凸顯概念本質(zhì) 促進(jìn)有效建構(gòu)
——“倍的認(rèn)識”的教學(xué)實(shí)踐與思考

□袁鋒萍

一、課前思考

“倍的認(rèn)識”是人教版教材三年級上冊第五單元的教學(xué)內(nèi)容。倍的概念較為抽象，教學(xué)時，教師需引導(dǎo)學(xué)生從具體實(shí)物數(shù)量的比較中抽象出倍的概念，理解“一個數(shù)的幾倍”的含義。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生借助乘法意義中的“幾個幾”來認(rèn)識倍，從除法的角度理解倍的概念，使學(xué)生認(rèn)識到倍的本質(zhì)是兩個數(shù)量的相互比較，即一個量中包含了幾個另一個量，就構(gòu)成了它的幾倍。倍表示兩個數(shù)（量）之間的關(guān)系，實(shí)際上，倍、分?jǐn)?shù)（表示率）、百分?jǐn)?shù)、比等概念的本質(zhì)是“比率”。比率在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要意義，它是學(xué)生學(xué)習(xí)比例、一元函數(shù)的基礎(chǔ)。因此，建立倍的模型有助于學(xué)生對比率形成清晰的認(rèn)識。

（一）分析教材編排

“倍的認(rèn)識”是學(xué)生初步認(rèn)識乘法與除法之后的學(xué)習(xí)內(nèi)容，旨在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相同種類的兩個量之間的“整數(shù)倍”關(guān)系，是學(xué)生第一次接觸比率。后續(xù)小數(shù)倍、分?jǐn)?shù)（表示率）、百分?jǐn)?shù)、比等內(nèi)容，都可以看成對“整數(shù)倍”的擴(kuò)展。可見，“倍的認(rèn)識”在整個知識體系中起著承上啟下的作用（如表1）。

表1

（二）分析學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)

學(xué)生一年級時學(xué)習(xí)了“比多少”，在二年級又學(xué)習(xí)了乘法與除法的含義，認(rèn)識了“幾個幾”，大部分學(xué)生都已在日常生活中對倍有了初步的認(rèn)識。但對于“誰是誰的幾倍”，尤其是特殊的倍數(shù)關(guān)系，學(xué)生仍不是很清楚。在學(xué)習(xí)倍概念之前，他們頭腦中構(gòu)建的是加法結(jié)構(gòu)，即數(shù)量的合并與多少的比較，而倍的學(xué)習(xí)則促使他們轉(zhuǎn)向乘法結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。這表明學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要發(fā)生一次根本性的變化，實(shí)現(xiàn)從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的躍遷，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)中最大的困難。

人教版教材將“倍的認(rèn)識”作為一個獨(dú)立單元進(jìn)行教學(xué)，充分凸顯了“倍”這一知識點(diǎn)的重要性，有利于學(xué)生后續(xù)展開進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

基于以上分析，確立本內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）結(jié)合具體情境理解倍與“幾個幾”的聯(lián)系，初步建立倍的概念；會用語言描述兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系，會用圖式表達(dá)兩個量的倍數(shù)關(guān)系。

（2）在觀察、變化、對比中進(jìn)一步理解倍的概念，把握倍的本質(zhì)，建構(gòu)倍的模型。

（3）在用倍刻畫量的關(guān)系的過程中，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)的價值。

二、教學(xué)實(shí)踐

（一）情境引入，初識倍的含義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出：“真實(shí)情境創(chuàng)設(shè)可從社會生活、科學(xué)和學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)等方面入手，圍繞教學(xué)任務(wù)，選擇貼近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)、符合學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知加工特點(diǎn)的素材?！睘榇?，教師可創(chuàng)設(shè)學(xué)生喜歡的學(xué)校大課間活動——球類活動情境，讓他們通過比較排球、足球和籃球的個數(shù)，在原有“差比”“幾個幾”認(rèn)知的基礎(chǔ)上，自然理解倍的含義。

【教學(xué)片段1】

（教師用課件出示圖1）

圖1

師：學(xué)校大課間活動豐富多彩。其中，排球、籃球、足球是大家非常喜愛的球類活動。請你數(shù)一數(shù)，排球、足球、籃球各有多少個？

生：排球3個，足球6個，籃球12個。

（教師順勢用課件對三種球進(jìn)行分類整理，如圖2所示）

圖2

師：請大家比一比足球和排球的數(shù)量。

生：足球比排球多3個。

生：排球比足球少3個。

生：足球的個數(shù)是排球的2倍。

師：很好！這節(jié)課我們就一起來認(rèn)識倍。

（板書課題：倍的認(rèn)識）

本教學(xué)環(huán)節(jié)通過創(chuàng)設(shè)球類活動情境，引導(dǎo)學(xué)生分類計(jì)數(shù)，培養(yǎng)他們整理數(shù)學(xué)信息的能力。在此過程中，學(xué)生通過比較足球和排球的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩個量之間不僅存在相差關(guān)系，還存在倍數(shù)關(guān)系，由此引入課題。在探討兩個數(shù)量之間的關(guān)系時，基于認(rèn)知水平，學(xué)生首先會想到已學(xué)的“差比”關(guān)系。在此基礎(chǔ)上引入“倍比”關(guān)系，則能引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

（二）運(yùn)用對比，理解倍的概念

1.從多元表征中建構(gòu)倍的直觀模型

多元表征是幫助學(xué)生理解“倍”概念的一種有效手段。教師可引導(dǎo)學(xué)生建立不同數(shù)學(xué)表征之間的關(guān)聯(lián)，從而鞏固數(shù)學(xué)知識。在此基礎(chǔ)上，豐富學(xué)生對“倍”概念的圖形表征，為學(xué)生后續(xù)運(yùn)用線段圖表示倍數(shù)關(guān)系做好鋪墊。

【教學(xué)片段2】

（教師出示活動要求：用擺一擺、圈一圈和畫一畫等方式表示你的思考結(jié)果，并與同伴交流想法）

師：請你用喜歡的方式表示“足球的個數(shù)是排球的2倍”。

（學(xué)生自主活動，教師巡視指導(dǎo)）

師：能說說你是怎么想的嗎？

生：把3個排球看成1份，足球有這樣的2份。

（教師用課件出示圖3）

圖3

師：今天學(xué)習(xí)的“倍”和我們之前學(xué)習(xí)的“比多少”有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生：都是在比較足球和排球的個數(shù)。

生：足球的個數(shù)比排球多3 個，是先找到足球和排球同樣多的部分；而足球的個數(shù)是排球的2倍，是先把排球的個數(shù)看成1 份，足球的個數(shù)有這樣的2份。

師（小結(jié)）：“倍”和“比多少”都表示兩個量之間的關(guān)系，但“比多少”要先找出同樣多的部分，而找兩個量的倍數(shù)關(guān)系則要先選定標(biāo)準(zhǔn)，看另一個量里有幾份標(biāo)準(zhǔn)。

本環(huán)節(jié)鼓勵學(xué)生采用擺一擺、圈一圈、說一說等形式，表示足球的個數(shù)是排球的2 倍，充分彰顯他們的個性化表達(dá)。如此，借助動作表征、圖形表征、語言表征等多元表征，幫助學(xué)生充分積累感性經(jīng)驗(yàn)，打破知識點(diǎn)間的壁壘，搭建“幾個幾”和倍之間的聯(lián)系，初步確立倍的概念。

2.從變式比較中理解倍數(shù)關(guān)系

烏申斯基曾指出：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)。”本內(nèi)容中存在兩類“變化”：一是當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)量不變時，比較量發(fā)生變化；二是當(dāng)比較量不變時，標(biāo)準(zhǔn)量發(fā)生變化。

【教學(xué)片段3】

（教師用課件出示圖4）

圖4

師：籃球的個數(shù)是排球的幾倍？

（學(xué)生自主圈畫，如圖5）

圖5

生：排球有3 個，籃球有這樣的4 份，也就是有4個3，所以籃球的個數(shù)是排球的4倍。

師：籃球有5 份呢？籃球的個數(shù)是排球的幾倍？50份呢？100份呢？能說說你的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：排球的個數(shù)沒有變，籃球的個數(shù)在3個3個地增加。

生：以3 個排球?yàn)? 份的標(biāo)準(zhǔn)，籃球有幾份，籃球的個數(shù)就是排球的幾倍。

（教師用課件出示圖6）

圖6

師：籃球的個數(shù)是足球的幾倍？

生：籃球的個數(shù)是足球的2倍。

（教師用課件同時呈現(xiàn)圖5和圖6）

師：同樣是12 個籃球，為什么圖5 是3 個3 個圈，圖6是6個6個圈？

生：排球是3個為1份，足球是6個為1份，標(biāo)準(zhǔn)量在變化。

本環(huán)節(jié)通過構(gòu)建兩種變化，促進(jìn)學(xué)生對倍數(shù)關(guān)系的深入理解。第一類變化是“標(biāo)準(zhǔn)量不變，變化比較量”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步拓展對幾倍的認(rèn)識。第二類變化是“比較量不變，變化標(biāo)準(zhǔn)量”，以使學(xué)生在對比中體會標(biāo)準(zhǔn)量的重要性。這樣的設(shè)計(jì)有助于學(xué)生加深對倍概念的理解，認(rèn)識到倍數(shù)關(guān)系是由兩個量相互比較得出的一種關(guān)系，從而幫助學(xué)生理解和把握倍數(shù)關(guān)系的本質(zhì)。

3.從直觀模型中抽象倍的數(shù)量關(guān)系

在引導(dǎo)學(xué)生探究兩個量的倍數(shù)關(guān)系時，要重視將所比較事物的數(shù)量關(guān)系直觀化。教師可以借助示意圖（如實(shí)物圖、紙條圖、線段圖等）直觀形象地展示兩個數(shù)量之間的倍比關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“一個量里包含幾個另一個量”，從而揭示倍概念的本質(zhì)特征。由此，通過抽象概括，學(xué)生可以理解基本數(shù)量關(guān)系，從而有效建立倍的概念。

【教學(xué)片段4】

（教師用課件出示圖7）

圖7

師：請大家仔細(xì)觀察三種球的對比圖及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：足球的個數(shù)是排球的2 倍，籃球的個數(shù)是足球的2倍，都是2倍關(guān)系。

（教師順勢用課件出示圖8）

圖8

師：為什么球的個數(shù)不同，卻都是2倍的關(guān)系？

生：我觀察到將第一行看成標(biāo)準(zhǔn)量，第二行都有這樣的2份，因此第二行的數(shù)量是第一行的2倍。

師：如果用一張紙條代表第一行，要顯示第二行的數(shù)量是第一行的2倍，第二行應(yīng)如何表示？

生：第二行可以用2張相同長度的紙條表示。

師：如果第一行用一條線段來表示，第二行要表示第一行的2倍，應(yīng)該怎樣畫？

（教師用課件展示畫線段圖的過程，如圖9）

圖9

師：聯(lián)系生活實(shí)際說一說，第一行還可以表示什么？第二行又能表示什么？

生：第一行可以表示7本書，第二行可以表示2個7本書，也就是14本書。

生：第一行可以表示5支鉛筆，第二行表示2個5支鉛筆，也就是10支鉛筆。

師：看來，無論第一行表示多少，只要第二行有第一行的2份那么多，就是它的2倍。想一想，如果第二行表示12顆糖，那么第一行表示什么呢？

本環(huán)節(jié)通過從具體的實(shí)物圖到紙條圖再抽象為線段圖的過程，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中抽象概括出基本數(shù)量關(guān)系，激發(fā)學(xué)生對倍概念本質(zhì)的理解與感悟。通過構(gòu)建倍的模型，使學(xué)生反復(fù)體會數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，從而建立“幾倍”與“幾個幾”之間的聯(lián)系，進(jìn)一步拓寬學(xué)生的思維，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)眼光和模型意識。

本節(jié)課通過多元表征及其相互轉(zhuǎn)換，深化學(xué)生對倍的認(rèn)知體驗(yàn)，使學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；通過多次對比感悟，充分彰顯倍的內(nèi)涵與外延，培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；利用幾何直觀抽象出倍的本質(zhì)，構(gòu)建模型，使學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。在這一過程中，抽象、推理和模型等數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)貫穿教學(xué)始終，通過有趣的情境、豐富的活動、多維的思考，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。