòu)造器描述該集合。為方便研究，可規(guī)定N為自然數(shù)集、Z為整數(shù)集、Q為有理數(shù)集等。

此外，集合概念的抽象性還表現(xiàn)為集合可將其他集合作為自己的成員。例如：假設(shè)D集合中只有2與｛3｝兩個元素，則2∈D且｛3｝∈D，但是3?D。一個有效的區(qū)分方法是根據(jù)集合中的逗號，列出集合中的所有元素后再進(jìn)行辨別。

集合概念的抽象性導(dǎo)致集合大小的抽象性。如果集合A中有n個有限且不相同的元素，則n是A的基數(shù)，記為。如果n是無限的，則A為無限集合。如果一組集合是有限集合，則只要比較各自基數(shù)即能分清各自大小；如果一組集合是無限集合，則只能運(yùn)用基數(shù)衡量其相對大小。集合間的一一對應(yīng)性質(zhì)在此過程中發(fā)揮了重要作用。

1.2 集合關(guān)系的抽象性

集合是對具體事物共有性質(zhì)的抽象，其概念的抽象性導(dǎo)致集合關(guān)系的抽象性。學(xué)生經(jīng)常會混淆子集、空集、冪集之間的關(guān)系，其根源在于學(xué)生無法準(zhǔn)確理解集合與元素之間的關(guān)系。當(dāng)集合A中所有元素都是集合B中的元素時，A是B的子集，即當(dāng)x∈A能推導(dǎo)出x∈B時，說明A?B。當(dāng)集合B中至少有1個元素不屬于A時，A是B的真子集，即A?B且A≠B，亦可寫作A?B。據(jù)此，如果兩個集合相等，則A?B且B?A。當(dāng)集合中有多個相同元素或集合中元素的順序有變化時，規(guī)定以上因素均不影響對集合相等的判斷。例如：｛2，2，4，6，6｝，｛4，6，2｝，｛2，4，6｝均為同一集合。據(jù)此，要證明兩個集合相等，可根據(jù)定義證明A?B且B?A，但空集的出現(xiàn)使得子集問題更為復(fù)雜。

不含任何元素的特殊的集合稱為空集，記為?或者｛｝，設(shè)立該符號的目的是使之成為集合的一個子集，以令集合子集數(shù)量與集合元素?cái)?shù)量之間建立聯(lián)系。雖然空集的基數(shù)為零，但是?≠｛?｝。只有一個元素的集合稱為單元素集，如果A＝｛?｝，則單元素集A有唯一元素，是空集。

從定義出發(fā)，空集不包含任何元素，故其所有元素都在任意其他集合中。同時，任意集合自身也可能是空集，故空集只能是任意集合的子集。同理，任意集合的所有元素均包含自身，故任意集合也是其自身的子集，子集與冪集密切相關(guān)。在集合A中，所有子集構(gòu)成的集合為A的冪集，記為P（A）。如果A＝｛2，4，6｝，則P（A）包括?，｛2｝，｛4｝，｛6｝，｛2，4｝，｛2，6｝，｛4，6｝，｛2，4，6｝?？占挥幸粋€子集，即P（?）＝｛?｝。而P（｛?｝）包括?與｛?｝，這再次說明?≠｛?｝。根據(jù)排列與組合規(guī)則，如果一個集合中有n個元素，則其冪集中有2n個元素，且冪集中的元素都是以集合的形式存在。

綜上，集合A∈B與A?B完全不同。前者指B是一組集合的集合，A是B中的一個元素；后者指A是B的真子集，如果A＝｛a，b，c｝且B＝｛a，b，c，d，e｝，則A?B。如果B集合中的元素是｛a，b，c｝與｛e，d，f｝，則｛a，b，c｝∈B且｛e，d，f｝∈B。若B集合中的元素是｛a｝，｛b｝，｛a，b｝，則｛a｝∈B而a?B。集合可以將其他集合作為自己的元素，如果考慮到空集，則問題更為復(fù)雜，故學(xué)生應(yīng)熟練掌握集合、元素、子集等概念，為今后證明集合命題做好準(zhǔn)備。

2 數(shù)學(xué)推理思想在集合教學(xué)中的運(yùn)用

推理是從一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程，包括歸納推理與演繹推理。理解集合性質(zhì)、集合恒等式等必須依靠推理，推理是認(rèn)識集合的有效途徑。從集合模型定義可推理得到集合運(yùn)算性質(zhì)及其相關(guān)定律等。

2.1 集合推理運(yùn)算的基礎(chǔ)

從集合定義出發(fā)，兩個或多個集合能以不同的方式相結(jié)合。如果A為主修英語課程的學(xué)生集合，B為主修數(shù)學(xué)課程的學(xué)生集合；則以上集合可以組成主修英語或主修數(shù)學(xué)的學(xué)生集合、既主修英語又主修數(shù)學(xué)的學(xué)生集合、只主修英語卻不主修數(shù)學(xué)的學(xué)生集合等，分別對應(yīng)并集、交集、差集。

當(dāng)元素x屬于A或者屬于B時，x屬于A與B的并集，即A∪B ＝｛x｜x∈Aorx∈B｝。并集亦可寫作A＋B。如果元素有重復(fù)或元素順序發(fā)生變化，則以上情況對并集運(yùn)算結(jié)果不產(chǎn)生影響。

當(dāng)元素x同時屬于集合A與集合B時，x屬于A與B的交集，即A∩B＝｛x｜x∈Aandx∈B｝。交集亦可寫作AB。在特殊情況下，如果交集為空集，則該組集合不相交。

當(dāng)元素x屬于集合A但不屬于集合B時，x屬于A與B的差集，即A－B ＝｛x｜x∈Aandx?B｝。當(dāng)A＝｛1，3，6｝且B＝｛1，3，5｝時，A－B ＝｛6｝≠6，而B－A＝｛5｝≠5。若交換了運(yùn)算順序，則差集運(yùn)算結(jié)果也不同。

從差集出發(fā)，一旦定義了全集I，則較為容易理解補(bǔ)集。當(dāng)元素x?A時，x∈。即＝｛x∈I｜x?A｝。補(bǔ)集與全集的關(guān)系亦可寫作A＋A＝I。

當(dāng)出現(xiàn)多種集合模型混合運(yùn)算時，應(yīng)從定義出發(fā)求解，切勿用代數(shù)運(yùn)算法則去推理集合運(yùn)算法則。

2.2 集合恒等式的推理與證明

從集合定義與集合代數(shù)出發(fā)，可引導(dǎo)學(xué)生深入理解集合運(yùn)算中的推理思想，并創(chuàng)新證明德摩定律。

集合運(yùn)算性質(zhì)1：當(dāng)且僅當(dāng)A＋B＝B時，A?B。

證明：假設(shè)A?B，則將該式兩邊同時與B做并集，得到A＋B?B。又B?A＋B，故A＋B＝B。

假設(shè)A＋B＝B，則x∈A可推導(dǎo)出x∈B，故A?B。綜上所述，原命題得證。

集合運(yùn)算性質(zhì)2：當(dāng)且僅當(dāng)A∩B＝A時，A?B。

證明：假設(shè)A?B，則將該式兩端同時與A做交集，得到A?AB。又AB?A，故AB ＝A。

假設(shè)AB＝A，則x∈A可推導(dǎo)出x∈AB，亦即x∈B，故A?B。綜上所述，原命題得證。

集合運(yùn)算性質(zhì)3：A（B＋C）＝AB＋AC

證明：從互為子集角度考慮，假設(shè)x∈A（B＋C），則有x∈AB或者x∈AC，可推導(dǎo)出x∈（AB＋AC），故A（B＋C）?（AB＋AC）。

假設(shè)x∈（AB＋AC），則x∈AB可推導(dǎo)出x∈A（B＋C），x∈AC亦是如此，故（AB＋AC）?A（B＋C）。綜上所述，原命題得證。學(xué)生可運(yùn)用類似方法證明差集運(yùn)算性質(zhì)。

集合運(yùn)算性質(zhì)4：

證明：假設(shè)AB≠?，x∈（A－B），則x∈（A－AB）即x∈，故（A－B）?。

假設(shè)AB≠?，x∈，則x∈A（I－B），可推導(dǎo)出x∈（A－B），故?（A－B）。

如果AB＝?，則可運(yùn)用以上思路得到同樣結(jié)果。綜上所述，原命題得證。學(xué)生運(yùn)用以上結(jié)論可創(chuàng)新證明德摩定律。

若在德摩定律1中運(yùn)用換元法，用替換A，用替換B，則有若繼續(xù)對其兩邊同時做補(bǔ)集，則可得，此即為德摩定律2。以上定律廣泛應(yīng)用于數(shù)理邏輯中。

集合運(yùn)算是學(xué)生遇到的第一個講究嚴(yán)格性的課程，學(xué)生必須時刻按照邏輯規(guī)則來思考、計(jì)算、表達(dá)。只有經(jīng)歷大量的訓(xùn)練，學(xué)生方能體會到集合中的推理思想。集合代數(shù)是學(xué)生推導(dǎo)集合命題的有力工具。

3 數(shù)學(xué)模型思想在集合教學(xué)中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實(shí)世界所依賴的思想，側(cè)重于用數(shù)學(xué)的概念、原理和思維方法描述現(xiàn)實(shí)世界。集合模型是建構(gòu)其他數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，通過對集合模型的變換，可以產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)概念。此外，在解決問題時，可以將問題轉(zhuǎn)化為集合模型進(jìn)行研究。

3.1 計(jì)數(shù)與概率論中的集合模型

集合模型是構(gòu)造新的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)模型的重要基礎(chǔ)。從集合論出發(fā)建立了函數(shù)、序列、圖、樹等新的數(shù)學(xué)概念，同時構(gòu)建了以計(jì)數(shù)、概率論為代表的一批新的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。

考慮集合A，B，設(shè)A＝｛a1，a2，…，am｝，B＝｛b1，b2，…，bn｝，如果A中每個元素都與B中一個元素組成一對有序二元組合aibj，則全部結(jié)果可歸結(jié)為n行m列共計(jì)mn個有序二元組。此時，假設(shè)A表示完成A步驟項(xiàng)目的各種方法，B表示完成B步驟項(xiàng)目的各種方法，如果一項(xiàng)工作必須先要完成A步驟項(xiàng)目，再完成B步驟項(xiàng)目，則用集合描述為交集AB，其完成工作的方法總數(shù)則是兩個集合基數(shù)（元素?cái)?shù)）的乘積，用集合描述為│AB│＝│A││B│，此即計(jì)數(shù)的乘法原理。

同理，如果一項(xiàng)工作可以通過A步驟項(xiàng)目完成，也可以通過B步驟項(xiàng)目完成，且工人不能同時完成以上兩個項(xiàng)目，則用集合描述完成該工作總的方法數(shù)為│A＋B│＝│A│＋│B│，此即計(jì)數(shù)的加法原理。在特殊情況下，如果AB≠?，則│A＋B│＝│A│－│AB│＋│B│，此即著名的容斥原理。

此外，如果用I表示所有可能發(fā)生事件構(gòu)成的全集，而A是I的任意子集，則用集合定義子集A發(fā)生的概率為：P（A）＝│A│/│I│；其中，P（A）為子集A發(fā)生的概率，│A│指A集合的基數(shù)，│I│指全集I的基數(shù)。當(dāng)已知特定集合的概率，而要求其他集合概率時，依然要運(yùn)用集合代數(shù)的思想來做概率的計(jì)算。例如：已知P（A），P（B），P（AB）時，即可求取P（A＋B）。

3.2 數(shù)理邏輯中的集合模型

多數(shù)離散數(shù)學(xué)教材是先介紹邏輯與證明，后介紹集合論。如果改變順序，引導(dǎo)學(xué)生從集合出發(fā)理解數(shù)理邏輯，則可將邏輯化歸為集合運(yùn)算語言，從而使學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率。

若將論述總體確定為全集I，將具有特定屬性的集合確定為A，B，則可用集合化歸邏輯術(shù)語或邏輯關(guān)系。如果A發(fā)生或者B發(fā)生，則可描述為A＋B。如果A發(fā)生同時B也發(fā)生，則可描述為AB。當(dāng)出現(xiàn)如果A則B時，可描述為A?B。當(dāng)出現(xiàn)既非A又非B時，可描述為等。以上結(jié)論有助于快速證明數(shù)理邏輯中的相關(guān)命題。

求證：

式（1）表明：或者p發(fā)生，或者q發(fā)生，此為情況1；或者p不發(fā)生，或者r發(fā)生，此為情況2；如果情況1與情況2同時發(fā)生，則或者q發(fā)生，或者r發(fā)生。

證明：依據(jù)集合運(yùn)算性質(zhì)，已知ˉpq?q，則ˉpq＋q＝q。同理，rp＋r＝r，rq＋q＝q。據(jù)此，可推得（p＋q）（ˉp＋r）＋q＋r＝q＋r，故（p＋q）（ˉp＋r）?q＋r，由此原命題得證。同理，求證：

式（2）表明：如果p事件發(fā)生，則q事件也發(fā)生；如果p事件發(fā)生而q事件不發(fā)生，則可推導(dǎo)出p事件肯定不發(fā)生。

證明：假設(shè)p→q，則p?q。運(yùn)用前述集合運(yùn)算性質(zhì)與德摩定律，可得p＋q＝q且，由此可推導(dǎo)出，故原命題得證。

可見，區(qū)別于傳統(tǒng)證明中的真值表，從集合代數(shù)出發(fā)理解、證明數(shù)理邏輯推理規(guī)則更加簡單高效。

4 結(jié)束語

本文探討了數(shù)學(xué)抽象思想、推理思想和模型思想在集合教學(xué)中的運(yùn)用。通過舉例法、比較法等，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用集合代數(shù)理解集合的基本運(yùn)算法則并形成集合知識的意義建構(gòu)；運(yùn)用集合模型建構(gòu)新的數(shù)學(xué)概念并解決相關(guān)問題，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，從而使學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙。在未來的高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何用集合論看待現(xiàn)有數(shù)學(xué)定理和公式以及用集合論觀點(diǎn)編寫現(xiàn)有數(shù)學(xué)教材，值得深入研究。