培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)理解力”的策略

唐榮芹

摘? ?要：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷認知過程、認知聯(lián)結(jié)、認知遷移，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的“工具性理解”“關(guān)系性理解”和“創(chuàng)新性理解”，其過程與形式不是固化的，要遵循學(xué)生學(xué)習(xí)的認知規(guī)律?！袄斫庑浴苯虒W(xué)，能夠有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)? ?數(shù)學(xué)理解? ?實踐性策略

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個認知、理解、應(yīng)用的過程。其中，“理解”是一個中間過程，一方面是學(xué)生認知的結(jié)果，另一方面是學(xué)生應(yīng)用的前提與條件。從認知主義視角來看，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解就是一個對相關(guān)信息進行感知、接受、編碼的過程。在這個過程中，學(xué)生能對學(xué)習(xí)內(nèi)容進行深度的表征與加工。

一、認知過程，促成學(xué)生“工具性理解”

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師往往采用“掐頭去尾燒中段”的做法，關(guān)注數(shù)學(xué)知識的結(jié)論，忽略了知識的起源和應(yīng)用。筆者認為，完整的知識學(xué)習(xí)過程應(yīng)從知識的發(fā)生開始，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進行逐層建構(gòu)與逐層抽象，即所謂的“一次建構(gòu)”“二次建構(gòu)”“一次抽象”“二次抽象”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的認知過程，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的“工具性理解”?！肮ぞ咝岳斫狻笨梢苑譃閮蓚€層面：一是“表象性理解”，二是“解釋性理解”?！氨硐笮岳斫狻笔侵笇W(xué)生能陳述數(shù)學(xué)知識，能對數(shù)學(xué)知識進行表征，包括直觀表征、符號表征；“解釋性理解”是指學(xué)生能表達對數(shù)學(xué)知識的推導(dǎo)過程，能舉例驗證、解釋規(guī)則、識別錯誤，包括意義性表征、價值性表征等。

以教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊“分數(shù)的初步認識（一）”為例，該單元主要是引導(dǎo)學(xué)生從日常生活中“分東西”開始，讓學(xué)生逐步建構(gòu)“分數(shù)”概念。在教學(xué)過程中，首先，筆者創(chuàng)設(shè)“平均分”的情境，引導(dǎo)學(xué)生分餅、分蘋果，并引導(dǎo)學(xué)生進行操作，用圓形、長方形、正方形、三角形等不同形狀的紙片代表不同形狀的餅，將之平均分成兩份，進而建構(gòu)“[12]”這樣的一個分數(shù)，與“一半”“半個”等日常概念聯(lián)系起來。其次，引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么平均分的東西不同、每一份的形狀與大小也不同，卻表示相同的分數(shù)呢？”引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)“[13]”“[14]”等分數(shù)，讓學(xué)生深刻認識到“分數(shù)”的“分子”“分數(shù)線”“分母”表示的含義。最后，引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括出一般性的“分數(shù)”概念。

二、認知聯(lián)結(jié)，促成學(xué)生“關(guān)系性理解”

建構(gòu)主義認為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種積極、主動、有意義的建構(gòu)過程。所謂“建構(gòu)”就是學(xué)生將數(shù)學(xué)新知識納入已有認知結(jié)構(gòu)之中。因此，在建構(gòu)知識的過程中，教師要促進學(xué)生的知識關(guān)聯(lián)，完善學(xué)生的自我認知結(jié)構(gòu)。實踐證明，認知聯(lián)結(jié)有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的“關(guān)系性理解”。較之“工具性理解”，“關(guān)系性理解”更深入，要求學(xué)生不僅知道“做什么”“怎么做”，還知道“為什么這么做”，有助于促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的遷移與應(yīng)用。在“關(guān)系性理解”過程中，學(xué)生有兩方面的學(xué)習(xí)樣態(tài)：一是“同化”，二是“順應(yīng)”。當新知識能順利納入學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)之中時，學(xué)生就發(fā)生了積極的認知心理同化；當新知識不能順利納入學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)之中時，學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)就會發(fā)生改變，以便讓新知識納入其中，這就是“順應(yīng)”。

以教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊“分數(shù)的初步認識（二）”為例，該單元主要是引導(dǎo)學(xué)生“平均分”由許多物體組成的整體。在教學(xué)過程中，筆者充分利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，即一個數(shù)的幾分之一（幾分之幾），引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“整體的幾分之一（幾分之幾）”，并讓學(xué)生自覺將“整體的幾分之一（幾分之幾）”與“一個物體的幾分之一（幾分之幾）”進行對比，深化學(xué)生對分數(shù)意義的認知，幫助學(xué)生理解“表征一個物體的分數(shù)”和“表征許多物體組成的整體的分數(shù)”的相同點。接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么平均分的總個數(shù)不同，卻表示相同的分數(shù)？為什么平均分的總數(shù)相同或每一份表示的個數(shù)相同，卻表示不同的分數(shù)？”從而通過正反的提問，讓學(xué)生對分數(shù)的意義進行辨析。

“關(guān)系性理解”能發(fā)展、完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生原本不完整的認知結(jié)構(gòu)變得完整。因此，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)、發(fā)展自我的認知結(jié)構(gòu)，不僅要讓學(xué)生認識、理解“一個物體的幾分之一（幾分之幾）”，還要讓學(xué)生認識、理解“許多物體組成的整體的幾分之一（幾分之幾）”。只有這樣，學(xué)生才能真正建構(gòu)完整的“分數(shù)意義”，從而將“一個物體”“一個計量單位”和“許多物體組成的整體”抽象、提煉、概括出“單位‘1’”。“關(guān)系性理解”有助于讓學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的眼光”和“數(shù)學(xué)的大腦”。

三、認知遷移，促成學(xué)生“創(chuàng)新性理解”

在“創(chuàng)新性理解”過程中，學(xué)生會積極主動地調(diào)動自我的認知經(jīng)驗，對自我的認知經(jīng)驗進行重組與遷移。創(chuàng)新不僅是學(xué)生深度認知的結(jié)果，還是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力?！皠?chuàng)新性理解”一方面離不開學(xué)生的認知經(jīng)驗，另一方面離不開教師的啟發(fā)、點撥與引領(lǐng)。學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的“創(chuàng)新性理解”，是建立在學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的“工具性理解”“關(guān)系性理解”基礎(chǔ)之上的?！皠?chuàng)新性理解”表現(xiàn)為學(xué)生能有效地應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識解決問題，能積極主動遷移相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，能深度調(diào)動已有的知識經(jīng)驗，能形成對數(shù)學(xué)問題的解決策略等。

以教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊“分數(shù)的初步認識（二）”為例，在引導(dǎo)學(xué)生認識了“一個物體的幾分之一（幾分之幾）”以及“許多物體組成整體的幾分之一（幾分之幾）”之后，筆者對這兩個方面的內(nèi)容進行對比、抽象、概括，建構(gòu)“分數(shù)的意義”，也就是建構(gòu)“單位‘1’的幾分之一（幾分之幾）”。同時，溝通分數(shù)與除法之間的聯(lián)系，促成學(xué)生對分數(shù)意義的“創(chuàng)新性理解”。比如，學(xué)生認識到“分數(shù)的分子也可以大于分母”“一個物體的幾分之幾相當于幾個物體的幾分之一”“平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)同時擴大或縮小，分數(shù)的大小不變”，等等。創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)理解不僅要對數(shù)學(xué)知識“知其然”，還要“知其所以然”。如針對“分數(shù)”這一概念的教學(xué)，教師要讓學(xué)生既理解“分數(shù)的定義”，又理解分數(shù)“商的定義”“比的定義”，進而幫助學(xué)生建立分數(shù)的“線段模型”“幾何載體”，理解分數(shù)的“數(shù)系擴張”。只有這樣，學(xué)生才能創(chuàng)造性地解決相關(guān)的分數(shù)問題，能對“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”以及“一個數(shù)的幾分之幾”等，應(yīng)用“分數(shù)的意義”“分數(shù)的內(nèi)涵本質(zhì)”進行分析。

在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從表象出發(fā)，讓學(xué)生對相關(guān)的問題進行逐步的分析，關(guān)聯(lián)自我的認知經(jīng)驗，對自我的認知結(jié)構(gòu)進行改造與重組；要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進行多維度審視、多維度考量；要立足于多個視角，從多個層面進行認知；要從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生的理解從表象深入本質(zhì)、從本質(zhì)深入關(guān)聯(lián)；要設(shè)置一些富有挑戰(zhàn)性的問題，引發(fā)的學(xué)生深度思考與充分表達。教師要通過理解性教學(xué)，讓學(xué)生獲得靈活運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。

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