在高等代數(shù)課堂上培養(yǎng)本科生的科研思維*

唐黎明 穆強(qiáng)

（哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

一、本科生科研思維的培養(yǎng)

2018 年9 月，教育部發(fā)布的《教育部關(guān)于加快建設(shè)高水平本科教育全面提高人才培養(yǎng)能力的意見》指出，推動國家級、省部級科研基地向本科生開放，為本科生參與科研創(chuàng)造條件，推動學(xué)生早進(jìn)課題、早進(jìn)實(shí)驗(yàn)室、早進(jìn)團(tuán)隊(duì)，將最新科研成果及時(shí)轉(zhuǎn)化為教育教學(xué)內(nèi)容，以高水平科學(xué)研究支撐高質(zhì)量本科人才培養(yǎng)。鑒于國家對本科生參與科研重視的大背景，結(jié)合教學(xué)中對于本科生的培養(yǎng)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為在高等代數(shù)課堂上對本科生科研思維的引導(dǎo)和啟發(fā)是教學(xué)過程中的目標(biāo)之一，是高等代數(shù)課程的升華。對本科生科研思維的培養(yǎng)與滲透，不僅是為后續(xù)代數(shù)課程鋪墊基礎(chǔ)，而且也是本碩博一體化培養(yǎng)模式的基點(diǎn)。2022 年2 月召開的中央全面深化改革委員會第二十四次會議審議通過的《關(guān)于加強(qiáng)基礎(chǔ)學(xué)科人才培養(yǎng)的意見》，也強(qiáng)調(diào)實(shí)施基礎(chǔ)學(xué)科專業(yè)、課程、教材、實(shí)踐條件等專項(xiàng)建設(shè)行動。提出積極探索拔尖創(chuàng)新人才早期發(fā)現(xiàn)和選拔培養(yǎng)機(jī)制，加大強(qiáng)基計(jì)劃實(shí)施力度，支持實(shí)施本碩博一體化人才培養(yǎng)改革。這實(shí)際已經(jīng)表明培養(yǎng)科研人才需從小做起。本科生作為中學(xué)生和碩士生之間的過渡，對其科研思維的培養(yǎng)是國家政策的要求，也是本科教育環(huán)節(jié)中必不可少的措施。高等代數(shù)課程是師范大學(xué)與綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的主干課程，是后繼各門課程乃至數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用的基礎(chǔ)。高等代數(shù)以行列式、線性方程組以及矩陣等基本理論為基礎(chǔ)，繼而研究線性空間以及線性變換的基本理論，具有高度的抽象性、概括性以及普適性等特征，其完整的知識體系及其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，對于培養(yǎng)學(xué)生高度的概括能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰?、?zhǔn)確的表達(dá)能力以及透徹的理解能力，具有極為重要的意義。國內(nèi)外培養(yǎng)本科生科研思維方面的研究有很多，[1-6]本文著重從高等代數(shù)課堂角度，從本科生課堂開始，結(jié)合高等代數(shù)這門課程的特點(diǎn)，即：高等代數(shù)課堂大視野研究問題的角度、抽象的知識體系等，去探討在高等代數(shù)課堂上結(jié)合高等代數(shù)知識本身的特點(diǎn)，在授課中如何潛移默化地培養(yǎng)本科生的科研思維。本科生科研思維的培養(yǎng)是本碩博一體化培養(yǎng)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，是為高精尖數(shù)學(xué)人才培育幼苗，是本碩博一體化培養(yǎng)模式的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

二、高等代數(shù)課程的特點(diǎn)

高等代數(shù)作為師范院校或綜合類院校數(shù)學(xué)專業(yè)的主干課，其學(xué)科特點(diǎn)對于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力具有重要的作用，經(jīng)過多年的高等代數(shù)教學(xué)以及代數(shù)方向研究生的培養(yǎng)，總結(jié)出高等代數(shù)教學(xué)過程中，尤其是在課堂上去啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生的代數(shù)思維，應(yīng)該結(jié)合高等代數(shù)學(xué)科的以下特點(diǎn)：

第一，高等代數(shù)學(xué)科強(qiáng)調(diào)大視野地研究問題的本質(zhì)。普適性的基本理論及其獨(dú)特的數(shù)學(xué)思想方法是高等代數(shù)課程的主色調(diào)，例如，線性方程組理論旨在給出任意線性方程組有解的充分必要條件，判定線性方程組何時(shí)有解，以及在有解情況下解的構(gòu)成。主要思想是將線性方程組求解問題轉(zhuǎn)化為矩陣的變換問題，主要手段為矩陣的初等變換，主要核心概念為矩陣的秩。在教授與學(xué)習(xí)的實(shí)踐中，本質(zhì)為掌握線性方程組的基本理論及其求解思想方法的框架，而代數(shù)計(jì)算、矩陣技巧、實(shí)際應(yīng)用等，雖然是重要的，但不是這門課程的后續(xù)應(yīng)用課程的培養(yǎng)方向。

第二，高等代數(shù)主要通過化無限為有限、化具體的對象為抽象，宏觀地研究問題，基于公理化定義的邏輯推理是高等代數(shù)課程的主旋律。例如，向量空間的豐富理論完全是從它的公理化定義出發(fā)，通過邏輯推理建立起來的，其系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)體系就像一棵參天大樹，而向量空間的公理化定義就是這棵大樹的根基。盡管向量空間是通常具體的幾何空間推廣，人們可以類比幾何直觀去思考問題，但建立向量空間理論所依邏輯推理僅基于公理化定義而獨(dú)立于通常幾何空間。在教授與學(xué)習(xí)的實(shí)踐中，既要培養(yǎng)從客觀共性中抽象出普適性結(jié)論的能力，將具體問題放到更為一般的框架內(nèi)予以解決，也要培養(yǎng)在公理化體系內(nèi)進(jìn)行邏輯推理，再把抽象轉(zhuǎn)化為具體的靈活運(yùn)用能力。

第三，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰εc準(zhǔn)確的表達(dá)能力是學(xué)好高等代數(shù)課程的必備基礎(chǔ)，該方面能力在后續(xù)課程學(xué)習(xí)中應(yīng)仍得以繼續(xù)提升。在教授與學(xué)習(xí)的實(shí)踐中，對一個定理、命題或論斷，力求首先在大腦中達(dá)成證明思路框架，始終保持思路透明清晰，然后再寫出邏輯推理證明過程并予以推敲潤色，即所謂“先有想法，再做出來”。就像圍棋手談，招法步數(shù)已然成竹在胸，方能子落棋盤、行云流水、一氣呵成。讀高等代數(shù)書也要從厚到薄，學(xué)習(xí)之后知識體系在大腦中猶如一棵思維樹，對于重要的命題心中要有例子，表達(dá)時(shí)同時(shí)采用多種方式，如字母公式表達(dá)、純文字表達(dá)、圖示表達(dá)等，多方位理解知識，提升邏輯推理能力，并會加以應(yīng)用，以達(dá)到舉重若輕之目的。高等代數(shù)中無處不閃耀著經(jīng)典數(shù)學(xué)思想方法的光輝，如化歸、分類、歸納、類比等，在學(xué)習(xí)過程中尤其應(yīng)注意發(fā)現(xiàn)、提煉本質(zhì)并學(xué)會靈活應(yīng)用。

三、高等代數(shù)課堂上培養(yǎng)本科生科研思維

在實(shí)際教學(xué)中談及高等代數(shù)，學(xué)生初學(xué)后的感觸多為即使上課聽懂了，課下也不會做題，這也反映出了高等代數(shù)知識的高瞻性、抽象性。對于教師而言，高等代數(shù)概念紛雜，故在課堂講授中，教師應(yīng)呈現(xiàn)給學(xué)生一個脈絡(luò)圖，有主干、有枝葉，厘清各個知識點(diǎn)之間的脈絡(luò)關(guān)系、主次關(guān)系，及各章節(jié)之間的銜接關(guān)系，在此過程中引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，教會學(xué)生學(xué)會用代數(shù)思維思考問題，體會高等代數(shù)知識的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、普適性?；诟叩却鷶?shù)課程的特點(diǎn)，結(jié)合不同專業(yè)高等代數(shù)課程的培養(yǎng)方案和教學(xué)大綱，教師在授課過程中要注重從以下四個方面培養(yǎng)本科生的科研思維，體會高等代數(shù)知識體系的特點(diǎn)：

第一，從特殊到一般的推廣思想。高等代數(shù)中對于一個或兩個代數(shù)對象成立的命題，教師在授課過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生考慮是否可以推廣至自然數(shù)n 個代數(shù)對象情形。例如：兩個集合的交可推廣至多個集合的交；一元多項(xiàng)式可以推廣至多元多項(xiàng)式；二階行列式推廣至n 階行列式；兩個向量空間的直和可以推廣至多個向量空間的直和；兩個子空間的交可以推廣至多個子空間的交等。在課堂上可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會推廣的思想，在課后可以給學(xué)生留思考練習(xí)題或以本科畢業(yè)論文等方式，潛移默化地向?qū)W生灌輸推廣思想并引導(dǎo)其學(xué)會應(yīng)用。代數(shù)上推廣的思想是科研入門的起步，很多初入科研之門的課題也是從推廣開始的。

第二，從抽象到具體的簡化思想。高等代數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)集合、元素、子集后，對比著學(xué)習(xí)向量空間、向量、子空間等代數(shù)對象，教會學(xué)生學(xué)習(xí)一個代數(shù)系統(tǒng)后，學(xué)會總結(jié)和舉一反三，通過已知學(xué)習(xí)未知。學(xué)習(xí)一個新的代數(shù)對象，通過考慮它包含的對象及子系統(tǒng)進(jìn)行學(xué)習(xí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生從局部去看整體，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)抽象思維，為進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)復(fù)雜的代數(shù)對象做好鋪墊。一個向量空間中的無數(shù)個向量可以由基確定，尤其對于有限維向量空間，無數(shù)多個向量可以由有限個基向量確定，從而體現(xiàn)了從復(fù)雜到簡單、從無限到有限的思想。進(jìn)而，從n 維向量空間到Fn，從歐式空間到Rn，也體現(xiàn)了從抽象到具體、從具體再到抽象地考慮問題的思想方法。教師在教授學(xué)生學(xué)習(xí)抽象知識的同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會考慮問題的思想方法，整體復(fù)雜的可以從局部開始考慮；由于抽象的復(fù)雜，可以把抽象的對象與具體的對象建立聯(lián)系，代數(shù)上同構(gòu)的對象可以看做是一樣的，從而用具體的對象的性質(zhì)去反觀抽象的代數(shù)對象的性質(zhì)。在科研上，遇到復(fù)雜的問題時(shí)也需將其轉(zhuǎn)化，將與已知的具體的相聯(lián)系作為突破口，從而去解決復(fù)雜的問題。

第三，從對象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的歸納思想。向量空間是高等代數(shù)中的重要概念，其中的向量有無數(shù)多個，但是起決定性作用的是基，即通過任何向量可以唯一的由基向量線性表示，故研究基之間的性質(zhì)即可對整個向量空間中的向量的性質(zhì)進(jìn)行把握。體現(xiàn)了通過有限或可數(shù)研究無限的思想，從而發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的歸納思想。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)由復(fù)雜到簡單、由一般到抽象本質(zhì)的化歸思想。依據(jù)代數(shù)對象的等價(jià)關(guān)系可以將代數(shù)對象進(jìn)行分類，例如：矩陣的合同關(guān)系，矩陣的相似關(guān)系，二次型的等價(jià)關(guān)系，向量空間的同構(gòu)關(guān)系，向量組的等價(jià)關(guān)系等。利用以上可以把代數(shù)對象進(jìn)行分類，去研究每一類中的代表元素，從而起到把握整體的效果。把復(fù)雜無限轉(zhuǎn)化為簡單有限、抽其本質(zhì)的思考方法，是代數(shù)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要的思想方法。通過以上的學(xué)習(xí)，教師在授課過程中在傳授知識的同時(shí)，潛移默化地滲透給學(xué)生科學(xué)研究的本質(zhì)，使學(xué)生擁有代數(shù)思維，使思考問題的角度和方法更立體，從分類角度去歸納復(fù)雜的研究對象。

第四，從具體轉(zhuǎn)化為抽象的總結(jié)能力。通過解析幾何中具體的向量空間V2 與V3，對比學(xué)習(xí)的向量空間概念。教師在講授課程的同時(shí)，要教會學(xué)生具有由一般到抽象的總結(jié)能力。高等代數(shù)及近世代數(shù)是后續(xù)代數(shù)研究的基石，后續(xù)的研究生階段的李代數(shù)及李超代數(shù)、頂點(diǎn)算子代數(shù)等，都是高等代數(shù)課程的延伸，并有著一套自有的代數(shù)體系，若從本科生開始就注重學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)，對學(xué)生日后的學(xué)習(xí)必定有大大益處。教師要注重學(xué)生的能力培養(yǎng)，使學(xué)生把握住代數(shù)學(xué)習(xí)的整體感。學(xué)會把零散的、復(fù)雜的代數(shù)概念系統(tǒng)化，具備這樣的能力后，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中就能對知識的脈絡(luò)有清晰的掌握，也能在消化理解已學(xué)知識的同時(shí)，對未知知識的學(xué)習(xí)也有著掌控感。

要想讓學(xué)生掌握好高等代數(shù)，具備科研思維能力，就既要見“樹木”又要見“森林”，既要做“戰(zhàn)術(shù)家”又要做“戰(zhàn)略家”。在高等代數(shù)教學(xué)中，教師要著重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力與數(shù)學(xué)表達(dá)能力，嚴(yán)格要求、夯實(shí)基礎(chǔ)，方能在后繼學(xué)習(xí)乃至科研中閑庭信步，品味數(shù)學(xué)之美。教師在傳授知識的同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生全方位了解代數(shù)科研動態(tài)，激發(fā)學(xué)生科研興趣，在本科課堂上，也能使學(xué)生接觸到本方向研究的核心思想。

四、本科生科研思維培養(yǎng)的發(fā)展趨勢

憑借多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累，認(rèn)為應(yīng)避免從晦澀難懂的基礎(chǔ)知識學(xué)起，適當(dāng)調(diào)整講授內(nèi)容及方法，注重應(yīng)用性、引導(dǎo)性。目的在于讓學(xué)生們帶著目的以及問題學(xué)習(xí)，力求使他們對科研產(chǎn)生興趣，提前進(jìn)入學(xué)術(shù)研究狀態(tài)。教師要圍繞高等代數(shù)知識體系，合理安排教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)及科研興趣，并使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能夠更深一步地領(lǐng)會代數(shù)學(xué)的作用和意義，從而促進(jìn)對專業(yè)知識的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的科研思維能力。教師只要在授課過程中多聯(lián)系、多歸納總結(jié)，對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，從以上四個方面引導(dǎo)、培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維能力，會逐漸使學(xué)生建立初等的科研思維，同時(shí)也可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的興趣。

在高等代數(shù)課堂上，教師要有針對性地講解科研形勢、科研手段等，然后讓學(xué)生形成自己的科研思路，使學(xué)生感受到科研思維的魅力，因而愿意在科研之海繼續(xù)快樂地遨游。本科階段培養(yǎng)學(xué)生科研思維的意義，不在于寫了多少文章做了多少項(xiàng)目，而是在考慮一個小項(xiàng)目、小課題的過程中，形成的一種認(rèn)知，這可以幫助學(xué)生了解自己，也更了解這個學(xué)科，以便給自己定下一個發(fā)展目標(biāo)。

當(dāng)然，培養(yǎng)本科生的科研思維能力不僅局限于課堂上，還要對傳統(tǒng)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向研究生培養(yǎng)模式、教學(xué)模式和培養(yǎng)機(jī)制進(jìn)行改革，對課堂教學(xué)、輔助教學(xué)進(jìn)行改革，對培養(yǎng)模式的改革與探索進(jìn)行梳理和總結(jié)。對本碩博教育資源也要進(jìn)行整合，使資源貫通化，達(dá)到精簡培養(yǎng)環(huán)節(jié)、提高課程效率的目的，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的開展?？梢詫?shí)施時(shí)間自由化，一方面可以方便碩博連讀生提前進(jìn)入博士階段課程學(xué)習(xí)，另一方面給學(xué)生釋放更多的時(shí)間，讓其進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和科研實(shí)踐；可以讓課程靈活化，打通學(xué)科二級方向的課程設(shè)置，學(xué)生可在導(dǎo)師指導(dǎo)下選修不同方向的課程；可以使培養(yǎng)國際化，讓碩博生跨校培養(yǎng)，利用網(wǎng)絡(luò)共享課程等資源，實(shí)施國際化培養(yǎng)。教學(xué)與科研相輔相成，把本科生的科研思維培養(yǎng)納入日常教學(xué)體系和培養(yǎng)方案中，鼓勵學(xué)生參與學(xué)校和導(dǎo)師的科研活動，接觸學(xué)科領(lǐng)域前沿。根據(jù)學(xué)生學(xué)歷層次、專業(yè)特點(diǎn)不同，探索、提升本科生科研思維能力與科學(xué)研究能力，都是十分重要的環(huán)節(jié)。