大單元指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計(jì)案例分析

劉紅霞

【摘? 要】普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)目標(biāo)從對(duì)知識(shí)點(diǎn)的了解、理解和記憶提升到了對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和對(duì)價(jià)格觀念的培育層次，這就要求教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)不能只關(guān)注單一的知識(shí)點(diǎn)，而要引導(dǎo)學(xué)生著眼于全局，逐漸引領(lǐng)學(xué)生形成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，即要以大單元的思路設(shè)計(jì)每一節(jié)課程，對(duì)引入的每一個(gè)情境要為大單元的學(xué)習(xí)服務(wù)，從而為圓滿實(shí)現(xiàn)大單元的學(xué)習(xí)任務(wù)作好應(yīng)有的鋪墊。那么，如何在大單元指導(dǎo)下進(jìn)行每一節(jié)課程的設(shè)計(jì)，則成了一線教師需要思考的問(wèn)題。下面以“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”第一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)劰P者對(duì)基于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)進(jìn)行的“大單元”的教學(xué)設(shè)計(jì)及反思。

【關(guān)鍵詞】大單元教學(xué);初中數(shù)學(xué);教學(xué)案例

一、教材分析

從數(shù)列這一章來(lái)講，“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”與“等比數(shù)列”“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”是相繼延續(xù)和發(fā)展的。從學(xué)生的整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)講，“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”可以放在求“和”的大單元中。

二、學(xué)情分析

就學(xué)生而言，這是一個(gè)求“和”的問(wèn)題。從已有的求“和”的經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，在此之前小學(xué)階段就有了逐項(xiàng)求和、歸納求和、簡(jiǎn)便運(yùn)算的方法。本章通過(guò)前幾節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握了等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，以及通過(guò)探究也了解和掌握了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，初步具備了數(shù)列的概念，也具備了一定的探究能力和運(yùn)算能力，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)“最近發(fā)展區(qū)”的衍生，在一定的引導(dǎo)和啟發(fā)下，讓學(xué)生思考如何推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

教學(xué)目標(biāo)

（1）在大單元“和”的引導(dǎo)下，探究并理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的意義及各個(gè)要素的具體含義。同時(shí)通過(guò)對(duì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)思維方法，并能夠利用這些公式解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（2）通過(guò)對(duì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)、演繹、探索、發(fā)現(xiàn)與證明過(guò)程，讓學(xué)生初步感知和理解探究的一些基本方法，如分類討論、整體消元等。

（3）在 “國(guó)王賞麥”的奇妙故事中出現(xiàn)的“和”的問(wèn)題的思考中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的樂(lè)趣，感知生活中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化。

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及演繹過(guò)程，并能利用此公式針對(duì)一些具體的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行正確解答。

教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程。

課堂實(shí)錄：

師：同學(xué)們，今天很榮幸和同學(xué)們度過(guò)接下來(lái)的40分鐘，今天老師帶了一個(gè)棋盤？你們看看這是什么棋盤？

師：棋盤上有多少格子？可以怎么數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：有些學(xué)生可能不了解國(guó)際象棋，首先我們對(duì)它有個(gè)認(rèn)識(shí)。而在數(shù)格子時(shí)我們可以大致采用二種思路：一是采用一一對(duì)應(yīng);二是斜數(shù)1+2+3+…7+8+7+6+…+2+1，這正好對(duì)應(yīng)了已學(xué)過(guò)的求“和”的方法：逐項(xiàng)相加、簡(jiǎn)便運(yùn)算（化加為乘），體會(huì)不同的數(shù)法對(duì)應(yīng)不同的算法，不同的算法對(duì)應(yīng)不同的運(yùn)算的“繁”與“簡(jiǎn)”。所以對(duì)一個(gè)求“和”的式子，數(shù)學(xué)運(yùn)算的方法的選擇很重要。

師：歷史上還有一個(gè)關(guān)于棋盤的其妙故事呢！

情境“國(guó)王賞麥的故事” （具體故事情節(jié)此處略）

從古至今流傳著許多關(guān)于數(shù)學(xué)的奇妙故事，今天我們就看一則關(guān)于印度國(guó)王舍罕和他大臣的獎(jiǎng)賞故事……最終國(guó)王無(wú)法兌現(xiàn)自己的獎(jiǎng)勵(lì)承諾。

設(shè)計(jì)意圖：在“最近發(fā)展區(qū)”理念的引導(dǎo)下，通過(guò)創(chuàng)設(shè)流傳廣泛的數(shù)學(xué)小故事，激發(fā)學(xué)生積極思考的欲望，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)及類比的思維方法，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)世界的奇妙，驅(qū)動(dòng)學(xué)生探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的原動(dòng)力。同時(shí)，通過(guò)情境創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”“生活處處有學(xué)問(wèn)”的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生從生活情境中歸納推理出數(shù)學(xué)模型的能力，以及對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)分析的能力。

師：1+2+22+…+263等于多少？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生感受等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，揭示研究的必要性。問(wèn)題拋出后，給學(xué)生時(shí)間探索，集思廣益。學(xué)生可能會(huì)談到逐項(xiàng)相加、歸納猜想、類比等差數(shù)列的簡(jiǎn)便算法。

師：這是一個(gè)“和”的問(wèn)題，從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)起，這并不是一個(gè)陌生的問(wèn)題。那同學(xué)們打算怎么求呢？

師：很好，逐項(xiàng)相加確實(shí)是一種方法，但是缺點(diǎn)是項(xiàng)數(shù)多時(shí)，理論上可以操作，但是實(shí)際操作計(jì)算量太大！再想想還有沒(méi)有其他辦法？

師：嗯，這位同學(xué)說(shuō)得很好，它的前n項(xiàng)和應(yīng)該也是一個(gè)數(shù)列，我們可以從少到多、由特殊到一般，對(duì)結(jié)果歸納（歸納）！大家試試看.

師：很好！我們剛從特殊到一般，從n=1，n=2，n=3，n=4的結(jié)果歸納出了首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和。歸納猜想是創(chuàng)新能力的一部分，但是歸納猜想的結(jié)果仍然有局限，一是如果改成公比為3，4，5呢？二是結(jié)果可靠嗎？

師：很好，確實(shí)，歸納猜想只能提供問(wèn)題解決的方向，并不能真正證明。數(shù)學(xué)上的思想方法除了歸納猜想，還可以類比，我們之前學(xué)習(xí)等比數(shù)列，概念和性質(zhì)都可以類比等差數(shù)列，那么等差數(shù)列求和公式的是如何推導(dǎo)的？

設(shè)計(jì)意圖：突出等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)的本質(zhì)，揭示它的數(shù)學(xué)內(nèi)涵——利用等差數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)化成了相等的n項(xiàng)的和，整體消項(xiàng)，構(gòu)造方程組，成功消去中間含有省略號(hào)的部分，達(dá)到了化“未知項(xiàng)”為“已知項(xiàng)”，達(dá)到了“整體消項(xiàng)”的目的，利用了“方程”的思想。公式將許多不定項(xiàng)的和變成了確定項(xiàng)的乘積，化多項(xiàng)的加法為等差數(shù)列的平均數(shù)和項(xiàng)數(shù)地乘法，項(xiàng)數(shù)變少了，運(yùn)算次數(shù)變少了，方便了運(yùn)算，乘法的意義也正在于此，為等比數(shù)列的求和類比等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)做好充分的鋪墊。

生： 倒序求和Sn=a1+a2+a3+…+an

Sn=an+an-1+an-2+…a1

師：為什么能用倒序求和呢？

生：等差的性質(zhì)a1+an=a2+an-1=…an+a1，每一組都是相等的。

師：這就成功處理了帶省略號(hào)的部分，化成了相等的n項(xiàng)的和，達(dá)到了化“未知項(xiàng)”為“已知項(xiàng)”，達(dá)到了“整體消項(xiàng)”的目的，利用了方程的思想。公式將許多不定項(xiàng)的和變成了確定項(xiàng)的乘積，化多項(xiàng)的加法為等差數(shù)列的平均數(shù)和項(xiàng)數(shù)地乘法，項(xiàng)數(shù)變少了，運(yùn)算次數(shù)變少了。方便了運(yùn)算，乘法的意義也正在于此。等比數(shù)列能否類比等差數(shù)列呢？

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生借助等比數(shù)列中的每一項(xiàng)乘公比2都等于后一項(xiàng)，構(gòu)造了相同項(xiàng)，兩個(gè)方程作差成功地處理中間省略號(hào)的那一部分項(xiàng)，輕松地達(dá)到“消項(xiàng)”，化“未知項(xiàng)”為“已知項(xiàng)”。

生：Sn=1+2+22+…2n-1

Sn=2n-1+2n-2+…+2+1

生：不是定值Sn=1+2+22+…2n-1

Sn=2+22+…2n-1+2n

師：很好，通過(guò)Sn=1+2+22+…2n-1乘2產(chǎn)生另一個(gè)方程，借助等比數(shù)列中的每一項(xiàng)乘公比2都等于后一項(xiàng)，構(gòu)造了相同項(xiàng)，兩個(gè)方程作差成功地處理中間省略號(hào)的那一部分項(xiàng)，輕松地達(dá)到“消項(xiàng)”，化“未知項(xiàng)”為“已知項(xiàng)”。為了形象直觀地看出其中的規(guī)律，我們可以將兩個(gè)式子的右邊錯(cuò)開一位排列，這樣就會(huì)使兩個(gè)等式的同類項(xiàng)（相同項(xiàng)）在一列上，在進(jìn)行錯(cuò)位相減時(shí)就可以很容易地觀察到其差。同學(xué)們能否給它起一個(gè)名字呢？

師：很好，錯(cuò)位相減法可是18世紀(jì)瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉在《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中采用的.

師：那如果一般化呢？若將公比變?yōu)閝，項(xiàng)數(shù)變?yōu)閚，你覺得1+q+q2+…qn-1的結(jié)果是？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}再次數(shù)學(xué)化，通過(guò)拼圖移格子，更加形象直觀地理解錯(cuò)位相減，前面少一格，后面多一格。

師：大家覺得對(duì)嗎？

師：若將首項(xiàng)改為a1，你能計(jì)算出Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1的結(jié)果嗎？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}6、7是將具體數(shù)字變成字母，又由一個(gè)字母變成兩個(gè)字母的過(guò)程，是一般化、再一般化的過(guò)程。體現(xiàn)了探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的由具體到一般，再到更一般的過(guò)程。

師：那么等比數(shù)列求和公式是什么？

師：我們可以將這兩種情況寫成什么樣的形式？

師：同學(xué)們也能自己得出呢，真不錯(cuò)！其他小組有沒(méi)有需要補(bǔ)充的或存在疑惑的？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生從兩個(gè)角度對(duì)公式進(jìn)行推導(dǎo)，既體會(huì)了錯(cuò)位相減、整體消元的數(shù)學(xué)分析方法，讓學(xué)生體會(huì)再產(chǎn)生一個(gè)式子是為了化“繁”為“簡(jiǎn)”，達(dá)到消省略號(hào)的目的，當(dāng)然是消去的項(xiàng)越多越好，所以還是乘以q是比較好。二是對(duì)q≠1這個(gè)條件。

師：大家覺得行嗎？還可以乘以什么？

師：很好，錯(cuò)位相減的目的是消掉很多中間項(xiàng)。既然再產(chǎn)生一個(gè)式子是為了化“繁”為“簡(jiǎn)”，達(dá)到消省略號(hào)的目的，當(dāng)然是消去的項(xiàng)越多越好，所以還是乘以q比較好。當(dāng)然同學(xué)們還可以嘗試其他的推導(dǎo)方法，將各自的推導(dǎo)過(guò)程展示在班級(jí)學(xué)習(xí)園地，共享探究。

師：我們?cè)谏蠋坠?jié)課學(xué)習(xí)了兩種形式的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，其中一種是用首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)來(lái)表示出公式的意義，那么同樣能夠利用這些要素（a1，q，an等）表示出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式嗎？

設(shè)計(jì)意圖：類比等差數(shù)列的求和公式的兩種表示，讓學(xué)生感知等比數(shù)列的通項(xiàng)公式兩種表示，并說(shuō)明每個(gè)字母的函數(shù)。

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推出求和公式的第二種形式：當(dāng)q≠1時(shí)， S=

師：我們一起來(lái)總結(jié)上述公式的特征：（1）等比數(shù)列求和時(shí)，應(yīng)考慮q=1與q≠1兩種情況。（2）當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式，分別都涉及4個(gè)量，4個(gè)量中“知三求一”。（3）等比數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合前n項(xiàng)和公式涉及5個(gè)量a，q，n，a，S5個(gè)量中“知三求二”（方程思想）。

師：我們推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，那么我們就要對(duì)它加以運(yùn)用，繼續(xù)回到課前的一個(gè)等比數(shù)列中來(lái)。

課堂小結(jié)

問(wèn)題：本節(jié)課你有哪些收獲、體驗(yàn)和感悟？

師生互動(dòng)，教師總結(jié)如下：本節(jié)課是求“和”，在求“和”時(shí)方法的選擇很重要，對(duì)求和要選擇合適的算法，才能使得運(yùn)算能力有提高。

設(shè)計(jì)意圖：適當(dāng)小結(jié)，在小故事上結(jié)束這堂課，首尾呼應(yīng)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，讓學(xué)生清楚會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的重要性。

課后反思與感悟

本文從大單元“和”的視角出發(fā)，以宏觀的角度凸顯了數(shù)學(xué)“大單元”的思想，“和”是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)運(yùn)算。本節(jié)課通過(guò)大單元設(shè)計(jì)改變了“和”的碎片化教學(xué)，實(shí)現(xiàn)了原有知識(shí)和現(xiàn)有知識(shí)的對(duì)接。本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的載體為問(wèn)題情境，其核心是以激發(fā)學(xué)生的思維為主導(dǎo)，從而進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，最終獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。