關(guān)于三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教學(xué)的研究與實(shí)踐

郭寶國(guó)

【摘要】誘導(dǎo)公式是三角函數(shù)中的重要內(nèi)容之一.由于教材的不同，教法的編排也有所不同，這就導(dǎo)致教師在備課及教學(xué)過程中產(chǎn)生不少困惑.本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從教材、教法兩方面對(duì)誘導(dǎo)公式的教學(xué)進(jìn)行了比較，提出了一些個(gè)人的觀點(diǎn)和建議.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù);誘導(dǎo)公式;教材;教學(xué)方法

誘導(dǎo)公式是中等職業(yè)學(xué)校廣教版數(shù)學(xué)必修下冊(cè)第六章“三角函數(shù)”或人教版數(shù)學(xué)（提高版）第一冊(cè)第七章“三角”中的內(nèi)容.誘導(dǎo)公式是三角函數(shù)變換中最重要、最基本的公式，在求某些特殊角三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)和證明恒等式中起到至關(guān)重要的作用.

但是三角函數(shù)誘導(dǎo)公式煩多，形式相似，而且有些要添加負(fù)號(hào)，有些要改變函數(shù)名稱，對(duì)于職業(yè)中學(xué)的學(xué)生來說，要記住這些公式是一件極其困難的事情，更談不上應(yīng)用.因此，學(xué)生在應(yīng)用公式解題時(shí)，常覺得模棱兩可，似是而非，甚至無從下手.筆者用過上述兩套教材，其內(nèi)容的安排和教法都有所不同.下面通過對(duì)教材內(nèi)容、教法進(jìn)行比較，談?wù)劚救藢?duì)誘導(dǎo)公式實(shí)際教學(xué)方法的一些見解.

一、教材內(nèi)容、教法的比較

1.教材內(nèi)容分析.人教版誘導(dǎo)公式分為四大組，分別是α與α+k·2π（k∈ Z），α與-α，α與α+（2k+1）π（k∈ Z），α與 π[]2 ±α的三角函數(shù)的關(guān)系，這與廣教版的基本相同，但是人教版的誘導(dǎo)公式略為精簡(jiǎn)，公式以方框出現(xiàn)的有5組，而廣教版的有8組.人教版誘導(dǎo)公式最后一大組中，還補(bǔ)充了正切、余切函數(shù)的公式，而廣教版的沒有.這說明人教版的教材內(nèi)容較全面，公式更精簡(jiǎn)，難度更大更深一些，適合中上等層次的學(xué)生學(xué)習(xí)，廣教版的則恰相反.但是，在職業(yè)中學(xué)的實(shí)際教學(xué)中，同一個(gè)年級(jí)，不論各班的基礎(chǔ)好壞，統(tǒng)一用同一種教材.對(duì)于人教版教材，數(shù)學(xué)教師在備課時(shí)常常需要為基礎(chǔ)差的班級(jí)調(diào)整教學(xué)進(jìn)度，降低內(nèi)容難度，刪減練習(xí)，而學(xué)生還是會(huì)無所適從，覺得比較混亂，學(xué)習(xí)效果可想而知.

2.教材教法分析.在人教版中，利用誘導(dǎo)公式求某些特殊角的三角函數(shù)的準(zhǔn)確值和化簡(jiǎn)時(shí)，幾種方法混合在一起使用，顯得比較雜亂.這些方法主要有：①直接利用公式求解;②先把負(fù)角化正角，再利用公式求解;③先把絕對(duì)值大的角分解成α+nπ（n∈ Z）的形式，再利用公式求解.這些方法都采用了從左至右利用公式求解的傳統(tǒng)解法.下面分別列舉人教版課本上出現(xiàn)的求三角函數(shù)值的例子說明（弧度制角）.

這兩種解題方法同時(shí)出現(xiàn)，而且沒有給出相應(yīng)的提示.學(xué)生的基礎(chǔ)本來就差，在這時(shí)往往就會(huì)混淆公式，不懂得該用哪種方法解類似的題目.

而在廣教版的教材中，關(guān)于誘導(dǎo)公式的應(yīng)用則采用了統(tǒng)一的一種方法，就是從右至左利用公式先把角的絕對(duì)值化小，再按照 “正弦余弦，±π變號(hào)，±2π不變;正切，±π都不變”的規(guī)律來解題.還是以上面人教版的前三個(gè)例題為例說明具體的解題過程有何不同.

與人教版的多種解題方法比較起來，這種解題方法的優(yōu)點(diǎn)是：（1）操作簡(jiǎn)便統(tǒng)一.不管所給角的正負(fù)與大小，只需按“正角減去π的倍數(shù)，負(fù)角加上π的倍數(shù)”的規(guī)律，變號(hào)與否根據(jù)函數(shù)名稱即可.（2）減少了對(duì)誘導(dǎo)公式的記憶.計(jì)算過程中只是有時(shí)用了α與-α這組公式，不必硬套課本公式.

通過以上對(duì)兩種教材的比較，會(huì)發(fā)現(xiàn)在內(nèi)容編排方面，人教版的內(nèi)容較全面，難度更深，比較適合基礎(chǔ)較好的班級(jí)學(xué)習(xí)，而廣教版的比較適合其他類班級(jí)（如數(shù)控班）學(xué)習(xí).從教法上來說，人教版的相對(duì)落后，變化多樣，晦澀不清;廣教版的簡(jiǎn)便易用，條理清晰，更具可操作性，更符合職業(yè)中學(xué)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn).

二、對(duì)實(shí)際教學(xué)方法的探索

對(duì)于這兩種教材中的誘導(dǎo)公式的教學(xué)方法，不同的任課老師有不同的選擇.筆者認(rèn)為，不管用的是哪套教材，若都選擇廣教版的教法，學(xué)生會(huì)更容易掌握.本人首次使用人教版教材時(shí)，當(dāng)所有的公式講完了，發(fā)現(xiàn)不但自己教得累，學(xué)生也掌握不牢.雖然總結(jié)了公式的規(guī)律，編了口訣，每節(jié)課都在復(fù)習(xí)公式，但在解題時(shí)，學(xué)生還是前學(xué)后忘，連成績(jī)較好的學(xué)生也大呼公式太多，不易記牢，不能熟練應(yīng)用.

當(dāng)我使用廣教版的教法講完誘導(dǎo)公式這節(jié)課時(shí)，就發(fā)現(xiàn)教學(xué)效果明顯要比以前好很多.不過，本人在教學(xué)過程中也遇到不少困惑，在經(jīng)過不斷反思后，教學(xué)思路變得逐漸清晰，現(xiàn)將個(gè)人的教法小結(jié)如下.

1.掌握旋轉(zhuǎn)角的特點(diǎn)——角α按逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n圈后得到的角的終邊相同.這個(gè)知識(shí)點(diǎn)為后面學(xué)習(xí)第一組誘導(dǎo)公式做了鋪墊，即終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.這組公式可用一句話說明：一個(gè)角加上或減去360°（2π）的整數(shù)倍，三角函數(shù)值不變.教師利用公式講解例題幾次，學(xué)生就能輕松掌握了.后面在推導(dǎo)α±π這組公式時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生思考：角α旋轉(zhuǎn)n圈都不會(huì)改變函數(shù)值，那么如果旋轉(zhuǎn)半圈180°（π），角α的四個(gè)三角函數(shù)值是否改變符號(hào)呢？

2.重點(diǎn)掌握α與-α，α與 π[]2 ±α這兩大組誘導(dǎo)公式.前一組公式在函數(shù)求值與式子化簡(jiǎn)中經(jīng)常用到，所以特別重要.而后一組互余公式，一般只用于式子化簡(jiǎn)，有涉及計(jì)算的都可以用α±π這組公式來代替.

例7 計(jì)算tan 135°的值.

但由于公式要互相改變函數(shù)名稱，還要根據(jù)象限來判斷函數(shù)值的符號(hào)，相對(duì)復(fù)雜，比較難掌握，所以要下功夫記住.當(dāng)然，學(xué)習(xí)這兩組公式時(shí)也不必逐一死記硬背，可以尋找規(guī)律來幫助記憶，下面說明其方法.

綜上所述，學(xué)生只要掌握了α與-α，α與 π[]2 ±α這兩大組誘導(dǎo)公式后，理解其余誘導(dǎo)公式的規(guī)律，在解題過程中就可免去記憶公式之苦，也不必將所有的角先判斷所在的象限再確定函數(shù)值的符號(hào)，減少了計(jì)算環(huán)節(jié)，降低了難度及出錯(cuò)率，從而在一定限度上可以提高中職數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.