如何借助尺規(guī)畫圖幫助學(xué)生理解平行四邊形的特征

□黃 建

教學(xué)中，教師可以借助尺規(guī)畫圖的方式，幫助學(xué)生更好地理解平行四邊形的特征。具體可以采用以下教學(xué)過程。

一、根據(jù)要求選擇線段，并在想象后進(jìn)行實(shí)際操作

教師呈現(xiàn)圖1，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)給出的記號，判斷哪一條線段折疊后能夠形成一個平行四邊形。

圖1

學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流。

接著，引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么選B？在學(xué)生解釋原因的過程中，幫助他們理解平行四邊形中邊的特征，即平行四邊形的對邊長度相等。

教師提問：“請你們想象一下，這個平行四邊形具體可能會是什么形狀？”為了讓學(xué)生更直觀地理解可能的形狀，教師建議學(xué)生利用學(xué)具進(jìn)行實(shí)際操作，先拼接線段，然后嘗試不同的拉伸方式。在操作活動中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：平行四邊形的邊長已經(jīng)確定，但形狀并非唯一。

二、布置作圖任務(wù)，使用尺規(guī)工具繪制平行四邊形

教師呈現(xiàn)圖2，展示平行四邊形的兩條相鄰邊，提問：“若角CAB的度數(shù)確定，通過圖中所示條件，能否確定這個平行四邊形的形狀是唯一的？”讓學(xué)生根據(jù)已知條件，利用兩把直尺和圓規(guī)，嘗試補(bǔ)全這個平行四邊形，并探究其形狀的唯一性。

學(xué)生獨(dú)立操作，用多種方法畫平行四邊形。

方法1：依據(jù)平行線的性質(zhì)。通過點(diǎn)B，僅能繪制一條與AC平行的直線；同理，通過點(diǎn)C，也只能繪制一條與AB平行的直線。這兩條平行線的交點(diǎn)即為頂點(diǎn)D，如圖3所示。

圖3

方法2：運(yùn)用圓規(guī)作圖。首先以點(diǎn)C為圓心，繪制一個半徑為4 厘米的圓；然后以點(diǎn)B為圓心，繪制一個半徑為3 厘米的圓。兩圓的交點(diǎn)即為所求頂點(diǎn)D，如圖4所示。

圖4

引導(dǎo)學(xué)生思考：為何兩圓的交點(diǎn)即為頂點(diǎn)D？幫助他們理解：頂點(diǎn)D至點(diǎn)B的距離固定為3厘米，頂點(diǎn)D至點(diǎn)C的距離固定為4厘米。當(dāng)兩組對邊長度分別相等時，即可構(gòu)成一個平行四邊形。兩圓的交點(diǎn)滿足這一條件，故為所求頂點(diǎn)D。

對比這兩種方法，它們的共同點(diǎn)即都在尋找交點(diǎn)。第一種方法尋找的是平行線的交點(diǎn)，其依據(jù)是平行四邊形的對邊分別平行；第二種方法尋找的是圓軌跡的交點(diǎn)，其依據(jù)是平行四邊形的對邊長度相等。因此，當(dāng)平行四邊形兩條鄰邊的長度及其夾角確定后，其形狀便已固定下來。

在圖4的基礎(chǔ)上，教師利用課件動態(tài)演示平行四邊形兩條鄰邊確定但其夾角不確定的情況。在觀察過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：平行四邊形的周長始終保持不變，但其面積卻會發(fā)生變化（如圖5）。當(dāng)AC垂直于AB時（即成長方形），平行四邊形的高達(dá)到最大值，從而面積也達(dá)到最大值。

圖5

上述教學(xué)過程，讓學(xué)生在實(shí)物操作活動中，體會平行四邊形的不穩(wěn)定性。同時，通過尺規(guī)作圖與想象，加深學(xué)生對平行四邊形特征的理解。