以問(wèn)題為導(dǎo)向的復(fù)變函數(shù)課程信息化、多樣化、模塊化教學(xué)重構(gòu)

楊鵬，教傳玲，屠良平，胡煜寒

（1.遼寧科技大學(xué) 理學(xué)院，遼寧鞍山 114004，2.魯迅美術(shù)學(xué)院附屬中等美術(shù)學(xué)校，遼寧沈陽(yáng) 110045）

復(fù)變函數(shù)作為數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析及工科高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程，它是高等數(shù)學(xué)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的推廣和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)在數(shù)學(xué)各個(gè)分支中均有著重要的應(yīng)用。不僅如此，作為一種強(qiáng)有力的工具，也被普遍應(yīng)用于自然學(xué)科的各個(gè)領(lǐng)域。復(fù)變函數(shù)一方面是微分方程、奇異積分方程、計(jì)算數(shù)學(xué)和概率論等數(shù)學(xué)分支的主要解析方法，同時(shí)又為空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、自動(dòng)控制、信號(hào)處理、電子工程等學(xué)科提供了廣泛的幾何定性研究方法[1]。因此，該學(xué)科無(wú)論是對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生還是工程技術(shù)類學(xué)生都是進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)不可或缺的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

復(fù)變函數(shù)也是新中國(guó)成立后，我國(guó)學(xué)者最早投入研究的一門理論。我國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)其做出了許多卓有成效的工作。華羅庚、陸啟鏗建立了典型域上的調(diào)和函數(shù)理論,解決了調(diào)和函數(shù)的Dirichlet問(wèn)題[2]。楊樂(lè)和張廣厚對(duì)亞純函數(shù)值分布作出了杰出的貢獻(xiàn)[3]。最近，出身北大的張益唐在黎曼猜想方面做出了重要的進(jìn)展。

與此同時(shí)，復(fù)變函數(shù)課程的建設(shè)及發(fā)展取得了令人矚目的成績(jī)。近些年，隨著國(guó)家對(duì)社會(huì)應(yīng)用型人才的需求，我國(guó)在教育教學(xué)各方面都做出了重大的改革，對(duì)復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)也提出了更高的要求。為了應(yīng)對(duì)這些變化及需求，大多數(shù)學(xué)校的復(fù)變函數(shù)課程學(xué)時(shí)縮減為32學(xué)時(shí)，或48學(xué)時(shí)，這也帶來(lái)了新的教育教學(xué)問(wèn)題。從文獻(xiàn)[4-7]可以看出，復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)面臨著課時(shí)少、學(xué)生多、專業(yè)方向各異、學(xué)時(shí)不同、師資不足等普遍問(wèn)題。針對(duì)這些問(wèn)題，學(xué)者們?cè)谖墨I(xiàn)[8-11]中從各個(gè)方面討論了復(fù)變函數(shù)教學(xué)內(nèi)容的可視化方法。在文獻(xiàn)[1,4,12-13]中，學(xué)者們從不同專業(yè)角度出發(fā)，討論了復(fù)變函數(shù)的課程教學(xué)改革。

本文從課程內(nèi)容出發(fā)，針對(duì)遼寧科技大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)改革，提出了一種以問(wèn)題為中心的信息化、多樣化、模塊化的解決方案。通過(guò)該方案對(duì)復(fù)變函數(shù)課程內(nèi)容的重構(gòu)，可以有效解決復(fù)變函數(shù)教學(xué)面臨課時(shí)少、學(xué)生多、專業(yè)方向各異、學(xué)時(shí)不同、師資不足等問(wèn)題。

一、主要解決的教學(xué)問(wèn)題

復(fù)變函數(shù)課程是我校資源共享課程，它建課歷史悠久，改革成果豐富。2019年，申報(bào)并獲批遼寧省線上線下混合式一流本科課程、校一流本科課程；2020年，申報(bào)并獲批校級(jí)“課程思政”建設(shè)項(xiàng)目；同年，該課程參加并獲2020年教學(xué)創(chuàng)新大賽暨首屆課程思政教學(xué)設(shè)計(jì)大賽院三等獎(jiǎng)；2021年，該課程申報(bào)并獲批2021年校級(jí)課程考試考核方式方法改革項(xiàng)目。該課程還申報(bào)了2021、2022年跨校修讀，借鑒外校精品課程的先進(jìn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步完善本課程教學(xué)方法與內(nèi)容。在我校復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)改革的探索過(guò)程中，我們遇到如下幾個(gè)教學(xué)問(wèn)題：

（一）先修課程與復(fù)變函數(shù)課程的知識(shí)銜接

學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)，需要一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，需要學(xué)生首先掌握極限、導(dǎo)數(shù)、積分等基本運(yùn)算。因此，該課程一般安排在學(xué)完高等數(shù)學(xué)之后?？紤]到大三課程負(fù)擔(dān)較少，之前這門課程主要排在大三上學(xué)期。由于這一階段的學(xué)生已對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容逐漸陌生，教學(xué)效果并不理想。之后，也有一些學(xué)院專業(yè)將復(fù)變函數(shù)課程調(diào)整至大二上學(xué)期。但這又面臨著這學(xué)期學(xué)生的課程相對(duì)較多，課業(yè)負(fù)擔(dān)也比較重，在課程上很難做到兼顧等問(wèn)題。另外，盡管大二學(xué)生剛系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過(guò)高等數(shù)學(xué)，但在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)知識(shí)，尤其是跟高數(shù)內(nèi)容銜接比較緊的內(nèi)容時(shí)，并沒有及時(shí)地去回顧相關(guān)的知識(shí)。此外，還有不少學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)及其后續(xù)課程有恐懼抗拒心理，這勢(shì)必影響到學(xué)生對(duì)該課程的掌握程度，增加復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)難度。因此，無(wú)論是放在大二，還是放在大三進(jìn)行復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)，都各有取舍，在課程銜接方面都面臨著一定的困難。

（二）課時(shí)少、師資隊(duì)伍有限

復(fù)變函數(shù)理論廣泛應(yīng)用于物理、控制論、信號(hào)處理、電子工程等諸多領(lǐng)域，是理工科學(xué)生一門不可或缺的課程。其相關(guān)的知識(shí)應(yīng)用案例豐富，更適合分門別類按不同的專業(yè)、培養(yǎng)能力、人才類型提供不同的有針對(duì)性的教學(xué)內(nèi)容及培養(yǎng)方式。我校理學(xué)院與電信學(xué)院均開設(shè)了復(fù)變函數(shù)課程，但師資隊(duì)伍有限，傳統(tǒng)的教學(xué)方式無(wú)法做到同時(shí)面面俱到。

近些年來(lái)，隨著學(xué)生培養(yǎng)計(jì)劃的修正和專業(yè)課程的調(diào)整，原本課時(shí)數(shù)減少，而該課程需要講述的重要知識(shí)點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容仍保持不變。這樣課堂上教師教授的內(nèi)容量相對(duì)增加，教學(xué)速度也相對(duì)加快，對(duì)于知識(shí)的深度和廣度無(wú)法預(yù)留充足的時(shí)間去探討和深入研究，很多教學(xué)內(nèi)容只能一概而過(guò)，造成學(xué)生很難在短時(shí)間內(nèi)真正掌握有用的知識(shí)，更無(wú)法通過(guò)創(chuàng)新能力來(lái)運(yùn)用這些知識(shí)，逐漸讓學(xué)生喪失學(xué)習(xí)興趣，從而難以達(dá)到理想的教學(xué)效果。

楊家溪是一個(gè)攝影人不得不來(lái)的地方，因?yàn)橄计肿畛雒囊粡堈掌褪浅鲎赃@里，這也是我此行最期待的拍攝地。楊家溪號(hào)稱閩東小武夷，亦有海國(guó)桃源的美譽(yù)，這里的溪水纖塵不染，水質(zhì)清冽，可乘竹排順流而下。這里擁有緯度最北的古榕樹群和江南最大的純楓葉林，最值得一提的是一株“榕樹王”，樹齡已有800多年。大榕樹似乎有著靈氣，一路上陰雨不斷，可當(dāng)我們抵達(dá)這里時(shí)，久違的太陽(yáng)終于露出頭來(lái)，在煙霧繚繞的環(huán)境之中，灑下了漫天的光束。

（三）原有的教學(xué)方法無(wú)法適應(yīng)新時(shí)代教學(xué)需求

隨著我國(guó)教學(xué)改革及信息技術(shù)的發(fā)展，翻轉(zhuǎn)課堂、課程思政等新的教學(xué)需求的提出。復(fù)變函數(shù)傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容、方法及手段逐漸無(wú)法滿足在精簡(jiǎn)學(xué)時(shí)的前提下更全面、直觀的新時(shí)代教學(xué)需求。

二、以問(wèn)題為導(dǎo)向的教學(xué)重構(gòu)

（一）教學(xué)內(nèi)容的重構(gòu)

目前我校復(fù)變函數(shù)教學(xué)面臨課時(shí)少、學(xué)生多、專業(yè)方向各異、學(xué)時(shí)不同、師資不足等問(wèn)題。綜合這些問(wèn)題，我們提出具體改革內(nèi)容如下：

1.教學(xué)內(nèi)容信息化：將所有不同專業(yè)的復(fù)變函數(shù)教學(xué)內(nèi)容，按知識(shí)點(diǎn)信息化并方便學(xué)生獲取學(xué)習(xí)，解決課時(shí)不足帶來(lái)的無(wú)法全面地介紹復(fù)變函數(shù)理論的問(wèn)題。

2.教學(xué)方式多樣化：將教學(xué)內(nèi)容制作成微課、擴(kuò)展閱讀、討論題、小組項(xiàng)目等。增加知識(shí)點(diǎn)傳授方式的多樣性，提高學(xué)生的參與度，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能動(dòng)性。解決學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不足的問(wèn)題。

3.教學(xué)方式現(xiàn)代化：將我校傳統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)線下教學(xué)模式，改為線上線下混合式教學(xué)模式。教師在線上使用軟件進(jìn)行教學(xué)管理，比如課前簽到，課堂提問(wèn)等均通過(guò)軟件進(jìn)行。這樣教師不僅可以提高教學(xué)效率，還可以合理準(zhǔn)確的記錄教學(xué)活動(dòng)。

4.線上內(nèi)容差異化、線下內(nèi)容同一化：線上按專業(yè)設(shè)置不同學(xué)習(xí)模塊（見表1），由學(xué)生自主選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，線下教授復(fù)變函數(shù)在各專業(yè)方向的共識(shí)內(nèi)容。比如，數(shù)學(xué)專業(yè)教師主要強(qiáng)調(diào)理論的掌握，而自動(dòng)化專業(yè)教師則強(qiáng)調(diào)計(jì)算與應(yīng)用。計(jì)算方法作為共識(shí)內(nèi)容可以作為線下內(nèi)容集中授課，而理論和應(yīng)用部分則作為差異化內(nèi)容主要由學(xué)生在線上學(xué)習(xí)。這樣可以有效的解決專業(yè)各異、學(xué)時(shí)不同帶來(lái)的教學(xué)困難。

表1 按不同專業(yè)設(shè)置的線上線下學(xué)習(xí)模塊

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)的重構(gòu)

針對(duì)學(xué)生大部分基礎(chǔ)差、學(xué)習(xí)興趣不大、專業(yè)多樣等特點(diǎn)。我們提出如下線上線下相結(jié)合的教學(xué)設(shè)計(jì)與方案。

圖1 線上線下雙循環(huán)模式

2.課前環(huán)節(jié)——促進(jìn)預(yù)習(xí)。學(xué)生根據(jù)上一節(jié)的內(nèi)容預(yù)告及布置的線上學(xué)習(xí)內(nèi)容完成觀看設(shè)計(jì)好的教學(xué)視頻，對(duì)這一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行提前預(yù)習(xí)。通過(guò)線上作業(yè)鞏固上一節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并引發(fā)學(xué)生對(duì)下一節(jié)內(nèi)容的思考。教師通過(guò)學(xué)生的線上學(xué)習(xí)信息反饋合理調(diào)整下一節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容。通過(guò)課前10分鐘的開放性質(zhì)的課前測(cè)驗(yàn)完成回顧上一節(jié)的教學(xué)內(nèi)容。課前測(cè)驗(yàn)允許學(xué)生查閱資料及相互溝通，以此達(dá)成以測(cè)驗(yàn)促學(xué)習(xí)的目的。

3.課上環(huán)節(jié)——保證聽講。通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)的方式探索將要學(xué)習(xí)的知識(shí)。然后通過(guò)問(wèn)題分析及反例舉例給出一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的大致框架；其次，設(shè)定一些證明的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，通過(guò)引導(dǎo)的方式由學(xué)生給出關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的證明，最終得出正確結(jié)論，并由內(nèi)容邏輯關(guān)系引出新的問(wèn)題，從而引出下一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

4.課后環(huán)節(jié)——幫助復(fù)習(xí)。根據(jù)課上布置的學(xué)習(xí)內(nèi)容，線上學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及相應(yīng)的任務(wù)點(diǎn)。任務(wù)點(diǎn)包含視頻、作業(yè)、和課外閱讀。學(xué)生可以通過(guò)完成任務(wù)點(diǎn)，補(bǔ)充理解課上內(nèi)容。線上作業(yè)依據(jù)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)隨機(jī)生成，允許學(xué)生分組討論共同完成。隨機(jī)生成的題目避免了學(xué)生互相抄襲，得到的線上數(shù)據(jù)更能真實(shí)反映學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況；題目的多樣又促進(jìn)了學(xué)生以互相討論的方式完成，有效地提高了教學(xué)設(shè)計(jì)的可執(zhí)行度。

5.線下輕理論、重計(jì)算。線上重練習(xí)、應(yīng)用。我們將復(fù)變函數(shù)課程內(nèi)容分成兩部分：理論和計(jì)算。理論部分主要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，在講授過(guò)程中耗時(shí)較長(zhǎng)，學(xué)生難于理解，效果不明顯。借助線上線下教學(xué)模式，我們?cè)谡n堂上不再詳細(xì)講述理論的推導(dǎo)細(xì)節(jié)，而只說(shuō)明理論的證明思路。對(duì)于證明細(xì)節(jié)則制作成微課，由學(xué)生線上自主觀看。線下課堂上，我們重點(diǎn)講清由理論引出的計(jì)算方法。

6.按學(xué)習(xí)的不同階段布置作業(yè)，以作業(yè)促進(jìn)學(xué)生完成“預(yù)習(xí)—聽講—復(fù)習(xí)”三階段。線上作業(yè)分為兩部分：

（1）課堂筆記部分：每章收取一次，主要考查學(xué)生完成度。依此促進(jìn)學(xué)生聽講，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，對(duì)于上課記筆記的同學(xué)不會(huì)造成任何課后負(fù)擔(dān)。

（2）課后習(xí)題部分：依據(jù)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)隨機(jī)生成，允許學(xué)生分組討論共同完成。

7.評(píng)價(jià)機(jī)制——保障預(yù)期效果。為保障學(xué)生線上、線下學(xué)習(xí)能夠達(dá)到預(yù)期效果，我們建立了多元化、科學(xué)、合理的評(píng)價(jià)機(jī)制（見表2），主要包括以下幾個(gè)方面：

表2 多元化的線上線下學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)機(jī)制

（1）線上學(xué)習(xí)過(guò)程記錄評(píng)價(jià)：包括學(xué)生的觀看視頻、完成線上作業(yè)、任務(wù)點(diǎn)的情況。

（2）線下學(xué)習(xí)過(guò)程記錄評(píng)價(jià)：包括課前測(cè)驗(yàn)、課上互動(dòng)。

（3）單元學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：包括單元測(cè)驗(yàn)、期中測(cè)驗(yàn)。

三、教學(xué)成效及推廣價(jià)值

（一）教學(xué)成效

1.近幾年，我們與外校合作，借鑒優(yōu)秀遼寧省高校復(fù)變函數(shù)精品資源共享課程，結(jié)合自制的微課，課程資源得到極大的豐富和補(bǔ)充。目前，教學(xué)資源包括課程視頻、思政案例、課后習(xí)題等已細(xì)分到每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、每一個(gè)課程教學(xué)環(huán)節(jié)，能夠按不同的專業(yè)、不同學(xué)時(shí)、不同教學(xué)環(huán)節(jié)需求進(jìn)行篩選整合，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的自由度。同時(shí)，豐富的教學(xué)資源，極大地提升了教學(xué)各環(huán)節(jié)的實(shí)施效率。

2.充分利用手機(jī)、電腦、投影儀等多媒體設(shè)備作為教學(xué)工具，及時(shí)獲悉學(xué)生學(xué)習(xí)效果反饋，及時(shí)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容。以大量、豐富的課堂互動(dòng)來(lái)推動(dòng)啟發(fā)式的教學(xué)方式，讓學(xué)生在互動(dòng)中學(xué)習(xí)教學(xué)內(nèi)容，在互動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的思維方式和解決問(wèn)題的方法。在實(shí)施過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生能夠通過(guò)自主思考互相討論得出結(jié)論并回答，這樣不但避免了傳統(tǒng)課堂教學(xué)時(shí)學(xué)生不愿舉手，老師自問(wèn)自答的尷尬處境，達(dá)成了期望的教學(xué)目的，還能了解學(xué)生的掌握情況，并依此調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，對(duì)于正確率較高的內(nèi)容我們就略去講解，而正確率較低的內(nèi)容則詳細(xì)說(shuō)明。

3.人數(shù)較多的課堂不適合使用翻轉(zhuǎn)課堂。由于學(xué)生主對(duì)學(xué)習(xí)的意愿不同，導(dǎo)致每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度不同。翻轉(zhuǎn)課堂無(wú)法保證學(xué)生在指定時(shí)間內(nèi)完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)。我們將線上教學(xué)內(nèi)容設(shè)置為任務(wù)點(diǎn)，以保證學(xué)生完成必要的知識(shí)學(xué)習(xí)。同時(shí)，由于課上的小組討論占用太多課堂時(shí)間，容易拖慢教學(xué)進(jìn)度，作業(yè)形式的小組線下討論有效地解決了這一問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了人數(shù)較多情況下的翻轉(zhuǎn)課堂。

4.為確保充分發(fā)揮課上教學(xué)的作用，讓所有學(xué)生都全身心地投入到課堂學(xué)習(xí)中，我們?cè)黾恿素S富的課堂互動(dòng)，但這也帶來(lái)了新的問(wèn)題。在線上互動(dòng)中我們發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生線上答題應(yīng)付了事。如何調(diào)動(dòng)這些學(xué)生積極參與到教學(xué)過(guò)程中，是我們需要進(jìn)一步研究的。

（二）推廣價(jià)值

本課程的以問(wèn)題為中心創(chuàng)新設(shè)計(jì)適用于人數(shù)較多、服務(wù)于多個(gè)專業(yè)的課程。課程內(nèi)容需要精心設(shè)計(jì)與提前收集布置。其中部分創(chuàng)新也適用于其他類型的課程，比如問(wèn)答式的課程推進(jìn)結(jié)合翻轉(zhuǎn)課堂在小班授課中則效果更為顯著。