在運(yùn)動(dòng)的視角下，聯(lián)通“圖形與幾何”的結(jié)構(gòu)
——以人教版教材“立體圖形的體積和表面積”的教學(xué)為例

□張偉明 梁婷婷

一、緣起

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》對“圖形與幾何”領(lǐng)域進(jìn)行了調(diào)整，將《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中的“圖形的認(rèn)識”“圖形的測量”“圖形的運(yùn)動(dòng)”“圖形的位置”四個(gè)主題，整合為“圖形的認(rèn)識與測量”“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”兩個(gè)主題。這一變化說明“認(rèn)識”與“測量”、“位置”與“運(yùn)動(dòng)”在教學(xué)內(nèi)容上緊密關(guān)聯(lián)。比如，圖形特征的刻畫有助于測量方法的掌握，而測量方法的習(xí)得又有助于圖形特征的理解。兩者又可以通過圖形運(yùn)動(dòng)的視角實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)，即在圖形的運(yùn)動(dòng)中認(rèn)識圖形特征，掌握測量方法，實(shí)現(xiàn)圖形特征認(rèn)識與圖形運(yùn)動(dòng)之間的一致性，使各主題緊密結(jié)合。

那該領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)如何展開深入思考與實(shí)施呢？對此，筆者參閱吳正憲老師、張秋爽老師關(guān)于“以運(yùn)動(dòng)視角刻畫圖形特征”和“以運(yùn)動(dòng)視角理解圖形測量”的觀點(diǎn)［1］，結(jié)合人教版教材六年級下冊“整理和復(fù)習(xí)”單元中的“立體圖形的體積和表面積”這一內(nèi)容進(jìn)行實(shí)踐。一方面，作為小學(xué)階段“圖形的認(rèn)識與測量”領(lǐng)域的最后一課，“立體圖形的體積和表面積”的教學(xué)需要對立體圖形的體積和表面積進(jìn)行系統(tǒng)梳理；另一方面，這一復(fù)習(xí)內(nèi)容對學(xué)生整合所學(xué)的有關(guān)圖形的零碎知識提出了更高要求（如圖形的特征、圖形之間的關(guān)聯(lián)、計(jì)算公式的由來等）。

二、教學(xué)實(shí)踐

（一）第一次圖形運(yùn)動(dòng)：以圖形特征為焦點(diǎn)，激活知識鏈

對圖形特征的認(rèn)知主要體現(xiàn)在對圖形的抽象上。為此，學(xué)生需經(jīng)歷從實(shí)際物體抽象出幾何圖形的過程。以圖形的運(yùn)動(dòng)為視角，可通過圖形的動(dòng)態(tài)演繹，使學(xué)生對圖形特征的理解變得更為深刻。比如，三維直柱體也可通過二維平面圖形垂直平移得到。由此，學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化中再次認(rèn)識點(diǎn)、線、面等特征，以已有的知識點(diǎn)為基礎(chǔ)，激活知識鏈。

在本內(nèi)容的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師先以課件的動(dòng)態(tài)方式演示“點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體”的過程，直觀呈現(xiàn)圖形的形成過程：一個(gè)點(diǎn)沿一個(gè)方向平移，運(yùn)動(dòng)后的軌跡是一條線（如線段）。一條線段沿同一個(gè)方向平移，運(yùn)動(dòng)后的軌跡能形成長方形、正方形、平行四邊形；將這條線段繞著一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，運(yùn)動(dòng)形成的軌跡是圓（或扇形）。將平面圖形平移可形成長方體、正方體、圓柱，旋轉(zhuǎn)可形成圓柱或圓錐（如圖1）。這一圖形運(yùn)動(dòng)過程再現(xiàn)了一維、二維和三維間的轉(zhuǎn)化，為學(xué)生回顧圖形的特征奠定基礎(chǔ)。接著，教師提出核心問題：“看到V=Sh的計(jì)算公式，你想到了哪些圖形的體積？你想怎么說明？”通過問題驅(qū)動(dòng)，幫助學(xué)生回憶并整理出長方體、正方體、圓柱等立體圖形都能用這一公式計(jì)算體積。具體來說，長方體的體積為abh，正方體的體積為a3，圓柱的體積為πr2h。其中，ab、a2、πr2為底面積，h（a）為圖形的高。在運(yùn)動(dòng)視角下，學(xué)生能快速回憶起各種立體圖形的特征，為形成知識結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)。

圖1

（二）第二次圖形運(yùn)動(dòng)：貫通圖形測量，構(gòu)建知識網(wǎng)

圖形的長度、面積、體積計(jì)算公式的推導(dǎo)建立在測量基礎(chǔ)上，比如：長方形的面積是以面積單位對“行”和“列”進(jìn)行測量，從而歸納出長方形的面積公式；長方體的體積是以體積單位對“行”“列”和“層”進(jìn)行測量，進(jìn)而歸納出長方體的體積公式。教師應(yīng)從運(yùn)動(dòng)的視角出發(fā)，幫助學(xué)生利用測量理解體積的計(jì)算公式，發(fā)展空間觀念。

在本內(nèi)容的展開環(huán)節(jié)，教師可以利用V=Sh的計(jì)算公式，求長方體、正方體、圓柱的體積，并引導(dǎo)學(xué)生思考：“你如何解釋這些立體圖形的體積都可以用V=Sh來計(jì)算？”以此引導(dǎo)學(xué)生回歸體積推導(dǎo)的基本圖形——長方體，并由此推理其他立體圖形的體積，豐富學(xué)生對測量內(nèi)涵的理解。

【教學(xué)片段1】

師：我們是如何推導(dǎo)長方體的體積公式的？

生：用1 立方厘米的小正方體進(jìn)行擺放，一行擺a個(gè)，擺了b行，有這樣的h層，長方體的體積就用abh來計(jì)算。

師：長方體的底面積a×b表示一層中每一行有a個(gè)小正方體，共有b行，即一層有幾個(gè)體積單位；h是指有這樣的h層。體積單位的個(gè)數(shù)可以用一層的個(gè)數(shù)×層數(shù)，即Sh來計(jì)算。那么，正方體的體積如何計(jì)算呢？

生：正方體的一層中，每一行a個(gè)小正方體，有a行，有這樣的a層，同樣可以用Sh來計(jì)算。

師：那么圓柱呢？

生：一層有πr2個(gè)小正方體，有h層。

師：這樣能看出體積單位嗎？

生：將圓柱平均分成16等分，拼成一個(gè)近似的長方體。這樣，一層中每一行有πr個(gè)小正方體，共有r行，有h層。因此，圓柱的體積也可以用V=Sh來計(jì)算。

師：這個(gè)S和h究竟代表什么？

生：S就是一層有幾個(gè)小正方體，h就是有幾層。

師：有同學(xué)提到三棱柱也能用V=Sh計(jì)算體積。你知道三棱柱的形狀嗎？你想如何來說明？

生：三棱柱的底部是“一層三角形”，它有幾層這樣的三角形，體積可以用V=Sh來表示。

在運(yùn)動(dòng)視角下，引導(dǎo)學(xué)生理解S表示平面圖形的面積，h表示平面圖形平移的距離。當(dāng)平面圖形的面積不變時(shí)，運(yùn)動(dòng)的距離越長，直柱體的體積越大；反之，運(yùn)動(dòng)的距離越短，直柱體的體積越小。由此推導(dǎo)立體圖形的體積=平面圖形的面積×運(yùn)動(dòng)的距離。這使得學(xué)生體會到各類直柱體體積計(jì)算方法的一致性，認(rèn)識到這些直柱體的體積都能用V=Sh來計(jì)算。

【教學(xué)片段2】

師：一層的高最小是不是1 厘米？如果將1 厘米繼續(xù)縮減下去，你能想象此時(shí)的形狀嗎？

生：高為1毫米的一層。

師：這時(shí)用于度量的體積單位是什么？

生：1立方毫米。

師：高還能再小下去嗎？

生：1微米、1納米……

師：你能想象出這個(gè)圖形的形狀嗎？

生：很薄很薄的一片。

師：那么S表示什么？h又表示什么呢？

生：S表示平面圖形的面積，h表示平面圖形平移的距離。

師：是的，因此立體圖形的體積=平面圖形的面積×運(yùn)動(dòng)的距離。我們將這種可以通過平面圖形平移得到的立體圖形稱為直柱體。

教師從立體圖形體積的計(jì)算過渡到表面積的整理。如沿圓柱的一條高剪開，可得到兩個(gè)圓形的底面和一個(gè)長方形的側(cè)面；對于長方體、正方體、三棱柱等圖形，沿一條高剪開，也可得到兩個(gè)底面和一個(gè)長方形的側(cè)面。這些立體圖形的側(cè)面都是長方形，其面積均由底面周長C平移h這一距離得到（如圖2），因此這些立體圖形的側(cè)面積也能用底面周長×運(yùn)動(dòng)距離來計(jì)算。教師通過板書（如圖3）整理相關(guān)知識，讓學(xué)生體會到在運(yùn)動(dòng)視角下，體積和表面積的計(jì)算方法更具有一般性和一致性。

圖2

圖3

（三）第三次圖形運(yùn)動(dòng)：類化圖形結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識遷移

圖形的運(yùn)動(dòng)不僅是具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是一種思維方式。通過圖形的運(yùn)動(dòng)，學(xué)生可以深化對圖形的認(rèn)識與測量，這有利于他們用數(shù)學(xué)的眼光觀察圖形世界，體會圖形在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，進(jìn)而認(rèn)識到數(shù)學(xué)的價(jià)值。

在本內(nèi)容的練習(xí)環(huán)節(jié)，教師出示了9個(gè)封閉的立體圖形（如圖4），要求學(xué)生根據(jù)提供的數(shù)據(jù)找一找9個(gè)圖形容積之間的關(guān)系。在之前的展開環(huán)節(jié)，學(xué)生已經(jīng)探究出立體圖形體積與平面圖形及運(yùn)動(dòng)距離之間的關(guān)系。因此，學(xué)生能夠迅速發(fā)現(xiàn)②號、④號、⑤號、⑨號立體圖形的容積相等。這一過程促使學(xué)生理解在直柱體中，底面圖形可以從原來的正方形、長方形、圓、三角形擴(kuò)展到平行四邊形、梯形、圓環(huán)，甚至任意的平面圖形。

圖4

【教學(xué)片段3】

師：大家說的平行四邊形、梯形、圓環(huán)……都是平面圖形的形狀，那么平移的方向呢？

生：可以上下、左右平移。

生：還可以斜著平移。

師：是的，就是這里的④號棱柱。那你是怎么理解它的高的？

（根據(jù)學(xué)生的比畫，將三本數(shù)學(xué)書疊在一起進(jìn)行演示，讓學(xué)生理解斜棱柱的高是面與面之間垂直線段的長度）

師：你還能發(fā)現(xiàn)其他關(guān)系嗎？

生：②號圖形的體積是⑦號圖形體積的2 倍。⑦號圖形的底面是直角三角形，兩個(gè)完全一樣的直角三角形可以拼成一個(gè)長方形。

（根據(jù)學(xué)生回答將兩個(gè)三棱柱拼成長方體）

生：我知道了，平移距離相等，平面圖形的面積就成為決定體積的關(guān)鍵要素。因此，平面圖形面積推導(dǎo)中使用的倍拼法，同樣可以用于推導(dǎo)立體圖形的體積。

生：我還發(fā)現(xiàn)①號圓柱體的體積是⑥號圓錐體體積的3倍。

生：我覺得②號長方體與⑧號四棱錐的體積之間也存在3倍關(guān)系。

師：你們會如何驗(yàn)證這一猜想？

生：制作等底等高的長方體容器和四棱錐容器，將四棱錐容器倒?jié)M水，再倒入長方體容器中，重復(fù)這個(gè)過程，看看是否需要3次。

師：這是很好的想法！

在本內(nèi)容的總結(jié)環(huán)節(jié)，教師帶領(lǐng)學(xué)生梳理并回顧“正三角形—正方形—正五邊形—正六邊形—正十八邊形”的形成過程。隨著正多邊形邊數(shù)的增加，其形狀無限趨近于圓形，直至完全變?yōu)閳A形。教師提問：“這些正多邊形可以通過垂直平移得到相應(yīng)的直柱體，那么這些直柱體的體積應(yīng)如何計(jì)算呢？”借助在運(yùn)動(dòng)變化中特征保持一致的圖形，幫助學(xué)生得出“棱柱體積都可以用底面積×高計(jì)算”的結(jié)論。而圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的據(jù)此可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出棱錐體積也應(yīng)是與之等底等高棱柱體積的（如圖5）。由此，學(xué)生解決問題的思維從靜態(tài)地分析基本圖形的組成，提升至基于關(guān)系分析圖形特征和等積變化，實(shí)現(xiàn)了知識的關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)化。

圖5

總之，在運(yùn)動(dòng)視角下進(jìn)行的“立體圖形體積和表面積”的教學(xué)實(shí)踐，在激發(fā)學(xué)生的討論、互動(dòng)及思維發(fā)展方面取得了令人滿意的成果。通過三次圖形的運(yùn)動(dòng)過程，將“立體圖形體積和表面積”的復(fù)習(xí)融入知識鏈激活、知識網(wǎng)構(gòu)建以及知識遷移應(yīng)用的過程中，使學(xué)生對圖形特征有了直觀的認(rèn)識，構(gòu)建了合理的測量方法，并拓展了對類化圖形結(jié)構(gòu)的理解，從而推動(dòng)了學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。