基于擴張滑模觀測器的電液伺服系統(tǒng)魯棒控制

臧萬順，沈剛，趙軍，臧克江

(1.青島理工大學 信息與控制工程學院，山東 青島 266520；2.安徽理工大學 安徽省煤礦安全采掘裝備制造業(yè)創(chuàng)新中心，安徽 淮南 232001；3.安徽理工大學 機電工程學院，安徽 淮南 232001；4.山東科技大學 交通學院，山東 青島 266590；5.龍巖學院 物理與機電工程學院，福建龍巖 364012)

電液伺服系統(tǒng)具有響應速度快、輸出功率大、信號處理靈活、易實現(xiàn)參量反饋等優(yōu)良特性，在工業(yè)領(lǐng)域得到廣泛應用[1-2]，如：機器人[3]、負載模擬器[4]、結(jié)構(gòu)振動[5]等.

如今，電液伺服系統(tǒng)正向高性能方向發(fā)展，多種控制方法被開發(fā)出來，如：PI控制器[6]、基于反饋線性化的控制器[7]、自適應控制器[8]、魯棒控制器[9]、滑?？刂破鱗10]等，這些控制器都可以使系統(tǒng)輸出按照參考信號運動.然而，由于系統(tǒng)中存在外部干擾力、摩擦力、參數(shù)變動、結(jié)構(gòu)振動以及未建模特性等系統(tǒng)不確定性，系統(tǒng)難以達到高性能.反步控制將系統(tǒng)模型分成多個子模型，針對每個子模型選取Lyapunov函數(shù)，推導得出虛擬控制律和實際控制律[11-12]，進一步通過匹配特定的系統(tǒng)參數(shù)變動[8，13]，加入?yún)?shù)自適應律來提高系統(tǒng)性能.隨后，障礙Lyapunov函數(shù)在反步中應用[11，14]，用來限制系統(tǒng)的輸出在一定范圍內(nèi)，提高了系統(tǒng)性能.Yang等[11]和Won等[14]將障礙Lyapunov函數(shù)應用在反步控制中，結(jié)合系統(tǒng)模型，得到相應的控制律，通過仿真和實驗驗證了方法的有效性.董振樂等[13]構(gòu)建帶有匹配和不匹配干擾項的電液伺服系統(tǒng)模型，設(shè)計預設(shè)性能控制器，并進行了驗證.Yao等[8]得出部分系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)狀態(tài)之間的映射關(guān)系，并在反步控制中加以補償，提高了系統(tǒng)性能.

通常將系統(tǒng)不確定性集成定義為Δ1、Δ2或d1、d2，構(gòu)建系統(tǒng)狀態(tài)模型；進一步地，依據(jù)模型設(shè)計干擾觀測器，在線估計系統(tǒng)不確定性，利用估計值提高系統(tǒng)性能[15-16].Won等[14]、Ginoya等[15]和王云飛等[16]將干擾觀測器與反步結(jié)合，提高了系統(tǒng)性能.而后，擴張狀態(tài)觀測器被提出，在重構(gòu)系統(tǒng)全狀態(tài)的同時，利用擴張狀態(tài)重構(gòu)系統(tǒng)不確定性，通過狀態(tài)重構(gòu)誤差乘以控制增益（Li(xi-)）的形式來補償重構(gòu)誤差[17-19]，提高控制增益可提高重構(gòu)精度[19]，從而提高控制性能.

滑模觀測器也是重要的系統(tǒng)狀態(tài)重構(gòu)手段[20]，用滑模觀測器中的不連續(xù)函數(shù)Lisign(xi-) 完全替換擴張狀態(tài)觀測器中的Li(xi-)，并利用飽和函數(shù)消除滑模中的抖振現(xiàn)象[21]，用于估計系統(tǒng)狀態(tài)和補償系統(tǒng)不確定性，結(jié)合相應的控制方法也許能收到良好的控制效果.Zhang等[22]提出基于擴張滑模觀測器的系統(tǒng)不確定性估計方法及控制方法，系統(tǒng)狀態(tài)的重構(gòu)誤差通過Li(xi-) 補償，系統(tǒng)不確定性（擴張狀態(tài)）的重構(gòu)誤差通過不連續(xù)函數(shù)Lisign(xi-) 補償，通過仿真驗證了其性能；Zhang等[23]和Kim等[24]將擴張滑模觀測器應用于永磁電機的狀態(tài)重構(gòu)和系統(tǒng)不確定性估計（完全使用不連續(xù)函數(shù)補償重構(gòu)誤差），取得了良好的效果.得益于以上研究，Zang等[25]將擴張滑模觀測器應用于電液伺服系統(tǒng)，結(jié)合估計值設(shè)計了魯棒自適應反步控制器，通過實驗證明了其有效性.Ahn又將擴張滑模觀測器應用于液壓機器人的控制[26]和電液伺服系統(tǒng)的高精度控制[27]，通過仿真驗證了其效果優(yōu)于擴張狀態(tài)觀測器.

本研究利用擴張滑模觀測器在線估計系統(tǒng)不確定性，并通過系統(tǒng)實時輸出反饋設(shè)計參數(shù)自適應律，最終設(shè)計基于障礙Lyapunov函數(shù)的自適應反步控制器，補償不匹配系統(tǒng)不確定性和匹配更新系統(tǒng)參數(shù)，實現(xiàn)電液伺服系統(tǒng)高精度控制.

1 電液伺服系統(tǒng)模型

如圖1所示為閥控液壓缸原理圖.圖中，p1、p2分別為液壓缸進、回油口的壓力，為液壓缸進油口的體積流量，為液壓缸回油口的體積流量，ps為油源壓力.液壓缸流量連續(xù)性方程為

圖1 閥控液壓缸原理圖Fig.1 Schematic diagram of servo valve controlled hydraulic cylinder

式中：FL為液壓缸活塞桿的外部干擾力，F(xiàn)F為液壓缸活塞桿與缸筒之間的摩擦力，m為負載的總質(zhì)量，Bp為液壓油的黏性阻尼系數(shù).液壓缸的負載體積流量是由電液伺服閥的閥芯位移控制的，可以得到

式中：xv為伺服閥的閥芯位移，Cd為伺服閥的排放系數(shù)，w為伺服閥的節(jié)流窗口面積梯度，ρ為液壓油的密度.依照文獻[25]，得到伺服閥的控制電壓：

式中：Δpr為伺服閥的額定壓降，為伺服閥在額定壓降下的額定體積流量，umax為伺服閥的最大控制電壓.選擇系統(tǒng)狀態(tài)變量為x=[x1,x2,x3]=[xp,,pL]，得到系統(tǒng)狀態(tài)方程如下：

式中：θ1=Ap/m，θ2=Bp/m，θ3=4Apβe/Vt，θ4=4Ctlβe/Vt，θ5=4βe/Vt；由于液壓缸的物理量參數(shù)的計量誤差和其他參數(shù)的估計誤差，系統(tǒng)狀態(tài)方程中的參數(shù)與實際物理系統(tǒng)中的參數(shù)存在差異，因此，在系統(tǒng)的狀態(tài)方程中考慮參數(shù)變動，Δθ1、Δθ2、Δθ3和Δθ4表示θ1、θ2、θ3和θ4的參數(shù)變動；Δ1為由外部干擾力、摩擦力、參數(shù)變動、結(jié)構(gòu)振動和未建模特性帶來的系統(tǒng)不確定性，表示由系統(tǒng)不確定性帶來的液壓缸活塞桿的負載波動，Δ1=-FL/m-FF/m+Δθ1x3-Δθ2x2+μ，μ表示活塞桿在運動過程中帶動整個系統(tǒng)的機械結(jié)構(gòu)運動產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)振動和一些油液非線性等未建模特性；Δ2表示由θ3和θ4的參數(shù)變動帶來的系統(tǒng)不確定性，表示由系統(tǒng)不確定性帶來的液壓缸兩腔的油壓波動，Δ2=-Δθ3x2-Δθ4x3；Υj為集成系統(tǒng)不確定性Δj的變化速率，j=1,2；y=x1表示系統(tǒng)的位移輸出.

假設(shè)1電液伺服系統(tǒng)的期望位移yd及其一階、二階和三階時間導數(shù)都是有界的，Δj以及他們的變化速率Yj都是有界的，即 Δj≤Δjmax，Yj≤Yjmax.

假設(shè)2函數(shù)f1(x2,x3)和f2(x2,x3)相對于x2和x3是滿足Lipschitz條件的.存在4個Lipschitz常數(shù)γ1、γ2、γ3和γ4滿足如下條件：

2 控制器設(shè)計

如圖2所示為整體閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖.基于電液伺服系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，利用擴張滑模觀測器的觀測值，以及參數(shù)自適應律，設(shè)計基于障礙Lyapunov函數(shù)的自適應反步控制器；隨后，真實控制律被轉(zhuǎn)換為控制電壓來驅(qū)動電液伺服閥，從而使液壓缸按照參考信號運動.

圖2 閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Overall architecture of closed-loop control system

2.1 擴張滑模觀測器設(shè)計

基于電液伺服系統(tǒng)的狀態(tài)方程（式(5)），考慮如下5階擴張滑模觀測器：

證明考慮如下3個滑模面為，且其對時間導數(shù)為

類似于式(17)，式(18)也是一階微分方程.因此，只要L4＞0，會在T5＞0內(nèi)收斂于0.定義一個新的變量T為

利用滑模觀測器的等值注入原理及合適的飽和函數(shù)，針對電液伺服系統(tǒng)的擴張滑模觀測器的最終形式[25]可以表示為

式中：δi為3個小的正實數(shù).

2.2 參數(shù)自適應映射

式中：τi+1為參數(shù)更新控制增益，τi+1＞0;φi+1為待設(shè)計的參數(shù)自適應函數(shù).

2.3 基于障礙Lyapunov函數(shù)的自適應反步控制器設(shè)計

定義電液伺服系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤誤差向量如下：

式中：z1為系統(tǒng)輸出位移跟蹤誤差，|z1|＜kb，kb為系統(tǒng)跟蹤誤差限定；系統(tǒng)的輸出滿足kcl＜y=x1＜kcu，kcu=yd+kb，kcl=yd-kb；α1和α2為控制器設(shè)計的2個虛擬控制量.

理論2結(jié)合電液伺服系統(tǒng)狀態(tài)方程（式(5)）和擴張滑模觀測器的2個估計值，存在如下控制律及參數(shù)自適應律，使得對于t＞0，系統(tǒng)跟蹤誤差滿足|z1|＜kb：

同時，參數(shù)自適應函數(shù)適當選擇為

式中：ki為控制增益.如果控制增益Lj+3適當選擇為Lj+3＞kj+1/4且ki＞0，則|z1|＜kb；z會在t＞0后落入一個有界的超球面Hr內(nèi)，并且在t＞t0的情況下保持在Hr內(nèi).

基于虛擬控制量α1(式（24）)，可以得到

同時，參數(shù)自適應律可以選擇為

進一步地，可以得到參數(shù)自適應函數(shù)，如式(25)所示.將式(34)代入式(33)，得到

因此，如果Lj+3＞kj+1/4，z會在有限時間t1＞0內(nèi)落入Hr內(nèi)且在t＞t0的情況下保持在Hr內(nèi)；進一步地，在t＞t0情況下，系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差|z1|＜kb,證畢.

2.4 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)為

可以得到其對時間的導數(shù)為

基于式(11)、(13)～(15)、(18)、(22)、(24)～(25)、(32)的結(jié)果，式(37)可以重寫為

根據(jù)理論2，超球面Hr的大小取決于因此，如果提高擴張滑模觀測器的控制增益L4、L5和控制器的控制增益ki，可收縮超球面Hr的大小，從而保證控制器收斂；另外，如果 Δj是變化緩慢的或者是常值，其變化速率Yj可能是很小的值，乃至于可認為Yj≈0，因此，

顯然，整體閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定.

3 仿真和實驗驗證

為了驗證所提出的控制方法的有效性，選取參考信號為yd=0.01sin (2πt)，在仿真中給定2個集成系統(tǒng)不確定性Δj，Δ1=6sin (2πωt),Δ2=2×1012×sin (2πωt)，驗證控制系統(tǒng)的性能.在實驗中，系統(tǒng)不確定性中的參數(shù)變動Δθ1、Δθ2、Δθ3和Δθ4是模型的參數(shù)與電液伺服系統(tǒng)實驗臺真實參數(shù)的差異，摩擦力FF在液壓缸的活塞桿與缸筒之間產(chǎn)生，結(jié)構(gòu)振動和未建模特性μ是液壓缸活塞桿運動帶動實驗臺的機械結(jié)構(gòu)振動以及油液的非線性等導致的，外部干擾力FL是由控制系統(tǒng)在力加載液壓缸上施加1 V的控制信號產(chǎn)生的.如表1所示為電液伺服系統(tǒng)的關(guān)鍵參數(shù).采用如下3種不同控制方法分別進行仿真和實驗來驗證本研究所提出的控制器的性能.

表1 電液伺服系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)Tab.1 Key parameters of electro-hydraulic servo system

1) 反步控制器：根據(jù)狀態(tài)方程，反步控制器的控制律為 α1=-k1z1+，α2=(k2z2+z1+θ2x2+)/θ1，qVL=(θ1z2+k3z3++θ3x2+θ4x3)/θ5.在仿真中，控制增益選擇為k1=319，k2=300，k3=300；在實驗中，控制增益選擇為k1=130，k2=125，k3=110.

3) 基于擴張滑模觀測器的魯棒控制器（本研究所提出的控制器）：基于擴張滑模觀測器的估計值，提出的控制器作用于電液伺服系統(tǒng).在仿真中，選擇L1=110，L2=100，L3=3.3×1012，L4=200，L5=150，δ1=δ2=δ3=0.01，k1=1 800，k2=2 500，k3=1 800，τ2=τ3=τ4=2×10-15；在實驗中，選擇L1=10，L2=2，L3=30，L4=55，L5=6×108，δ1=δ2=0.001，δ3=0.005，k1=125，k2=450，k3=125，τ2=τ3=τ4=2×10-15.

3.1 仿真結(jié)果

均方根誤差可以闡明3個控制器的性能:

式中：Rin,i為參考信號，Rout,i為系統(tǒng)反饋信號，n為信號的長度.

如圖3～5所示，分別為反步控制器、基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步控制器、基于擴張滑模觀測器的控制器（本研究所提出的控制器）的仿真結(jié)果.可以看出，在預定干擾Δ1和Δ2的作用下，傳統(tǒng)的反步控制器已經(jīng)發(fā)散，甚至不能保證系統(tǒng)輸出按照參考軌跡運行；基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步控制器具有較強魯棒性，在預定干擾Δ1和Δ2的作用下，可以保證系統(tǒng)的跟蹤誤差在kb=0.001 m內(nèi)，但誤差較大；擴張滑模觀測器不僅可以估計系統(tǒng)的全狀態(tài)，而且還可以利用擴張的狀態(tài)估計集成系統(tǒng)不確定性，加上參數(shù)自適應律實時更新系統(tǒng)參數(shù)，可見本研究所提出的控制器性能優(yōu)于基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步控制器和傳統(tǒng)的反步控制器.3種控制器的跟蹤誤差峰值分別為2.132 5、9.873 2×10-4、1.700 9×10-4m，均方根誤差分別為1.507 7、9.594 7×10-4、1.211 7×10-4m.可見3種控制器的性能如下：本研究所提出的控制器＞基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步控制器＞傳統(tǒng)的反步控制器.

圖3 仿真中反步控制器的性能Fig.3 Performance of backstepping controller in simulation study

圖4 仿真中基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步控制器的性能Fig.4 Performance of barrier Lyapunov function-based backstepping controller in simulation study

為了彰顯所提出的控制方法的魯棒性，在仿真中給定較大的集成系統(tǒng)不確定性值：Δ1=6×sin (2πωt)、Δ2=2×1012sin (2πωt)，在此干擾值作用下，反步控制器甚至不能保持液壓缸的活塞桿按照參考信號運行.基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步控制器具有較強的魯棒性，能使系統(tǒng)穩(wěn)定運行，但不能保證高性能.如圖5(c)～(e)所示，擴張滑模觀測器完整重構(gòu)了電液伺服系統(tǒng)狀態(tài)變量xi；如圖5(f)～(i)所示，觀測器在重構(gòu)狀態(tài)變量xi之后，利用2個擴張狀態(tài)重構(gòu)了系統(tǒng)不確定性Δj，且重構(gòu)誤差良好；進一步，通過擴張滑模觀測器估計系統(tǒng)不確定性Δj，并在控制器中補償，加之參數(shù)自適應律，不僅使系統(tǒng)的跟蹤誤差小于kb，還提高了系統(tǒng)跟蹤精度，從而進一步增強了控制器的魯棒性.

3.2 實驗結(jié)果

如圖6所示為電液伺服系統(tǒng)實驗臺.如圖7所示為電液伺服系統(tǒng)實驗臺的實際控制系統(tǒng).控制系統(tǒng)的硬件為上位機、工控機、PCI-1716板卡、ACL-6126板卡以及信號調(diào)理系統(tǒng).位移傳感器和2個油壓傳感器的4～20 mA電流信號由信號調(diào)理系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為2～10 V電壓信號，最后由PCI-1716采集.控制電壓(±10 V)由板卡ACL-6126輸出，并由信號調(diào)理系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為±40 mA電流信號來控制伺服閥，從而控制電液伺服系統(tǒng)運作.基于MATLABxPC 快速原型技術(shù)，上位機和工控機（IPC-610）通過TCP/IP網(wǎng)絡(luò)連接.在MATLAB/Simulink中編寫好的控制程序會被轉(zhuǎn)換為C程序，并通過網(wǎng)絡(luò)下載至工控機中，來控制實驗臺實時運轉(zhuǎn).整個控制系統(tǒng)的采樣頻率為1 000 Hz.

圖6 電液伺服系統(tǒng)實驗臺Fig.6 Experimental bench for electro-hydraulic servo systems

圖7 實驗臺的實際控制系統(tǒng)Fig.7 Real control system of experimental bench

如圖8～10所示為3種控制器應用于電液伺服系統(tǒng)實驗臺的實驗結(jié)果.可以看出，傳統(tǒng)的反步控制器可以使系統(tǒng)輸出按照參考軌跡運行，但是不能保證系統(tǒng)的跟蹤誤差小于kb=0.001 m；基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步控制器有強的魯棒性，可以保證系統(tǒng)的跟蹤誤差小于kb=0.001 m，然而由于系統(tǒng)中存在非線性因素，其跟蹤誤差難以達到高精度；擴張滑模觀測器不僅估計了系統(tǒng)的全狀態(tài)，還估計系統(tǒng)的非線性因素，加上參數(shù)自適應律實時更新系統(tǒng)參數(shù)，其性能顯著優(yōu)于基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步控制器和傳統(tǒng)的反步控制器的.

圖8 實驗中反步控制器的性能Fig.8 Performance of backstepping controller in experimental study

圖9 實驗中基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步控制器的性能Fig.9 Performance of barrier Lyapunov function-based backstepping controller in experimental study

圖10 實驗中所提出的控制器的性能Fig.10 Performance of proposed controller in experimental study

3種控制器的跟蹤誤差峰值分別為0.002 2、4.600 6×10-4、1.023 7×10-4m，均方根誤差分別為0.001 2、2.399 2×10-4、4.199 9×10-5m.可見 3種控制器的性能如下：所提出的控制器＞基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步控制器＞傳統(tǒng)的反步控制器.

由圖8～10可知，由于電液伺服系統(tǒng)的系統(tǒng)不確定性，反步控制器和基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步控制器，不能達到高性能的表現(xiàn)；擴張滑模觀測器在重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)變量xi后，通過擴張的2個狀態(tài)重構(gòu)了系統(tǒng)不確定性，進一步地，在補償了系統(tǒng)不確定性和參數(shù)變動之后，系統(tǒng)的跟蹤精度明顯提高，驗證了控制器的性能.

擴張滑模觀測器在實驗中實時重構(gòu)出來的系統(tǒng)不確定性的值如下：Δ1的幅值約為[-1.5,1.5] m/s2，Δ2的幅值約為[-1.5×109,1.5×109] N/(m2·s)，明顯小于仿真中給定的干擾值Δ1=6sin (2πωt),Δ2=2×1012sin (2πωt)，因此，仿真中傳統(tǒng)的反步控制器出現(xiàn)了發(fā)散的狀況.

在系統(tǒng)不確定性的作用下，在仿真和實驗過程中，傳統(tǒng)的反步控制器不能保證系統(tǒng)跟蹤誤差|z1|≤kb；基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步控制器具有較強的魯棒性，雖然能夠使系統(tǒng)的跟蹤誤差|z1|≤kb，但難以滿足高性能.擴張滑模觀測器在仿真和實驗中，都展現(xiàn)了優(yōu)良的性能，通過重構(gòu)的系統(tǒng)不確定性，加上補償系統(tǒng)參數(shù)變動，整體提高了系統(tǒng)魯棒性.

4 結(jié)論

為了適應高性能電液伺服系統(tǒng)的需求，提出基于擴張滑模觀測器的控制方法，利用擴張滑模觀測器在線估計和補償系統(tǒng)不確定性，通過系統(tǒng)的輸出反饋設(shè)計參數(shù)自適應律，從而實時更新系統(tǒng)參數(shù)，最后利用障礙Lyapunov函數(shù)使系統(tǒng)的輸出誤差小于kb，達到高精度控制.

（1）考慮電液伺服系統(tǒng)的外部干擾力、摩擦力、參數(shù)變動、結(jié)構(gòu)振動及未建模特性等系統(tǒng)不確定性，構(gòu)建電液伺服系統(tǒng)狀態(tài)空間模型.

（2）基于狀態(tài)空間描述模型，設(shè)計五階擴張滑模觀測器，通過定義合適的滑模面證明提出的擴張滑模觀測器的穩(wěn)定性；利用擴張滑模觀測器的系統(tǒng)不確定性估計值，加之參數(shù)自適應律，設(shè)計基于障礙Lyapunov函數(shù)的自適應反步控制器，并證明閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

（3）仿真和實驗結(jié)果表明，擴張滑模觀測器可以同時估計系統(tǒng)的全狀態(tài)和系統(tǒng)不確定性，所提出的控制器性能優(yōu)于基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步控制器和傳統(tǒng)的反步控制器.

（4）本研究僅針對雙出桿液壓缸構(gòu)建了狀態(tài)空間模型，并設(shè)計了相應的控制方法，未來將進一步根據(jù)單出桿液壓缸的模型，應用本研究所提出的算法進行進一步驗證.