借助整體思想，促進(jìn)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)

崔娟 王彪彪

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題訓(xùn)練環(huán)節(jié)不容忽視，是鍛煉學(xué)生解題能力的重要途徑，關(guān)系到學(xué)以致用能力的發(fā)展，不過(guò)有的題目比較特殊，僅依靠常規(guī)方法很難求解，教師可指導(dǎo)他們借助整體思想，使其形成簡(jiǎn)便的解題思路，促進(jìn)解題教學(xué)質(zhì)量的提高.筆者據(jù)此展開(kāi)探討，并列舉部分解題案例.

【關(guān)鍵詞】整體思想；初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)

整體思想，就是從問(wèn)題整體角度出發(fā)，分析與改造問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)，找到問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，將題目中的一些式子或者圖形視為一個(gè)整體，把握好彼此之間的聯(lián)系，繼而展開(kāi)有意識(shí)、有目的的整體處理.

1? 借助整體代入法解決數(shù)學(xué)題目

整體代入即在解題中，學(xué)生結(jié)合題目條件和結(jié)論先選擇一個(gè)代數(shù)式作為整體，再對(duì)所求式子展開(kāi)化簡(jiǎn)或變形，最后將代數(shù)式整體代入到原式中，從而達(dá)到順暢解題的目的.在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，整體代入法通常用來(lái)處理代數(shù)式化簡(jiǎn)或者求值類試題，當(dāng)碰見(jiàn)此類數(shù)學(xué)試題時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助整體代入法對(duì)先整合題目中的式子，再代入與求值，逐步提高他們的解決數(shù)學(xué)試題水平［1］.

例1? 假如a=4+3，b=4－3，請(qǐng)求aa－ab－ba+b的值.

分析? 解決本道題目時(shí)，如果直接將a、b的值代入到原式中求解，計(jì)算起算相當(dāng)繁瑣，但是能夠?qū)、b兩個(gè)式字進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)，再整體代入到原式中求解，產(chǎn)生化繁為簡(jiǎn)的效果.

詳解? 因?yàn)閍=4+3，b=4－3，

所以a+b=8，a－b=23，

則原式aa－ab－ba+b

=（a）2a（a－b）－ba+b

=aa－b－ba+b

=a（a+b）－b（a－b）（a－b）（a+b）

=a+ba－b=823=433，

所以aa－ab－ba+b的值是433.

2? 借助整體設(shè)元法解決數(shù)學(xué)題目

助整體設(shè)元法來(lái)處理部分題目，結(jié)合算式特點(diǎn)展開(kāi)整體設(shè)元，通過(guò)新的量將題干中的原式或者原式的一部分來(lái)替代，巧妙進(jìn)行等量代換，實(shí)現(xiàn)減少運(yùn)用量的效果，讓他們學(xué)會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

例2? 已知a1，a2，a3……a2009都為正數(shù)，

設(shè)M=（a1+a2+a3+…+a2008）×（a2+a3+a4…+a2009），

N=（a1+a2+a3+…+a2009）×（a2+a3+a4…+a2008），

請(qǐng)問(wèn)M和N誰(shuí)大？

分析? 在這一題目中，很難直接對(duì)M和N的大小關(guān)系進(jìn)行比較，但是通過(guò)閱讀題目?jī)?nèi)容以后發(fā)現(xiàn)M和N式子的每個(gè)括號(hào)中均含有一樣的項(xiàng)，可借助整體思想解題，采用整體設(shè)元的方法來(lái)求解.

詳解? 設(shè)a1+a2+a3…+a2008=x，a2+a3+a4…+a2008=y，

所以a－y=a1>0，

M－N=x（y+a2009）－（x+a2009）y

=xy+xa2009－xy－ya2009

=a2009（x－y）>0

所以M>N，即為M比N大.

3? 借助整體合并法解決數(shù)學(xué)題目

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，代數(shù)類題可將一些代數(shù)式、方程式或者不等式展開(kāi)合并，合并之后通常往往能夠進(jìn)行湊整或者消元，這一整體思想即為常見(jiàn)的整體合并.初中數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況借助整體合并的方法解決部分含有代數(shù)式、方程式、不等式或者的題目，使其結(jié)合解題需要合理就那些整體處理，把問(wèn)題變得更為簡(jiǎn)潔，讓他們順暢的解題［2］.

例3? 已知a，b，c都為常數(shù)，x，y是任意實(shí)數(shù)，A=（a－b）x+（b－c）y+（c－a），B=（b－c）x+（c－a）y+（a－b），C=（c－a）x+（a－b）y+（b－c）C，證明：A，B，C既不能均為正數(shù)，也不能均為負(fù)數(shù).

分析? 解決本題時(shí)，如果采用常規(guī)方法要用到分類討論思想，對(duì)a，b，c這三個(gè)常數(shù)的正負(fù)情境進(jìn)行分類討論，但是x，y是任意實(shí)數(shù)，并非固定數(shù)，顯得難度更大，不翻譯繼而采用整體合并法進(jìn)行解題，將A，B，C這三個(gè)式子進(jìn)展開(kāi)整體合并，就能夠輕松證明結(jié)論.

詳解? 根據(jù)題意A+B+C化簡(jiǎn)后可得

ax－bx+by－cy+c－a+bx－cx+cy－ay+a－b+cx－ax+ay－by+b－c=0

隨后采用反證法，如果結(jié)論不成立，即為A，B，C同號(hào)，

假如均為正數(shù)，則A+B+C>0，假如均為負(fù)數(shù)，則A+B+C<0，

均與已知條件存在沖突，所以A，B，C既不能均為正數(shù)，也不能均為負(fù)數(shù).

4? 借助整體配湊法解決數(shù)學(xué)題目

整體思想中“配湊”就是采用適當(dāng)?shù)摹捌础被蛘摺皽悺钡姆椒ǎ言囶}變得清晰明了，降低題目的解題難題，一般來(lái)說(shuō)，“配”和“湊”是互為補(bǔ)充、相互依托和相輔相成的，通過(guò)配湊通?？蛇_(dá)到事半功倍的解題效果.

例4? 已知a+2b+3c=12，a2+b2+c2=ab+bc+ac，請(qǐng)求a+b2+c2的值.

分析? 要想求出該式子值，就需把a(bǔ)，b，c的值給求出來(lái)，但是采用常規(guī)方法很難實(shí)現(xiàn)，通過(guò)對(duì)第二個(gè)等式的研究發(fā)現(xiàn)能夠利用整體配湊法，找出a，b，c的關(guān)系，再借助第一個(gè)等式就能夠求出a，b，c的值.

詳解? 因?yàn)閍2+b2+c2=ab+bc+ac，

所以2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ac=0，

整理后得到（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=0，

所以（a－b）=c，

將（a－b）=c代入到a+2b+3c=12，

可得a=b=c=2，

所以a+b2+c2=2+4+4=10，

即為a+b2+c2的值是10.

5? 借助整體補(bǔ)形法解決數(shù)學(xué)題目

對(duì)于初中數(shù)學(xué)幾何解題訓(xùn)練來(lái)說(shuō)，因?yàn)樵囶}中通常會(huì)搭配圖形，解決此類試題的關(guān)鍵點(diǎn)就是將一些非特殊或不規(guī)則的圖形視作一個(gè)整體，再添加相應(yīng)的輔助線補(bǔ)充成整體圖像，顯得特殊化或規(guī)則化，以此有效降低題目的解答難度，部分隱性條件也變得顯性化，有助于學(xué)生迅速確定切入點(diǎn)，促使他們能夠借助整體補(bǔ)形法完成題目解答［3］.

例5? 如圖1所示，在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BM為中線，過(guò)頂點(diǎn)A作BM的垂線AD同BC相交于點(diǎn)D，同BM相交于點(diǎn)E，證明：∠AMB=∠DMC.

詳解? 將三角形ABC補(bǔ)成一個(gè)以BC為對(duì)角線的正方形ABGC，

延長(zhǎng)AD同CG相交于點(diǎn)F，

因?yàn)樵谌切蜛BC中∠BAC=90°，

所以∠ABM+∠AMB=90°.

因?yàn)锳E⊥BM，所以∠EAM+∠AMB=90°，

所以∠ABM=∠EAM，

又因?yàn)锳B=AC，

所以RtΔABM≌RtΔCAF，

所以FC=AM=MG.

因?yàn)辄c(diǎn)F與點(diǎn)M關(guān)于BC對(duì)稱，

所以∠DFC=∠DMC

又因?yàn)镽tΔABM≌RtΔCAF

所以∠AMB=∠DFC，所以∠AMB=∠DMC.

6? 總結(jié)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師既要關(guān)注基本理論知識(shí)與常規(guī)運(yùn)算技巧的講授，還需注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，為學(xué)生在解題中更好的應(yīng)用數(shù)學(xué)思想做鋪墊，使其根據(jù)具體題目?jī)?nèi)容充分借助整體思想的優(yōu)勢(shì)展開(kāi)解題，讓他們找到簡(jiǎn)潔的解題方法，不斷提升個(gè)人數(shù)學(xué)解題水平.

參考文獻(xiàn)：

［1］魏爽.整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用［J］.數(shù)理天地（初中版），2022（17）：87-88.

［2］沈小軍.整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用［J］.語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2020（12）：19-20.

［3］姜華文.淺談?wù)w思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（11）：63-64.