鋼筋混凝土柱壓彎承載力與剛度實(shí)用計(jì)算方法

呂輝, 肖沖,3*, 羅靚

(1.南昌航空大學(xué)土木建筑學(xué)院, 南昌 330063; 2.江西省裝配式建筑與智能建造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南昌 330063; 3.南昌理工學(xué)院建筑工程學(xué)院, 南昌 330044)

在高烈度抗震區(qū),實(shí)際工程框架結(jié)構(gòu)中,框架柱受力包括豎向的恒載、活載與水平地震荷載,為此對框架柱的壓彎性能研究顯得尤為重要,中外學(xué)者針對柱的壓彎性能研究主要為試驗(yàn)研究與數(shù)值模擬,其中試驗(yàn)通常為擬靜力試驗(yàn)[1-5],也稱低周往復(fù)試驗(yàn)、滯回性能試驗(yàn),即對柱同時(shí)施加軸向壓力和橫向低周往復(fù)荷載。擬靜力試驗(yàn)主要觀察混凝土的壓碎或開裂現(xiàn)象與縱筋、箍筋屈服或拉斷現(xiàn)象,基于多種試驗(yàn)結(jié)果曲線,如荷載-位移滯回曲線、荷載-位移骨架曲線、應(yīng)變曲線、剛度退化曲線、耗能曲線和殘余位移曲線等,分析多種因素對滯回性能的影響,包括:軸壓比、剪跨比、縱筋配筋率、配箍率、鋼筋強(qiáng)度、箍筋間距、混凝土強(qiáng)度等級(jí)、截面尺寸效應(yīng)等,數(shù)值分析則采用ABAQUS[6-7]、OPENSEES[8]、MAC.MARC[9]等有限元軟件進(jìn)行。

框架柱作為豎向承重以及橫向抗側(cè)移構(gòu)件,有必要對柱的壓彎承載力與剛度計(jì)算方法進(jìn)一步研究,現(xiàn)階段中外學(xué)者對柱的軸壓、偏壓、純彎性能研究較多,此外,《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范GB50010—2010》[10]中公式6.2.10給出了純彎構(gòu)件(梁、板)承載力計(jì)算方法,公式6.2.15與6.2.17分別闡明了框架柱的軸壓與偏壓承載力計(jì)算公式,但軸壓柱僅受豎向的軸心力,而偏壓柱是直接以偏心力或間接以彎矩?fù)Q算成偏心力的形式施加荷載,這兩者與直接施加豎向軸壓力和水平推覆力的壓彎柱有本質(zhì)不同,為此,采用規(guī)范公式計(jì)算壓彎柱承載力的精度有待商榷。

基于上述研究不足之處,現(xiàn)采用ABAQUS軟件建立162個(gè)足尺鋼筋混凝土柱的三維實(shí)體精細(xì)有限元模型算例進(jìn)行壓彎性能參數(shù)分析,主要參數(shù)為軸壓比、縱筋配筋率、混凝土強(qiáng)度等級(jí)、截面形狀、矩形柱強(qiáng)弱軸加載方向,探討5種參數(shù)對柱的承載力、剛度的影響;根據(jù)參數(shù)分析結(jié)果與數(shù)據(jù)擬合,提出參數(shù)影響下的足尺壓彎柱的承載力與剛度實(shí)用計(jì)算公式,為實(shí)際工程框架柱的設(shè)計(jì)與加固提供理論依據(jù)和技術(shù)支持。

1 有限元建模

1.1 有限元模型驗(yàn)證

考慮連續(xù)地震荷載作用下混凝土的累積損傷效應(yīng)及鋼材的循環(huán)硬化效應(yīng),故混凝土本構(gòu)采用Ding等[11]提出的基于彈性模量損傷的塑性-損傷本構(gòu)模型,縱筋、箍筋本構(gòu)采用Ding等[12]提出的彈塑性混合強(qiáng)化本構(gòu)模型,ABAQUS中混凝土及鋼材的基本參數(shù)設(shè)置同Ding等[13]?；炷恋膯卧愋瓦x用實(shí)體單元(C3D8R),形狀為六面體;縱筋及箍筋的單元類型采用桁架單元(T3D2),形狀為直線。圖1為擬靜力試驗(yàn)[13]中的典型試件NN-0.2-1結(jié)果與有限元結(jié)果對比,可見兩者符合較好,曲線下降段基本一致。

圖1 試驗(yàn)結(jié)果與有限元結(jié)果對比Fig.1 Comparison between test results and finite element results

1.2 足尺模型簡介

根據(jù)1.1節(jié)的建模方法,進(jìn)一步建立162個(gè)足尺鋼筋混凝土柱有限元模型算例進(jìn)行壓彎性能分析,其中方形柱54個(gè)(截面B×D=500 mm×500 mm),矩形柱108個(gè)(截面B×D=600 mm×400 mm),柱長L取2 000 mm,參數(shù)分析主要為軸壓比、混凝土強(qiáng)度等級(jí)、縱筋配筋率。由于實(shí)際工程中柱的豎向承載力各有不同,故軸壓比n取0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8這9種工況進(jìn)行分析;C40、C50為工程中常見的混凝土強(qiáng)度等級(jí),故參數(shù)分析中混凝土強(qiáng)度等級(jí)取C40與C50,其軸心抗壓強(qiáng)度fc分別為29.6、38.4 MPa;考慮到建模的簡便性,故縱筋配筋率ρ取1.2%、1.8%、2.4%三種工況進(jìn)行分析,足尺模型算例具體參數(shù)如表1所示。

表1 162個(gè)足尺有限元算例模型Table 1 162 full-scale finite element example models

1.3 足尺模型建模方式

足尺模型柱的混凝土本構(gòu)采用Ding等[11]提出的基于彈性模量損傷的塑性-損傷本構(gòu)模型,縱筋、箍筋本構(gòu)采用Ding等[12]提出的彈塑性混合強(qiáng)化本構(gòu)模型,ABAQUS中混凝土及鋼材的基本參數(shù)設(shè)置同Ding等[11-12]。

有限元模型的界面約束設(shè)置為:由于柱在實(shí)際澆筑過程中,箍筋與縱筋先進(jìn)行綁扎形成鋼筋籠,故先將縱筋與箍筋合并(merge),合并后的鋼筋籠內(nèi)置(embedded region)于柱混凝土。模型的網(wǎng)格劃分具體參數(shù)如表2所示,圖2為足尺柱的有限元模型圖。

表2 有限元模型單元網(wǎng)格劃分Table 2 Finite element model element mesh division

圖2 足尺有限元模型Fig.2 Full-scale finite element model

加載制度與邊界條件設(shè)置:柱底完全固定,即X、Y、Z三個(gè)方向的位移及轉(zhuǎn)角均為0。加載方式包括豎向的軸壓力與水平方向的推覆位移,故共有兩個(gè)分析步,第1個(gè)分析步施加軸壓力,時(shí)間為1 s,增量步設(shè)為0.2;第2個(gè)分析步施加水平推覆位移,時(shí)間為1 s,增量步設(shè)為0.01,水平推覆位移為100 mm,故每一增量步施加1 mm的水平推覆位移,圖3為足尺柱邊界條件與加載方式的示意圖。

圖3 足尺柱的邊界條件與加載方式示意圖Fig.3 Schematic diagram of boundary conditions and loading methods for full-scale columns

2 參數(shù)分析

2.1 足尺柱壓彎承載力

圖4和圖5匯總了足尺柱(方形柱、矩形強(qiáng)軸柱、矩形弱軸柱)的壓彎峰值承載力,比較了在不同軸壓比(n=0～0.8)下縱筋配筋率(ρ=1.2%)與混凝土強(qiáng)度等級(jí)(C40)對足尺壓彎柱峰值承載力的影響。

圖4 不同軸壓比下縱筋配筋率對壓彎柱承載力的影響Fig.4 Effect of longitudinal reinforcement ratio on bearing capacity of beam-column under different axial compression ratios

圖5 不同軸壓比下混凝土強(qiáng)度等級(jí)對壓彎柱承載力的影響Fig.5 Effect of concrete strength grade on bearing capacity of beam-column under different axial compression ratios

(1)對于方形柱,當(dāng)軸壓比≤0.4時(shí),隨軸壓比的增大,峰值承載力增大,當(dāng)軸壓比>0.4時(shí),隨軸壓比的增大,峰值承載力減小?？v筋配筋率與混凝土強(qiáng)度等級(jí)的提高都會(huì)增大柱的壓彎承載力,其中縱筋配筋率由1.2%增大到1.8%、2.4%,峰值承載力最大可分別提高19.1%、35.4%,混凝土強(qiáng)度等級(jí)由C40增大到C50,峰值承載力最大可提高17.5%。

(2)對于矩形強(qiáng)軸柱,當(dāng)軸壓比≤0.4時(shí),隨軸壓比的增大,峰值承載力增大,當(dāng)軸壓比>0.4時(shí),隨軸壓比的增大,峰值承載力減小?？v筋配筋率與混凝土強(qiáng)度等級(jí)的提高都會(huì)增大柱的壓彎承載力,其中縱筋配筋率由1.2%增大到1.8%、2.4%,峰值承載力最大可分別提高18.9%、33.9%,混凝土強(qiáng)度等級(jí)由C40增大到C50,峰值承載力最大可提高17.1%。

(3)對于矩形弱軸柱,當(dāng)軸壓比≤0.4時(shí),隨軸壓比的增大,峰值承載力增大,當(dāng)軸壓比>0.4時(shí),隨軸壓比的增大,峰值承載力減小?？v筋配筋率與混凝土強(qiáng)度等級(jí)的提高都會(huì)增大柱的壓彎承載力,其中縱筋配筋率由1.2%增大到1.8%、2.4%,峰值承載力最大可分別提高20.2%、37.9%,混凝土強(qiáng)度等級(jí)由C40增大到C50,峰值承載力最大可提高18.4%。

(4)綜上所述,當(dāng)軸壓比≤0.4時(shí),隨軸壓比的增大,柱的壓彎峰值承載力增大,當(dāng)軸壓比>0.4時(shí),隨軸壓比的增大,柱的壓彎峰值承載力減小。提高縱筋配筋率與混凝土強(qiáng)度等級(jí)均能有效地增大柱的壓彎峰值承載力,且提高縱筋配筋率的效果更好。

2.2 足尺柱構(gòu)件壓彎彈性剛度

定義柱的彈性剛度為承載力達(dá)到40%峰值時(shí)與對應(yīng)水平位移的比值[14],圖6和圖7匯總了足尺柱(方形柱、矩形強(qiáng)軸柱、矩形弱軸柱)的壓彎構(gòu)件彈性剛度,比較了在不同軸壓比(n=0～0.8)下縱筋配筋率(ρ=1.2%)與混凝土強(qiáng)度等級(jí)(C40)對足尺壓彎柱構(gòu)件彈性剛度的影響。

圖6 不同軸壓比下縱筋配筋率對壓彎柱彈性剛度的影響Fig.6 Effect of longitudinal reinforcement ratio on elastic stiffness of beam-column under different axial compression ratios

圖7 不同軸壓比下混凝土強(qiáng)度等級(jí)對壓彎柱彈性剛度的影響Fig.7 Effect of concrete strength grade on elastic stiffness of beam-column under different axial compression ratios

(1)對于方形柱,當(dāng)軸壓比≤0.2時(shí),隨軸壓比的增大,構(gòu)件的彈性剛度增大,當(dāng)軸壓比>0.2時(shí),隨軸壓比的增大,構(gòu)件的彈性剛度減小?？v筋配筋率與混凝土強(qiáng)度等級(jí)的提高都會(huì)增大柱的壓彎承載力,其中縱筋配筋率由1.2%增大到1.8%、2.4%,構(gòu)件的彈性剛度最大可分別提高5.3%、9.9%,混凝土強(qiáng)度等級(jí)由C40增大到C50,構(gòu)件的彈性剛度最大可提高7.0%。

(2)對于矩形強(qiáng)軸柱,當(dāng)軸壓比≤0.2時(shí),隨軸壓比的增大,構(gòu)件的彈性剛度增大,當(dāng)軸壓比>0.3時(shí),隨軸壓比的增大,構(gòu)件的彈性剛度減小?？v筋配筋率與混凝土強(qiáng)度等級(jí)的提高都會(huì)增大柱的壓彎承載力,其中縱筋配筋率由1.2%增大到1.8%、2.4%,構(gòu)件的彈性剛度最大可分別提高4.8%、9.0%,混凝土強(qiáng)度等級(jí)由C40增大到C50,構(gòu)件的彈性剛度最大可提高8.0%。

(3)對于矩形弱軸柱,當(dāng)軸壓比≤0.2時(shí),隨軸壓比的增大,構(gòu)件的彈性剛度增大,當(dāng)軸壓比>0.2時(shí),隨軸壓比的增大,構(gòu)件的彈性剛度減小。縱筋配筋率與混凝土強(qiáng)度等級(jí)的提高都會(huì)增大柱的壓彎承載力,其中縱筋配筋率由1.2%增大到1.8%、2.4%,構(gòu)件的彈性剛度最大可分別提高6.7%、11.3%,混凝土強(qiáng)度等級(jí)由C40增大到C50,構(gòu)件的彈性剛度最大可提高6.8%。

(4)綜上所述,當(dāng)軸壓比≤0.2時(shí),隨軸壓比的增大,柱的彈性剛度增大,當(dāng)軸壓比>0.2時(shí),隨軸壓比的增大,柱的彈性剛度減小。提高縱筋配筋率與混凝土強(qiáng)度等級(jí)均能增大柱的彈性剛度。

2.3 壓彎柱截面軸力-彎矩相關(guān)曲線實(shí)用計(jì)算公式

對于壓彎構(gòu)件,截面極限彎矩M0受軸壓比的影響表現(xiàn)為:小軸壓比時(shí)(大偏壓),隨軸壓比的增大,極限彎矩M0增大;大軸壓比時(shí)(小偏壓),隨軸壓比的增大,極限彎矩M0減小,可知兩者的數(shù)學(xué)關(guān)系類似于拋物線,如圖8所示。基于圖8,足尺鋼筋混凝土柱壓彎軸力-彎矩關(guān)系曲線可以用一個(gè)參數(shù)的拋物線加以擬合,公式為

圖8 典型壓彎構(gòu)件截面N0/Nu-M0/Mu相關(guān)曲線示意圖Fig.8 Schematic diagram of N0/Nu-M0/Mu correlation curve of typical bending member section

(1)

式(1)中:N0為截面軸壓力,即軸壓比與Nu的乘積;Nu為軸心受壓承載力,Nu=fcAc+fyAy,其中fc為混凝土的軸心抗壓強(qiáng)度,Ac為截面面積,fy為縱筋的屈服強(qiáng)度,162個(gè)算例的縱筋型號(hào)均為HRB400,故屈服強(qiáng)度都為400 MPa,Ay為所配縱筋的面積;M0為截面彎矩,M0=PL+N0e0,其中P為水平峰值承載力,L為柱的高度,N0為截面軸壓力,e0為荷載達(dá)到40%峰值承載力對應(yīng)的位移;Mu為截面的極限彎矩,按《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范GB50010—2010》[10]中雙筋矩形正截面承載力公式計(jì)算,即Mu=f′yA′s(h0-a′s)+α1fcbx(h0-x/2),其中f′y為受壓區(qū)縱筋的屈服強(qiáng)度,A′s為受壓區(qū)縱向受力鋼筋的截面面積,h0為截面的有效高度,a′s為從受壓區(qū)邊緣到受壓區(qū)縱向受力鋼筋合力作用點(diǎn)之間的距離,當(dāng)混凝土強(qiáng)度等級(jí)大于C25,對于受彎構(gòu)件,當(dāng)受壓鋼筋按一排布置時(shí),可取a′s=35 mm,當(dāng)受壓鋼筋兩排布置時(shí),可取a′s=60 mm,系數(shù)α1取1.0,fc為軸心抗壓強(qiáng)度,b為截面寬度,x為受壓區(qū)高度;α為與軸壓比、混凝土軸心抗壓強(qiáng)度及縱筋配筋率相關(guān)的系數(shù)。

對于N0、Nu、M0、Mu可經(jīng)過計(jì)算得到,通過162個(gè)壓彎柱計(jì)算得到的α加以擬合,得到關(guān)于α的實(shí)用計(jì)算公式為

α=1.90n+0.03fc-55.70ρ+1.02

(2)

可見:α是一個(gè)與軸壓比、混凝土強(qiáng)度等級(jí)及縱筋配筋率3個(gè)參數(shù)相關(guān)的系數(shù),隨軸壓比的增大、混凝土強(qiáng)度的增大而增大,隨縱筋配筋率的增大而減小。圖9(a)對比了按式(2)計(jì)算出的α與有限元得出的α,兩者比值的均值為1.014,離散系數(shù)為0.103,表明公式的計(jì)算精度較高。圖9(b)對比了按式(1)與式(2)計(jì)算出柱的承載力與有限元得到的柱的承載力,兩者比值的均值為1.012,離散系數(shù)為0.093,可見公式計(jì)算的精度較高。

圖9 公式計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果對比Fig.9 Comparison between formula calculation results and finite element results

圖10為公式計(jì)算柱的軸力-彎矩相關(guān)曲線與有限元的軸力-彎矩曲線對比,總體上看,公式計(jì)算結(jié)果略大于有限元結(jié)果,但二者曲線趨勢一致,表明公式計(jì)算的軸力-彎矩曲線可較好的反映有限元分析結(jié)果,可為該類壓彎柱的設(shè)計(jì)與加固提供依據(jù)和參考。

圖10 公式計(jì)算軸力-彎矩曲線與有限元曲線對比Fig.10 Comparison between axial force-moment curve calculated by formula and finite element curve

2.4 壓彎柱截面剛度實(shí)用計(jì)算公式

對于鋼筋混凝土壓彎構(gòu)件,截面剛度(EI)為截面的彈性階段的彎矩Mu與截面的曲率φ的比值,故有

(3)

式(3)中:Mu為截面的極限彎矩,Mu=FL+Ne0,其中F為0.4倍峰值承載力處的位移對應(yīng)的荷載,L為柱高,N為軸壓力,e0為0.4倍峰值承載力處的水平位移;φ為0.4倍峰值承載力處截面的曲率,φ=(ε1-ε2)/h,其中ε1、ε2分別為截面受拉、受壓區(qū)的應(yīng)變,h為截面的高度。

圖11列出了162個(gè)足尺柱的截面剛度,包括54個(gè)方柱、54個(gè)矩形強(qiáng)軸柱54個(gè)矩形弱軸加載柱,可見:當(dāng)軸壓比從0增大為0.2時(shí),柱子的截面剛度為線性增大趨勢,當(dāng)軸壓比從0.2增大為0.8時(shí),柱子的截面剛度變化較小。

圖11 162個(gè)足尺柱的截面剛度Fig.11 Section Stiffness of 162 Full-Scale Columns

對于鋼筋混凝土受彎構(gòu)件,構(gòu)件的截面剛度計(jì)算公式為

EI=EsIs+kEcIc

(4)

式(4)中:EI為柱截面剛度;Es為鋼筋的彈性模量,取206 GPa;Is為縱筋截面的慣性矩;Ec為混凝土的彈性模量,C40、C50的彈性模量分別為32 489.54、34 998.3 MPa;Ic為混凝土截面的慣性矩;k為1個(gè)系數(shù)。

對于式(4)可知,截面剛度EI、縱筋截面剛度EsIs、混凝土截面剛度EcIc均可由計(jì)算得到,對比了軸壓比(0～0.8)、縱筋配筋率(1.2%、1.8%、2.4%)、混凝土強(qiáng)度等級(jí)(C40、C50)對系數(shù)k的影響,如圖12和圖13所示,可知:當(dāng)軸壓比≤0.2時(shí),隨著軸壓比的增大,系數(shù)k呈線性增大趨勢;當(dāng)軸壓比>0.2時(shí),隨著軸壓比繼續(xù)增大,系數(shù)k上升趨勢較小,且縱筋配筋率與混凝土強(qiáng)度等級(jí)的增大對系數(shù)k的影響較小。

圖12 縱筋配筋率對系數(shù)k的影響Fig.12 Effect of longitudinal reinforcement ratio on coefficient k

圖13 混凝土強(qiáng)度等級(jí)對系數(shù)k的影響Fig.13 Effect of concrete strength grade on coefficient k

通過有限元計(jì)算得出162個(gè)系數(shù)k值,將162個(gè)系數(shù)k加以擬合得到關(guān)于系數(shù)k的實(shí)用計(jì)算公式為

(5)

式(5)考慮了壓彎柱在不同軸壓比時(shí)截面剛度的變化,由式(5)可知:當(dāng)軸壓比n≤0.2時(shí),隨著軸壓比n的增大,柱的截面剛度也隨之增大;當(dāng)軸壓比n≥0.2時(shí),隨軸壓比n的增大,柱截面剛度變化較小。圖14(a)對比公式計(jì)算出的系數(shù)k與有限元得出的系數(shù)k,兩者的比值均值為0.989,離散系數(shù)為0.053,表明提出的實(shí)用計(jì)算公式具有較高的精度,與有限元結(jié)果吻合較好。為此,進(jìn)一步對比了按公式計(jì)算出的截面剛度與有限元計(jì)算出的柱截面剛度,如圖14(b)所示,兩者的比值均值為1.045,離散系數(shù)為0.036,可見該公式有較高的精度與適用性,可為實(shí)際工程壓彎柱的設(shè)計(jì)與加固作一定的參考。

圖14 公式計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果對比Fig.14 Comparison between formula calculation results and finite element results

3 結(jié)論

建立了162個(gè)足尺鋼筋混凝土柱三維實(shí)體精細(xì)有限元模型,進(jìn)行了壓彎性能參數(shù)分析,分析了軸壓比、混凝土強(qiáng)度等級(jí)、縱筋配筋率、截面形狀以及強(qiáng)弱軸加載對柱的承載力、剛度以及延性的影響,最后根據(jù)162個(gè)壓彎柱有限元結(jié)果提出了壓彎柱截面軸力-彎矩相關(guān)曲線實(shí)用計(jì)算公式以及截面剛度實(shí)用計(jì)算公式。得到如下結(jié)論。

(1)當(dāng)軸壓比≤0.4時(shí),隨軸壓比的增大,柱的壓彎峰值承載力增大,當(dāng)軸壓比>0.4時(shí),隨軸壓比的增大,柱的壓彎峰值承載力減小,提高縱筋配筋率與混凝土強(qiáng)度等級(jí)均能有效的增大柱的壓彎峰值承載力,且提高縱筋配筋率的效果更好。

(2)當(dāng)軸壓比≤0.2時(shí),隨軸壓比的增大,柱的彈性剛度增大,當(dāng)軸壓比>0.2時(shí),隨軸壓比的增大,柱的彈性剛度減小,提高縱筋配筋率與混凝土強(qiáng)度等級(jí)均能的增大柱的彈性剛度。

(3)通過162個(gè)壓彎柱有限元分析結(jié)果,提出了關(guān)于軸壓比、縱筋配筋率及混凝土強(qiáng)度三種參數(shù)影響下的壓彎柱截面軸力-彎矩相關(guān)曲線實(shí)用計(jì)算公式以及不同軸壓比下柱截面剛度實(shí)用計(jì)算公式,公式的計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合較好,表明公式具有較高的精度與可行性,可為實(shí)際工程中鋼筋混凝土框架柱的設(shè)計(jì)與加固提供一定的支撐與參考。