學(xué)科育人視域下的“數(shù)學(xué)美”滲透

華秀祥

［摘? 要］ “數(shù)學(xué)美”是立體、多元的。從學(xué)習(xí)的視角來(lái)看數(shù)學(xué)美，不能只看到數(shù)學(xué)的“本質(zhì)美”，還要看到數(shù)學(xué)的“育人美”。學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更會(huì)看（觀察）、更會(huì)想（思考）、更會(huì)說(shuō)（表達(dá)），讓自身的成長(zhǎng)更有力量。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)美；本質(zhì)美；思維；立德樹(shù)人

美是人們對(duì)事物的一種感覺(jué)。希臘語(yǔ)審美（Aesthetikos）原意就是感覺(jué)。對(duì)于美而言，客觀的本質(zhì)屬性就是審美的對(duì)象，能引發(fā)人們從各個(gè)角度觀察與追求：一方面，人們借助數(shù)學(xué)能夠很好地認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的那些具體的、具有規(guī)律性的東西。正如馬克思所說(shuō)，美的客觀本質(zhì)屬性相對(duì)穩(wěn)定，具有規(guī)律性；另一方面，數(shù)學(xué)本身具有美的本質(zhì)屬性（簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、周期、和諧）。許多數(shù)學(xué)家不僅從邏輯的角度，還從美的角度審視數(shù)學(xué)結(jié)論。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）規(guī)定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“總目標(biāo)”提出：“對(duì)數(shù)學(xué)具有好奇心和求知欲，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，欣賞數(shù)學(xué)美，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問(wèn)難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神?！保郏保菘偰繕?biāo)把“欣賞數(shù)學(xué)美”跟“興趣”“信心”“習(xí)慣”等放在了一起，將其列入了“情感態(tài)度與價(jià)值觀”。數(shù)學(xué)美的教學(xué)分布在新課標(biāo)“學(xué)段目標(biāo)”中：一、二年級(jí)“感受數(shù)學(xué)美”，三、四年級(jí)“體驗(yàn)數(shù)學(xué)美”，五、六年級(jí)“體驗(yàn)并欣賞數(shù)學(xué)美”，七、八、九年級(jí)“欣賞并嘗試創(chuàng)造美”。

一、欣賞數(shù)學(xué)的“本質(zhì)美”

愛(ài)因斯坦說(shuō)：“美，本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單性?！薄吨芤住は缔o》中記載：“易則易知，簡(jiǎn)則易從……易簡(jiǎn)而天下之理得矣?！敝袊?guó)哲學(xué)倡導(dǎo)大道至簡(jiǎn)，人們普遍認(rèn)為恰到好處的簡(jiǎn)潔是一種美。數(shù)學(xué)的首要特點(diǎn)就是它的簡(jiǎn)潔性［２］。

“用字母表示數(shù)”主題單元教學(xué)含有字母乘法算式的簡(jiǎn)寫，用含有字母的乘法算式表示數(shù)量關(guān)系比文字簡(jiǎn)單，學(xué)生有深刻的體會(huì)?？刹豢梢员硎镜酶?jiǎn)單？面對(duì)教師的問(wèn)題，學(xué)生一臉疑惑，教師用“小度講故事”的形式讓學(xué)生自學(xué)。含有字母乘法算式的簡(jiǎn)寫規(guī)則是本單元教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生單靠自學(xué)肯定不能將知識(shí)內(nèi)化。

首先，讓學(xué)生開(kāi)展小組合作學(xué)習(xí)，組內(nèi)交流自己的收獲；然后，第二組的4個(gè)學(xué)生到講臺(tái)與全班交流，其他5個(gè)小組進(jìn)行補(bǔ)充。在組與組、生與生的思辨中，學(xué)生知道：含有字母的乘法算式，乘號(hào)可以簡(jiǎn)寫成“·”，或者省略不寫。字母和數(shù)字相乘，如果要省略乘號(hào)，必須把數(shù)字寫在字母的前面；字母和1相乘時(shí)，字母前面的1可以省略不寫；兩個(gè)相同的字母相乘，可以寫成字母的平方，表示兩個(gè)相同的字母相乘。教師讓學(xué)生講述自己的體會(huì)，學(xué)生一致認(rèn)同數(shù)學(xué)的“簡(jiǎn)潔美”。那一刻，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美已經(jīng)在學(xué)生的心中播下了種子。

學(xué)以致用——教師首先讓學(xué)生把4×a以及正方形周長(zhǎng)（C＝4×a）和面積（S＝a×a）計(jì)算公式用更簡(jiǎn)單的形式表示，使學(xué)生熟悉簡(jiǎn)寫規(guī)則；然后通過(guò)游戲進(jìn)行深度學(xué)習(xí)：要求學(xué)生辨析a＋a可不可以簡(jiǎn)寫？如果可以，怎么簡(jiǎn)寫？表示什么意義？它和a×a有什么區(qū)別？教師精準(zhǔn)拋出一系列和字母學(xué)習(xí)主題有關(guān)的深度核心問(wèn)題后，學(xué)生進(jìn)行了熱烈的討論。圍繞這些核心問(wèn)題，學(xué)生能在質(zhì)疑、辯論、反思中感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。

簡(jiǎn)潔美體現(xiàn)了大自然的普遍規(guī)律，這就是大自然的統(tǒng)一性，也是科學(xué)家常說(shuō)的秩序。比如，圓不論大小，周長(zhǎng)與直徑的比都是一個(gè)固定的常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是一個(gè)不可思議的無(wú)理數(shù)π。比如，多邊形中三角形內(nèi)角和180°，直角三角形的勾股定理，長(zhǎng)方形、平方四邊形、三角形、梯形面積公式統(tǒng)一，長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐體積公式統(tǒng)一，頂點(diǎn)、棱、面?zhèn)€數(shù)關(guān)系的歐拉公式等。正是因?yàn)榇笞匀灰约皵?shù)與圖形的統(tǒng)一性，使人們認(rèn)識(shí)了簡(jiǎn)潔美。

二、把握數(shù)學(xué)的“育人美”

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是“立德樹(shù)人”。讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美不是靠告知和灌輸，而是教師要在單元整體目標(biāo)的引領(lǐng)下創(chuàng)造合適的情境、活動(dòng)，運(yùn)用合適的載體，讓學(xué)生在真實(shí)的活動(dòng)中，在與有形之物、無(wú)形之思的碰撞與互動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)的育人美。

數(shù)學(xué)的美是創(chuàng)造，是簡(jiǎn)單中的復(fù)雜，是無(wú)序中的有序。機(jī)械模仿不是美，遷移、應(yīng)用、創(chuàng)新才是美?！坝米帜副硎緮?shù)”一課設(shè)有北京旅游的情境：1個(gè)房間有4張鋪位，2個(gè)房間有4×2=8（張）鋪位，3個(gè)房間有4×3=12（張）鋪位，4個(gè)房間有4×4=16（張）鋪位……這樣的情境機(jī)械重復(fù)，學(xué)生憑借已有知識(shí)就能解答，無(wú)法激起興趣。

教師讓學(xué)生用1個(gè)算式概括這里的所有的計(jì)算，于是有學(xué)生提出：可以用a表示房間的數(shù)量，4×a就是一共的鋪位數(shù)。從用具體的數(shù)表示房間的個(gè)數(shù)，到用抽象的字母a表示房間的個(gè)數(shù)，這是學(xué)生思維一次大的跨越。課堂上部分學(xué)生先是疑惑，聽(tīng)了同伴的解釋后恍然大悟：字母a神通廣大，不僅可以表示1間房，還可以表示2間房，在這里它可以表示任意房間的數(shù)量。這時(shí)有個(gè)學(xué)生補(bǔ)充說(shuō)：“這里的字母a雖然神通廣大，但它只能表示1、2、3……這樣的自然數(shù)，字母a表示的數(shù)不可能無(wú)限大?！甭?tīng)完他的話，學(xué)生都安靜了下來(lái)，他們的思維在飛速運(yùn)轉(zhuǎn)，片刻之后有些學(xué)生輕輕點(diǎn)頭表示默認(rèn)，用燦爛的笑容為同伴點(diǎn)贊。數(shù)學(xué)思維的美，數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿?，充滿了整個(gè)教室！

教師拋出新的問(wèn)題：“有誰(shuí)能理解他說(shuō)的4×a表示什么意思？”這一次舉手的學(xué)生很多，似乎都理解了。一個(gè)女生說(shuō)：“4×a表示鋪位的張數(shù)。”大部分學(xué)生不再舉手，表示同意。只有一個(gè)男生高高舉手，他說(shuō)：“這里的4×a 還可以表示鋪位的張數(shù)是房間數(shù)量的4倍?！?/p>

教師裝作不懂，讓他接著解釋：“a是房間的個(gè)數(shù)，4×a就表示鋪位數(shù)量是房間數(shù)量的4倍?！甭?tīng)了他的解釋，其他學(xué)生鼓掌表示贊同，教師也笑了，掌聲讓他清楚學(xué)生已經(jīng)掌握了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。教師在黑板上認(rèn)真地板書：4×a既可以表示鋪位數(shù)，又可以表示鋪位數(shù)是房間數(shù)的4倍。在鋪位數(shù)的下面標(biāo)注“數(shù)量”，4倍下面標(biāo)注“關(guān)系”，旨在強(qiáng)調(diào)含有字母的乘法算式不但可以用來(lái)表示數(shù)量，而且可以用來(lái)表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。欣賞著黑板上簡(jiǎn)潔的結(jié)構(gòu)性板書，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美讓每一位學(xué)生都看得真真切切。

數(shù)學(xué)的美在于通透。通透中見(jiàn)美，是數(shù)學(xué)育人美的重要特征。通透與美總是緊密相連的，唯有通透才能感受到數(shù)學(xué)的美［３］。一節(jié)數(shù)學(xué)課，學(xué)生走進(jìn)教室，40分鐘后走出教室，會(huì)有什么變化？這與教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解是否通透，對(duì)學(xué)生日常經(jīng)驗(yàn)以及在其他情境中已經(jīng)獲得的先前知識(shí)是否了解有關(guān)。教師只有將教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)評(píng)價(jià)和學(xué)生已有認(rèn)知理解通透了，才能設(shè)計(jì)出適合學(xué)生的情境化的教學(xué)材料，確立學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，學(xué)生才能在教師的幫助下走向深度學(xué)習(xí)，才能感受到數(shù)學(xué)通透的育人美。

蘇教版四年級(jí)下冊(cè)“可能性”單元例題：口袋里有1個(gè)紅球和1個(gè)黃球，從口袋里任意摸出1個(gè)球，可能摸出哪種顏色的球？日常經(jīng)驗(yàn)中學(xué)生已經(jīng)知道，可能摸出紅球，也可能摸出黃球。學(xué)生已經(jīng)會(huì)解決的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，教材到底想讓學(xué)生通透理解什么數(shù)學(xué)知識(shí)？其實(shí)教材是想讓學(xué)生通透理解“隨機(jī)現(xiàn)象”，即在一定條件下，在個(gè)別實(shí)驗(yàn)或觀察中呈現(xiàn)不確定性，但在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)或觀察中其結(jié)果又具有一定規(guī)律性的現(xiàn)象。學(xué)生通過(guò)小組合作，從口袋里隨便摸出1個(gè)球，觀察后放回，一共摸了10次。小組長(zhǎng)記錄10次摸出球的顏色，把6個(gè)小組的摸球情況都一一展示到黑板上。

第1組：黃、黃、黃、黃、黃、黃、紅、黃、黃、黃；

第2組：紅、紅、紅、紅、黃、紅、黃、黃、紅、黃；

第3組：黃、黃、紅、紅、紅、紅、黃、紅、紅、紅；

第4組：紅、黃、紅、黃、黃、黃、紅、紅、黃、黃；

第5組：紅、黃、紅、黃、黃、紅、紅、紅、黃、紅；

第6組：黃、黃、黃、黃、黃、黃、黃、紅、紅、黃。

每個(gè)小組口袋里都是1個(gè)紅球和1個(gè)黃球，可是摸出的結(jié)果卻不一樣。橫向比較，會(huì)發(fā)現(xiàn)：第1、6小組到第7、8次才摸到紅球，第2、4、5小組第1次就摸到了紅球，第2小組連續(xù)摸到紅球，可第6小組幾乎到最后才摸到紅球?？v向比較，會(huì)發(fā)現(xiàn)：同樣都是第一次，2、4、5小組摸到的是紅球，1、3、6小組摸到的是黃球……教師在黑板上整齊展示，讓學(xué)生通透理解“隨機(jī)”的含義：在摸球之前不能確定摸出球的顏色，上一次摸出球的顏色也不能影響下一次摸出球的顏色，任意摸一次的結(jié)果都是隨機(jī)的。

教學(xué)試一試：口袋里有2個(gè)紅球，任意摸出1個(gè)球，可能摸出哪個(gè)球？摸出的一定是紅球嗎？為什么？這個(gè)問(wèn)題學(xué)生回答摸出的一定是紅球，因?yàn)榭诖镏挥屑t球，但少有學(xué)生會(huì)思考得通透，可能摸出左邊的紅球，也可能摸出右邊的紅球。“試一試”教學(xué)的是“確定性現(xiàn)象”，但“確定性現(xiàn)象”中也有“隨機(jī)現(xiàn)象”。一會(huì)兒左邊的紅球，一會(huì)兒右邊的紅球，學(xué)生的理解真能通透嗎？他們會(huì)關(guān)注紅球的左右嗎？大多數(shù)學(xué)生只會(huì)關(guān)注2個(gè)紅球。課堂上教師將口袋里的2個(gè)紅球標(biāo)上1號(hào)和2號(hào)，方便學(xué)生準(zhǔn)確記載摸出的是幾號(hào)紅球，這種可視性的標(biāo)簽讓學(xué)生通透理解了“確定性現(xiàn)象”中的“隨機(jī)現(xiàn)象”。摸出的一定是紅色的球，但可能是1號(hào)的紅球，也可能是2號(hào)的紅球，并且它們出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是隨機(jī)的。教師在課堂上讓“隨機(jī)現(xiàn)象”“確定性現(xiàn)象”變得可視，變得通透，變得美麗。

三、美美與共，立德樹(shù)人

數(shù)學(xué)的本質(zhì)美與生俱來(lái)，它的簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、周期、和諧具有一般性。數(shù)學(xué)與其他學(xué)科融合在一起，也是國(guó)際課程的發(fā)展趨勢(shì)。新課標(biāo)豐富了“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容，與跨學(xué)科知識(shí)、歷史文化有機(jī)結(jié)合。數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言，成為人們表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的工具，與人們的生活息息相關(guān)。

對(duì)稱是物體在某種變換下保持不變的性質(zhì)。圖形中有對(duì)稱美，物體中有對(duì)稱美，代數(shù)中同樣有對(duì)稱美，比如a＋b＝b＋a；a×b＝b×a；（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2中a和b可以交換。對(duì)稱現(xiàn)象在生活中隨處可見(jiàn)：埃及的金字塔、西安古城、彩色的蝴蝶、運(yùn)動(dòng)的足球……對(duì)稱給人以平衡、典雅、和諧、穩(wěn)定的感覺(jué)，人們逐漸把對(duì)稱演化為美的享受。

自然界有很多周而復(fù)始、綿延不絕的現(xiàn)象，人們稱這樣的現(xiàn)象具有周期性。仰望星空，會(huì)發(fā)現(xiàn)星空圍繞北極星旋轉(zhuǎn)具有周期性；生活在海邊，會(huì)發(fā)現(xiàn)海水潮起潮落的循環(huán)具有周期性；耕種田野，會(huì)感悟季節(jié)春種秋收的交替具有周期性；生活中太陽(yáng)升起落下，日復(fù)一日；月亮陰晴圓缺，月復(fù)一月；氣候四季交替，年復(fù)一年。一年中春夏秋冬四季輪回，一周中星期一到星期日7天循環(huán)，一天中24個(gè)小時(shí)不停輪轉(zhuǎn)。數(shù)學(xué)以及生活中處處都有“周期美”。

和諧出自《管子·兵法》：“和合故而能諧”，是指人與人之間配合適當(dāng)、和平共處，人們把和諧作為審美的標(biāo)準(zhǔn)。和諧不等于相等，比如一幅畫包含多種顏色，和諧并不是這幅畫中所有顏色占有相同的面積，而是根據(jù)繪畫的內(nèi)容以及顏色的深淺確定適當(dāng)?shù)谋壤?；把一條長(zhǎng)度為1的直線段分為不相等的2段，長(zhǎng)段為x，短段為1－x，古希臘認(rèn)為最美的比例應(yīng)當(dāng)是長(zhǎng)段/整段＝短段/長(zhǎng)段，也就是x∶1＝（1－x）∶x，得到方程x2＋x－1＝0的解x＝0.618，這便是數(shù)學(xué)上最美的黃金分割點(diǎn)。

在美的課堂教學(xué)中，學(xué)生結(jié)合這些美的教學(xué)材料，深度走進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)：課前學(xué)生會(huì)預(yù)習(xí)，課中學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去觀察，課后學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，讓學(xué)生既能從數(shù)學(xué)的角度去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，又能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題；課前學(xué)生有想法，課中學(xué)生的思維得到提升，課后學(xué)生思考問(wèn)題變得更加全面，尤其是批判性思維的發(fā)展，讓學(xué)生在生活中會(huì)有更多奇妙的創(chuàng)造；課前學(xué)生能用自己的語(yǔ)言表達(dá)，課中學(xué)生學(xué)習(xí)用專業(yè)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，課后學(xué)生借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言很好地認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中那些具有共性的、規(guī)律性的東西。

美可以陶冶人的道德情操，增加生活樂(lè)趣；美可以改善人的思維品質(zhì)，提高行為素養(yǎng)。美的數(shù)學(xué)課堂讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更美好，讓學(xué)生的成長(zhǎng)更有力量。數(shù)學(xué)的“本質(zhì)美”與“育人美”二者融合，一切皆美，此乃數(shù)學(xué)美的大境界。

參考文獻(xiàn)：

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［３］ 田慧生. 深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)［Ｍ］. 北京：教育科學(xué)出版社，２０１９.