讓“量感”在數(shù)學(xué)探究中自然生長

于勇

［摘要］ 作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在小學(xué)階段的主要表現(xiàn)之一，“量感”可謂“看不見、摸不著”，加之度量知識相對分散、割裂，難以引起教師的廣泛關(guān)注與關(guān)聯(lián)研究，成了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的盲點。以“度量單位”起始課教學(xué)為例，通過在表象建構(gòu)的“浪漫經(jīng)歷”中培育量感、在深度體驗的“遞進估測”中發(fā)展量感、在推理比較的“以小見大”中衍生量感、在延續(xù)實踐的“具象操作”中拓展量感，有效培養(yǎng)學(xué)生的定量思維。

［關(guān)鍵詞］ 量感；度量單位；數(shù)學(xué)探究；案例分析

所謂量感，主要是指對事物的可測量屬性及大小關(guān)系的直觀感知，建立量感有助于學(xué)生養(yǎng)成用“定量”的方法審視和解決問題的習(xí)慣，是形成抽象能力和應(yīng)用意識的經(jīng)驗基礎(chǔ)。史寧中教授指出，度量是人類創(chuàng)造出來的一種數(shù)學(xué)語言，是人們認識、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)和觀察、分析、表達現(xiàn)實世界的工具，它包含度量需要、度量工具、度量單位、度量方法、度量結(jié)果等基本要素。度量單位是度量教學(xué)的核心內(nèi)容，是學(xué)生量感建立與生長的重要載體，關(guān)聯(lián)并有效建立學(xué)生量感、形成定量思維的意識與品質(zhì)是度量單位教學(xué)的首要任務(wù)。培育學(xué)生的量感是“以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向”的數(shù)學(xué)課程目標的重要組成部分。因此，在“度量單位”起始課教學(xué)過程中，嘗試引領(lǐng)學(xué)生開展有效的表象建構(gòu)、深度體驗、推理比較、實踐操作等相關(guān)探究活動，以促進學(xué)生量感的形成和發(fā)展，為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的培育與提升帶來新的增長點。

一、表象建構(gòu)：在“浪漫經(jīng)歷”中培育量感

英國著名數(shù)學(xué)家懷特海在《教育的目的》中指出：“‘浪漫階段是個人認識事物與領(lǐng)悟的起始階段，如果這一階段認知不完整、體悟不充分、積累不豐富，將為精致化學(xué)習(xí)帶來嚴重障礙和影響?！痹诮虒W(xué)“度量單位”時，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生參與估測、驗證、比劃、想象等多種活動，讓學(xué)生調(diào)動多種感官，經(jīng)歷度量單位表象建構(gòu)的整個過程，變教師“搬運”為學(xué)生親歷，同時把度量單位與他們熟悉的事物關(guān)聯(lián)起來，讓他們充分感知度量單位的大小、長短、輕重等基本量態(tài)及累加過程，有效培育學(xué)生正確的量感。度量單位大多是一些起始概念，其認識、建構(gòu)與內(nèi)化等相關(guān)教學(xué)需要步步踩實、扎實推進，而不能匆匆?guī)н^。

比如，“毫米的認識”一課教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“四步”慢走建構(gòu)“毫米”表象，再由表及里培育量感的過程。一是放手讓學(xué)生試畫1毫米，激活表象。教師引導(dǎo)學(xué)生在已經(jīng)畫好的1厘米線段圖上，畫出自己認為的1毫米的長度，并引導(dǎo)學(xué)生說一說這樣畫的理由，從而激活學(xué)生個人度量認知中與1毫米有關(guān)的生活經(jīng)驗，初步感知1毫米是比1厘米小的長度單位。二是在刻度尺上尋找1毫米，建立表象。教師引導(dǎo)學(xué)生借助刻度尺上標準的1毫米長度，與自己畫出的1毫米相比較，修正自己經(jīng)驗里的1毫米，再引導(dǎo)學(xué)生在刻度尺上尋找更多的1毫米，得知3小格就是3毫米，5小格就是5毫米，進而讓學(xué)生真正獲得對1毫米或幾毫米長度的正確感知。三是在學(xué)具中尋找1毫米，豐富表象。教師引導(dǎo)學(xué)生在自己熟悉的實物中尋找跟1毫米接近的物體，這需要學(xué)生將實物的寬度、厚度與自己剛建立起來的毫米表象兩相對照，做出正確的選擇。同時，教師要求學(xué)生用尺子驗證一下自己的發(fā)現(xiàn)，進一步修正自己建立起來的1毫米表象。然后，教師把1元硬幣放在拇指與食指之間，手指不動，抽出硬幣，讓學(xué)生觀察拇指與食指間留下的細縫，由此深刻了解1毫米的實際長度。以此為參照，教師慢慢累加至10枚硬幣，引導(dǎo)學(xué)生觀察它們分別是幾毫米，獲得幾毫米的相關(guān)長度觀念，并與1厘米勾連在一起。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生撇開實物，嘗試比劃幾毫米，由同桌輔助測量、驗證比劃是否準確，直至伸手比劃的長度接近準確值為止。這是將量感浸潤在現(xiàn)實生活中去培養(yǎng)，也是對剛剛建立的量感的擴充與應(yīng)用。四是想象“1毫米或幾毫米有多長”，內(nèi)化表象。教師引導(dǎo)學(xué)生閉上眼睛想一想1毫米或幾毫米的長度，將其植入個人認知體系中，完成對1毫米或幾毫米表象的內(nèi)化。此時的1毫米、幾毫米，就好比長在了學(xué)生手上，拿出來就可以使用。

基于度量單位表象的建構(gòu)，促使學(xué)生量感的形成與生長，這是度量單位教學(xué)的價值取向與關(guān)鍵所在。正因為如此，學(xué)生的探究、認知過程一般是比較慢的，慢在對學(xué)生認知規(guī)律的遵循，慢在對認知過程的延展，慢在組織學(xué)生參與不同層次的建構(gòu)與經(jīng)歷活動。學(xué)生在經(jīng)歷“試畫—尋找—驗證—想象”等長線過程中，自主獲得生動形象的感性認知，從理解概念內(nèi)涵逐步拓展到認知概念外延，有效培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)“量感”與“空間觀念”。

二、深度體驗：在“遞進估測”中發(fā)展量感

每一類度量單位適用的情境與屬性不同，教學(xué)側(cè)重點自然有差異。長度單位、面積單位、體積單位等可直觀“看”到，依托豐富的素材培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的量感是其重點所在；克、千克等質(zhì)量單位可以通過“掂”獲得體感，側(cè)重于在“做”的活動中體驗。時間的度量單位不像長度、體積（容積）、面積單位具有可視性、外顯性，故而時間單位的感知側(cè)重于學(xué)生的內(nèi)在感覺，只有將之科學(xué)合理地與某些活動建立起關(guān)聯(lián)，以另外一種意義上的新標準為支架進行“度量”并由此變得可感知、可操作，引導(dǎo)學(xué)生充分鍛煉數(shù)學(xué)思維，才能在深度體驗替代性活動中培育時間量感，助力學(xué)生實現(xiàn)由“生活量感”向“數(shù)學(xué)量感”的轉(zhuǎn)變。

“分鐘的認識”課堂上，教師可引導(dǎo)學(xué)生參與不同的替代性體驗活動，利用數(shù)一數(shù)、做一做及遞進估測等多種活動發(fā)展學(xué)生的時間量感，這樣學(xué)生心中慢慢就會有“一桿時間秤”。

1.數(shù)一數(shù)1分鐘

師：請小朋友伸出左手，然后把右手食指和中指壓在左手腕的脈搏上（教師示范），你們感覺到了什么？

生：一下一下在跳動。

師：這是我們的脈搏在跳動，你們感覺到了嗎？下面就讓我們一邊聽1分鐘長的滴答聲，一邊數(shù)一數(shù)自己脈搏跳動的次數(shù)，一起感受1分鐘到底有多長。等滴答聲響起，你們就開始數(shù)數(shù)。

師：聽過1分鐘的滴答聲，你有怎樣的感受？

生1：1分鐘時間比較短，很快就過去了。

生2：1分鐘比課間的10分鐘短很多，滴答聲一會兒就結(jié)束了。

師：1分鐘之內(nèi)，你的脈搏跳動了多少下？

生1：我的脈搏1分鐘大約跳動了73下，比滴答聲快一些。

生2：我的脈搏1分鐘大約跳動了84下，確實是比滴答聲快一些。

2.做一做1分鐘

師：剛才，所有小朋友數(shù)脈搏都非常用心，個人感受也較為深刻。下面，就從做口算、抄寫漢字中選擇一項你喜歡的活動，一邊聽1分鐘的音樂，一邊口算或?qū)懽?，看一?分鐘能做多少道口算題或?qū)懚嗌賯€漢字。音樂響起馬上開始，音樂停止你也停止活動。下面就拿出口算紙或抄寫紙，做好準備。

師：開始，……停！數(shù)一數(shù)，你做了多少道口算題？或抄寫了多少個漢字？

生1：我1分鐘抄寫了25個漢字。

生2：我1分鐘做了31道口算題。

生3：我寫得快一點，1分鐘抄寫了34個漢字，今后我要寫得慢一點，把每一個漢字都寫得工整漂亮。

師：1分鐘時間雖然不長，但還是可以做很多事情的。鉛筆廠1分鐘可以生產(chǎn)600多支鉛筆，銀行職員1分鐘能數(shù)出300多張人民幣，央視播音員1分鐘可以播報800個字。因此，我們要珍惜生命中的每一分、每一秒。

3.估一估1分鐘

師：我們再來玩?zhèn)€游戲，請小朋友們閉上眼睛，用自己的辦法估計感受1分鐘，你覺得時間到了就請站起來。然后與老師播放的1分鐘倒計時比較，看一看哪些同學(xué)的估計最接近1分鐘。開始（老師播放1分鐘無聲時間計時條）。

師：你是怎樣估計1分鐘的？你估計的時間與1分鐘相比是多了，還是少了？

生1：我數(shù)脈搏跳動的次數(shù)，數(shù)到74下的時候，我感覺1分鐘到了，果然非常接近1分鐘。

生2：我用數(shù)數(shù)的方法估計1分鐘，我數(shù)到67的時候，感覺1分鐘到了，速度快了一些，估計的時間還不到1分鐘。

師：在估測的過程中，難免存在誤差，只要接近

1分鐘，就是好樣的?，F(xiàn)在，我們用修正后的方法再來估一估1分鐘?！?/p>

4.估一估幾分鐘

師：我們不僅要正確估計1分鐘時間的長短，還要學(xué)會估計幾分鐘。請小朋友聽一聽我們學(xué)校的校歌旋律，估計一下，從音樂響起到結(jié)束大約幾分鐘？……

在這樣的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)脈搏、做口算題、寫漢字、估一估等多種活動，充分體驗1分鐘時間的長短，在間接感知、修正方法及體驗積累過程中建立起正確的1分鐘量感，促使學(xué)生將原本模糊不清的生活量感變成可數(shù)、可做的具體事物的多少。然后，運用剛剛建立起來的時間量感，去估測學(xué)校校歌旋律的播放時間，從一個單位延伸至幾個單位，估測的結(jié)果越來越準確，學(xué)生的量感也得到了發(fā)展。這是對量感的內(nèi)化、植入、提升與沉淀，為后面學(xué)習(xí)更大時間單位積累了豐富厚實的感知經(jīng)驗與活動經(jīng)驗。

三、推理比較：在“以小見大”中衍生量感

“體感”是人作為生物體的一種初級體驗，體現(xiàn)在量感上就是借助身體器官對量的直接體驗與感知，并由此而形成數(shù)學(xué)判斷。但是，并非所有的量感都能夠直接進行體驗。比如，質(zhì)量單位中的噸，面積單位中的公頃、平方千米等較大度量單位的教學(xué)，不可能像千克那樣讓學(xué)生動手掂一掂、稱一稱來獲得體感，也不可能像平方厘米、平方分米那樣讓學(xué)生通過量一量、剪一剪、撕一撕來直觀感知或者用手勢比劃其大小。

在“平方千米的認識”教學(xué)中，教師可以借助學(xué)生已認識的平方米、公頃等度量單位，從選擇學(xué)生熟悉的實物開始，在數(shù)學(xué)運算、合情推理與倍比過程中衍生出大度量單位的意義，并培育學(xué)生的量感。

師：剛才，我們借助“1公頃”這一度量單位初步感受到1平方千米的大小，下面讓我們利用算一算的方法，進一步感受1平方千米的大小。一個標準籃球場長28米，寬15米，它的面積是多少平方米？

生：它的面積是28×15=420（平方米）。

師：請同學(xué)們算一算，1平方千米大約相當于多少個這樣的籃球場那么大？

生：1000000÷420≈2381（個）

師：想象一下，2381個籃球場合在一起有多大？我們的學(xué)校夠大了吧，這樣大的校園占地面積約是50000平方米，請同學(xué)們繼續(xù)推算一下，1平方千米大約相當于多少個這樣的校園那么大？

生：1000000÷50000=20（個）

師：剛才，用我們的校園或籃球場的占地面積與

1平方千米相比較，你有什么感受？

生1：1平方千米真是太大了。

生2：我知道蘇州拙政園全園占地面積大約是52000平方米，我感覺已經(jīng)很大了?？墒俏彝ㄟ^計算發(fā)現(xiàn)，1平方千米大約相當于19個拙政園那么大。

師：如果1平方米可站17人，那么1平方千米可以站下多少人？

生：可以站下1000000×17= 17000000（人）。

師：17000000人比上海市2021年初戶籍人口還要多。1平方千米可以站得下上海市所有戶籍人口，

1平方千米可真是太大了。我們江蘇省的陸地面積約是107200平方千米，僅占中國土地總面積的1.12%，你能想象得出江蘇省有多大嗎？

在這樣的探究學(xué)習(xí)中，教師引領(lǐng)學(xué)生憑借已有知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，把量感培育融入計算、類比、倍比與累加等合情推理中，借助小量的面積去感知大量的面積，積極參與一輪又一輪的數(shù)學(xué)思維活動，促進量感、數(shù)感的真正建立與有效內(nèi)化，為核心素養(yǎng)培育與提升打下堅實的數(shù)學(xué)思維及推演活動基礎(chǔ)，同時也將量感拓展到了現(xiàn)實生活之中。

四、延續(xù)實踐：在“具象操作”中拓展量感

學(xué)生往往最能理解自己親身參與、動手實踐過的東西。量感的建立是一個引領(lǐng)學(xué)生基于實踐、依托實踐又必須超越實踐的認知過程，最終指向?qū)Χ攘繂挝淮笮〉闹庇X及空間想象。在“度量單位”的教學(xué)中，有些教師越俎代庖，必不可少的實踐操作往往因時間與空間限制被教師講解所替代，然而動手做過、用腳走過，遠比用眼看過、用耳聽過更利于學(xué)生對知識的理解和量感的培育。

如對“升”和“毫升”的認識，在課前生活感知與課中實驗操作的基礎(chǔ)上，課后進一步設(shè)計實踐活動，引導(dǎo)學(xué)生選擇家中一個合適的容器并想辦法測量它的容積。很多學(xué)生在測量的過程中沒有現(xiàn)成的量杯，于是他們把土豆切割出棱長1厘米、2厘米等不同規(guī)格的小正方體，并借助這些小正方體運用“注水求差”“測量計算”“標記刻度”等基本方法，求得透明塑料瓶、玻璃杯等較小容器的容積，然后將其作為量杯，最終測量出所選容器的容積。學(xué)生數(shù)次獨立、專注的測量操作的過程，不僅發(fā)展了自身的數(shù)學(xué)量感和空間觀念，感悟到“量就是度量單位的累加”這一度量本質(zhì)，更積累了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，增強了數(shù)學(xué)實踐及應(yīng)用意識。

再如“千米的認識”一課，教師可以安排學(xué)生親身參與“走一走”“算一算”的實踐體驗活動。課前，要求學(xué)生在操場100米的跑道上走一走，數(shù)一數(shù)走了多少步，并由此推算出走1千米大約需要多少步。課后，讓學(xué)生與家長一起實地走一走、算一算，看一看從校門口出發(fā)走到哪里的長度大約是1千米，并將自己走1千米的步數(shù)與家長走1千米的步數(shù)相對照。如此，學(xué)生基于深度思考化“步”為度量單位，對1千米的實際長度有了整體感知。利用周末等閑暇時間，組織學(xué)生在公園、廣場等地方再走幾次1千米，由此累加成幾千米，進一步豐富學(xué)生對1千米的量感體驗，使得他們對1千米實際長度的感知逐步趨近精確，能夠?qū)Α拔倚４箝T口前面的勝信路大約有幾千米”“從學(xué)校大門口向北出發(fā)，沿著中山南路步行5千米，能夠走到哪”等生活實際問題形成敏銳的數(shù)學(xué)認知。

總之，在“度量單位”教學(xué)過程中，教師要基于其內(nèi)在屬性明確教學(xué)側(cè)重點和具體策略，科學(xué)有效地引領(lǐng)學(xué)生通過一次次感知、實踐與運用活動，促使“量感”在真實狀態(tài)下自然發(fā)生，建立、形成真正意義上的“量感”，進而學(xué)會從度量的角度觀察、分析、表達世界，自覺運用度量知識解釋生活中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實中的問題。

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