傾聽有收獲沿途真精彩
——一道課本習題的變式探究

☉江蘇省睢寧高級中學南校 劉亞平

傾聽有收獲沿途真精彩
——一道課本習題的變式探究

☉江蘇省睢寧高級中學南校 劉亞平

最近筆者在高三數(shù)學復習中與學生一起處理了一道經(jīng)典老題，在教學中多次出現(xiàn)教學意外，筆者及時調整教學策略，重構課堂動態(tài)生成.期間師生多次經(jīng)歷了“行到水窮處”的窘境，“坐看云起時”的愉悅，演繹了一幕幕令大家流連忘返的精彩瞬間.

一、題目及標準答案

題目設a≥1，若對于任意x∈［1，2］，不等式x|x-a|+≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.，對不等式右邊進行如下分類討論：

二、學生的意外

2.學生2的意外錯誤

學生2采用“正難則反”的策略.原命題的否定是?x∈［1，2］，不等式x|x-a|+＜a有解，進而轉化為|x-a|＜有解，去掉絕對值整理得，?x∈［1，2］，使不等式組

1.學生1的意外困惑

標準答案雖然清晰明了，但學生1覺得有點畫蛇添足，因為|x|＞a?x＞a或x＜a與|x|＜a?-a＜x＜a對一切a∈R都成立，直接去掉絕對值才是最好的通法，即直接進行標準答案中的第（2）種情況，但求得a的取值范圍為1≤a≤（對不等式組右邊而言，x∈（1，2］）有解.要使此不等式組有解，只要使故，所以a的取值范圍為1≤ a≤所得a的范圍只是標準答案的充分不必要條件，但我弄不明白這種解法錯誤出現(xiàn)在哪里？難道這種方法不能運用？

3.學生3的意外想法

雖然標準答案及學生1、學生2的解法都是容易想到

的通性通法，但過程繁冗，根據(jù)解題經(jīng)驗猜想此題還可以用數(shù)形結合法，但沒有找到合適的切入點.

三、教師的困惑

1.發(fā)現(xiàn)學生1的隱情

師生一起仔細核對了學生1的運算，發(fā)現(xiàn)運算無誤.教師在迷茫之際，學生1的提示“把a=代入不等式驗證

知道此方法是錯誤的”令筆者茅塞頓開：能不能采用“特殊探路，巧解一般”的策略發(fā)現(xiàn)“隱情”？把a=代入a≤，解得≤x≤2，把a=代入a≥，解得1＜，兩者的解集的并集正好為（1，2］.于是揭示了學生1的錯誤解法的“隱情”——把|x-a|≥對任意x∈［1，2］恒成立單獨分割成兩個不等式恒成立是錯誤的，還應包括兩個不等式a≤解集的并集為（1，2］的情況.

2.挖掘學生2的蹊蹺

3.探索學生3的猜想

在備課時，教師僅僅囿于成見標準答案，沒有多想能否運用其他方法，當學生3提出此猜想時，筆者心里有些內(nèi)疚與不安！俗話說“解鈴還須系鈴人”.教師只好把問題順勢交給學生，和學生一起多方嘗試，共同探索.在聆聽學生的想法與意見后，教師思路峰回路轉：只要把不等式x|x-a|+≥a變形為x|x-a|≥a-，再結合（fx）= x|x-a|，x∈［1，2］的圖像，求出（fx）的最小值即可.

四、教師的解惑

教師：不等式|x-a|≥對任意x∈［1，2］恒成立是否只等價于x-a≥對任意x∈［1，2］恒成立且xa≤-對任意x∈［1，2］恒成立？若不是，能否舉個反例？

教師：那能不能采用數(shù)形結合法進行補救呢？

2.解惑學生2的蹊蹺

學生4：不正確，因為原不等式是同步不等式恒成立，而不是異步不等式恒成立問題.

教師：學生2的思路完全正確，但是通過求a的范圍時出現(xiàn)了錯誤.哪位學生能說明錯誤的根源嗎？

學生4：不能在區(qū)間［1，2］上求它們的最值.

圖1

3.解惑學生3的猜想

（1）當1≤a≤2時，fmi（nx）=（fa）=0≥a-，所以1≤a≤.

（2）當a＞2時，fmin（x）=f（1）或f（2），只要使解得a≥.

五、教師的收獲

1.駐足意外，收獲精彩

葉瀾教授說：“課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程.”在教學中教師在關注學生數(shù)學學習的過程、結果、理解問題的深刻、情感態(tài)度的變化等時要學會打破教學預設，不要一味地被教學進度或課前預設牽著走.對于回答正確的學生及時給予恰如其分的鼓勵和表揚，通過比較不同方法的優(yōu)劣，展示成果，讓學生產(chǎn)生成功的愉悅；對于回答錯誤或不完整的學生，不要批評，更不要責難，要俯下身子耐心地傾聽學生的想法，細心體會他們的思維過程與方向，并給學生以恰到好處的提示與引導，幫助他們回到正確的思維軌道上；對于學生的“意外”提問、“意外”困惑，教師不要心慌意亂，因為精彩的課堂往往發(fā)生在預設之外，教師要機敏地撲捉到這種課程資源，通過巧妙追問，或是討論交流，或是合作探究等，把真正的“生態(tài)課堂”的理念帶入常態(tài)課，收獲“平淡的”常態(tài)課無法收獲的精彩.

有些教學意外由學生自主學習很難完成，這就需要教師運用靈活的教學機智創(chuàng)設情境，啟發(fā)學生思考，激發(fā)學生去嘗試，在思考嘗試中化教學“意外”為教學的“情理之中”，達成教學目標.為了順利幫助學生解決“教學意外”，教師就必須精心設計一些蘊含著有思考力度又能獨立嘗試的數(shù)學問題，構建適宜的教學活動，制造“沖突點”，激活思維.教師要大膽地把問題的“嘗試權”“操作權”交給學生，讓學生自己去感知、去探索、去生成.或許教學過程曲折，花費較多的教學時間，影響預定的教學進度，但會使學生的思維更靈動、印象更深刻、課堂更精彩.

2.消除困惑，打磨思維

本節(jié)課，學生有這么多的“意外”是筆者始料未及的，特別聽到學生發(fā)自內(nèi)心的困惑與不解：“難道這種方法不對？”“難道這種方法不能運用？”……更令筆者使命感與責任感陡增：若不幫助學生消除困惑中的“隱情”，通法就會變成“險法”，遇到類似的問題學生的思維就會畏首畏腳.教育家弗萊登塔爾指出：“學習數(shù)學的唯一正確方法是實行再創(chuàng)造，也就是由學生本人把要學習的知識發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來.”當學生發(fā)現(xiàn)問題后，教師要給予學

生充分的思考時間與空間，通過變換問題的視角、轉換問題的類型、變更問題的背景等有效引導學生思考，審視“意外”，消除“困惑”，旨在提高學生的創(chuàng)造力，“打磨”靈活多變的思維.

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱《新課標》）指出：“數(shù)學課程要講究邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探究活動，體會蘊含在其中的數(shù)學思想方法.”羅增儒教授提出：“通過有限的典型例題的學習去領悟那種解無限道題的數(shù)學機智.”這里的領悟解題的數(shù)學機智從某種意義上說就是對問題本質的理解，對數(shù)學思想方法的提煉.在解題教學中，如果教師僅僅停留在淺層次的分析上，沒有觸及問題的本質，那么容易造成學生探究問題的膚淺性，解題能力就不會得到相應的提高與發(fā)展，更談不上創(chuàng)造性地進行求解.對數(shù)學思想理解的深度往往決定了學生思維方向及解法的優(yōu)劣.只有學生把握了問題的本質，才能提高數(shù)學概念、公式、定理等使用的效度、靈活度；才能有效提高學生自身發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力；才能促使學生產(chǎn)生解決問題的創(chuàng)造性的思路與方法，形成簡捷、高效的解決方法.

3.創(chuàng)設探究，增長能力

喬治·波利亞說：“學習東西最好的途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它，最富成效的學習是自己去探索、去發(fā)現(xiàn).”《新課標》指出：“學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式.”作為數(shù)學教育工作者，教師一定要有搞好探究活動的信念與意識，創(chuàng)設有利于學生探究活動的環(huán)境，激起學生探究問題的欲望，讓學生在探究中“放飛思想”，快樂思考，不斷成長.

如果高三的數(shù)學復習課，每天重復在“講、練、考、評”中，那么承載高考負重的課堂就會沉悶沒活力，學生就會疲于奔命，進而抑制學生學習數(shù)學的興趣.因此，教師要給復習課創(chuàng)設適時、適當?shù)奶骄繖C會，并把對問題的探究活動交給學生，讓學生參與到知識生成的全過程，讓學生在有限的課堂牢固掌握知識的同時，獲得理性精神的給養(yǎng)，這無疑會增添學生學習數(shù)學的動力.若有必要，教師還可以用變式串當堂體驗探究得來的結論的運用，使學生各個器官和思維充分動起來，讓“生動”的課堂真正生“動”起來，引導學生如《新課標》所倡導的“主動參與、樂于研究、合作交流”，幫助學生在結論的提煉和習題的分析中體會數(shù)學思想，領悟數(shù)學知識的內(nèi)在本質.這樣，學生在潛移默化中解題經(jīng)驗得以積累，應試能力得以提高，學習素養(yǎng)得以提升.

4.做好主導，共同發(fā)展

蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》一書中說：“教師所知道的東西，就應當比他在課堂上要告訴的東西多十倍，以便能夠應付自如地掌握教材，到了課堂上，能從大量的事實中選出最重要的來告訴.”只有這樣的告訴，才能使學生獲得“聽君一席話，勝讀十年書”的體驗.眾所周知，數(shù)學教學中教師是主導，學生是主體.教師的主導作用，著眼于“導”，主要體現(xiàn)在“導學、導研、導解”上；學生的主體作用，著眼于“做”，主要體現(xiàn)在“讀、說、寫、講、解”上.教師的主導作用決定了教師是學生學習的組織者、指導者與幫助者.有時，并不是所有的數(shù)學問題學生都能獨立完成，這就需要教師的適時參與，發(fā)揮教師的主導作用.主導作用較強的教師可能會一下子看透問題的本質，講引有度、板書得當、詳略有別、重點突出，教學效率較高；主導作用較弱的教師可能懵懵懂懂，抓不住本質，分不清主次，找不準問題的突破口，帶領學生原地繞圈子，影響教學效率.

在教師的專業(yè)發(fā)展中，知識無疑處于核心地位，一名數(shù)學教師是否具備扎實的學科專業(yè)知識對于教學的有效性至關重要.然而并非具備了充足的數(shù)學知識就能成為一名優(yōu)秀的數(shù)學教師，因為學生不是容器，教師的知識再多，學生不一定成為學習數(shù)學的受益者，因為高效的數(shù)學課堂教學還需要教師的幽默的教學語言、先進的教學理念、嫻熟的教學技能等協(xié)助實施；甚至還需要具有針對特定數(shù)學內(nèi)容的教學知識，即懂得如何表述、呈現(xiàn)、解釋數(shù)學內(nèi)容，以促進學生對數(shù)學知識的理解.

數(shù)學教師在師范院校所學習的主要是數(shù)學專業(yè)知識，以及一些教育學、心理學等知識.雖然有數(shù)學教學論這門課，但也只是“數(shù)學案例”與教學論的簡單結合，這對于教師形成學科教學知識是遠遠不夠的，要成為一名優(yōu)秀的主導者，教師除養(yǎng)成善于解題、樂于解題外，還需要多讀書，多聽名家講座，甚至通過進修學習和撰寫論文等途徑來提升教學素養(yǎng).

1.謝尚志.評課，重在賞析貴在思考［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2012（12）.

2.劉亞平.追溯“缺失”讓學生的思維自然地流淌——從一道“不該”做錯的考題說起［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2014（3）.

3.劉亞平.運用數(shù)學活動經(jīng)驗提升數(shù)學教學實效［J］.中學數(shù)學（上），2016（5）.F