在數(shù)列教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的措施

隨著新課程改革的持續(xù)深入，許多教師嘗試逐步培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容.教師在教學(xué)中可以根據(jù)學(xué)生的實際情況，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，采用不同的方法來培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

一、將理論與實踐結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維

數(shù)列知識具有較強(qiáng)的抽象性，以至于很多學(xué)生往往難以理解數(shù)列的概念和性質(zhì)，對此教師需要借助具體實例和圖形來幫助學(xué)生建立對數(shù)列的直觀認(rèn)識.此外，數(shù)列知識在現(xiàn)實生活中有廣泛的應(yīng)用，例如在金融、工程、物理等領(lǐng)域中都有涉及.教師要將理論與實踐結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有的生活經(jīng)驗來研究數(shù)列的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力.教師可以選擇一些生活實際問題，如銀行存貸款利息計算問題、物理中的運(yùn)動問題，來引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)列模型，利用數(shù)列的概念和性質(zhì)來解決這些問題.

例如，在教學(xué)等比數(shù)列的性質(zhì)時，教師提出這樣的問題：一對夫婦從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲蓄[a]元的一年定期，若年利率為[r]保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲生日時不再存入，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為_______.

該問題與我們的生活實際相關(guān)，比較貼近學(xué)生的生活，學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗進(jìn)行分析：在孩子一周歲生日時存入的[a]元，到18歲時的本利合計為[a1+r17]；

那么，在孩子2周歲生日時存入的[a]元，到18歲時的本利合計為[a1+r16]；

在孩子3周歲生日時存入的[a]元，到18歲時的本利合計為[a1+r15]；

……

在孩子17周歲生日時存入的[a]元，到18歲時的本利合計為[a1+r].

顯然，[a1+r]，…，[a1+r15]，[a1+r16]，[a1+r17]是以[a1+r]為首項，[1+r]為公比的等比數(shù)列，那么當(dāng)孩子18歲生日時取回的總錢數(shù)為數(shù)列的前17項的和，則[S=a1+r17+a1+r16+…+a1+r=a1+r1-1+r171-1+r=ar1+r18-1+r].

這樣學(xué)生便能將問題抽象為等比數(shù)列的前17項和問題，通過分析、探究，學(xué)會運(yùn)用數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式解決問題.教師將理論與實踐結(jié)合起來，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力.

教師還可以提出這樣的問題：侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成的，且每一個正方形的四個頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，設(shè)外圍第1個正方形的邊長是m，侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長度（蜘蛛網(wǎng)中正方形的周長之和）為多少？

學(xué)生在生活中經(jīng)常接觸到蜘蛛網(wǎng)和正方形的物體，看到該題目便能快速理解題目的意思，根據(jù)圖形尋找每個正方形四條邊的三等分點(diǎn)，求得各個正方形的周長，據(jù)此找到規(guī)律，尋找到解決問題的方案：

外圍第2個正方形的邊長為[13m2+23m2=53m]；

外圍第3個正方形的邊長為

[13×53m2+23×53m2=59m]；

……

外圍第n個正方形的邊長為[53n-1]m.

所以蜘蛛網(wǎng)的長度[Sn=4m1+53+59+…+53n-1]

[=4m×1-53n1-53lt;4m×11-53=3（3+5）m.]

在分析問題的過程中，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生分析出外圍第二個正方形和第三個正方形的邊長，將所得的結(jié)果與對應(yīng)的正方形個數(shù)n關(guān)聯(lián)起來，據(jù)此尋找求外圍第n個正方形的邊長的規(guī)律，建立等比數(shù)列模型，從而求得問題的答案.這樣學(xué)生便能將這個實際問題抽象為等比數(shù)列問題，從而培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維.

二、引導(dǎo)學(xué)生分析表格，培養(yǎng)分析能力

表格是一種直觀的數(shù)據(jù)展示方式.通過分析、研究表格，學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)列概念與具體的數(shù)值聯(lián)系起來，更清晰地理解數(shù)列的性質(zhì)，探究數(shù)列的規(guī)律.教師在引導(dǎo)學(xué)生分析表格時，要讓其仔細(xì)觀察相鄰項，明確它們之間的關(guān)系，尋找項數(shù)n與各項之間的聯(lián)系和規(guī)律，以提升分析能力.

例如，在教學(xué)等比數(shù)列的通項公式時，教師可以給出問題：在[an]中，[a1、a2、a3]分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且[a1、a2、a3]中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列，求數(shù)列[an]的通項公式.

[ 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 ]

[a1、a2、a3]可能是表格中的任意一個數(shù)，要求數(shù)列[an]的通項公式，需先分析表格，將[a1、a2、a3]與表格中的數(shù)對應(yīng)起來，確保[a1、a2、a3]中的任何兩個數(shù)不在表格的同一列即可.有的學(xué)生開始動筆計算起來：當(dāng)[a1=3]時，不合題意；當(dāng)[a1=2]，[a2=6，a3=18]時，符合題意，此時數(shù)列[an]的公比q=3，則數(shù)列的通項公式為[an=2?3n-1].

學(xué)生通過觀察表格中的數(shù)值變化，將各個數(shù)字與[a1、a2、a3]對應(yīng)起來進(jìn)行分析，即可找到滿足題意的數(shù)，通過計算求得數(shù)列首項和公比，便可以根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列的通項公式.如此一來，學(xué)生不僅鍛煉了分析能力，還掌握了等比數(shù)列各項之間的規(guī)律.

三、開展數(shù)列習(xí)題訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算、推理能力

開展數(shù)列習(xí)題訓(xùn)練，不僅有利于學(xué)生學(xué)會運(yùn)用所學(xué)的知識來解決問題，夯實基礎(chǔ)，還能培養(yǎng)運(yùn)算、推理能力.在開展習(xí)題訓(xùn)練時，教師要有意識地設(shè)計一些運(yùn)算、推理問題，讓學(xué)生在訓(xùn)練的過程中逐步提升運(yùn)算、推理能力.

例1.已知數(shù)列[an]滿足[an+2=qan（q為實數(shù)，且q≠1），] [n∈N*，a1=1，a2=2]，且[a2+a3，a3+a4，a4+a5]成等差數(shù)列，求q的值和[an]的通項公式.

解：因為[a2+a3，a3+a4，a4+a5]成等差數(shù)列，

所以[a3+a4-a2+a3=a4+a5-a3+a4]，

即[a4-a2=a5-a3]，所以[a2（q-1）=a3（q-1）]，

又因為[q≠1]，故[a3=a2=2]，由[a3=a1q]得[q=2]，

當(dāng)[n=2k-1（n∈N*）]時，[an=a2k-1=2k-1=2n-12]，

當(dāng)[n=2k（n∈N*）]時，[an=a2k=2k=2n2]，

所以[an]的通項公式為[an=2n-12，n為奇數(shù)，2n2，n為偶數(shù).]

在解答本題時，教師要先引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析題意，明確相鄰項之間的遞推關(guān)系，據(jù)此建立方程，通過解方程求得數(shù)列的公比；然后通過推理、分析找到數(shù)列各項之間的規(guī)律，求得數(shù)列的通項公式.

例2.已知正項等比數(shù)列[an]的前n項和為Sn，且S2=6，S4=30，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足bn·bn＋1=an，b1=1.

（1）求an，bn；

（2）求數(shù)列[bn]的前n項和Tn.

解：（1）設(shè)正項等比數(shù)列[an]的公比為q（qgt;0），

由題意可得a1＋a1q=6，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3=30，

解得a1=q=2，可得an=a1qn－1=2n，

由bn·bn＋1=an=2n，b1=1，可得b2=2，

則bn＋1·bn＋2=an＋1=2n＋1，可得[bn+2bn=2]，

可知數(shù)列{bn}中奇數(shù)項、偶數(shù)項分別為公比為2的等比數(shù)列，

所以[bn=2n-12，n為奇數(shù)，2n2，n為偶數(shù).]

（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn=（1＋[2+…+2n-22）+（2+4+…+2n2）=1-2n21-2+2（1-2n2）1-2]=3·（[2]）n－3；

當(dāng)n為奇數(shù)時，數(shù)列{bn}的前n項和為[Tn=Tn-1+2n-12=3·（2）n-1-3+2n-12=（2）n+3-3.]

綜上可得，[Tn=（2）n+3-3，n為奇數(shù)，3?（2）n-3，n為偶數(shù).]

對于本題，學(xué)生需根據(jù)等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式來建立方程組，通過解方程組求得數(shù)列的首項、公比，進(jìn)而求得數(shù)列的通項公式.對于第二個問題，學(xué)生在解題時，需仔細(xì)研究、分析數(shù)列{bn}各項之間的規(guī)律，分兩種情況討論、推出數(shù)列的通項公式，從而求得問題的答案.

教師在教學(xué)中，要采用不同的方法，培養(yǎng)學(xué)生的推理素養(yǎng)、建模素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)、運(yùn)算素養(yǎng)等.這樣不僅可以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力和創(chuàng)新思維，還能教會他們靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題，從而培養(yǎng)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).