合理構(gòu)造輔助數(shù)列，提升求解數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題的效率

求數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).對(duì)于較為簡(jiǎn)單的數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題，通?？梢灾苯舆\(yùn)用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；而對(duì)于較為復(fù)雜的問(wèn)題，我們需將遞推關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，運(yùn)用構(gòu)造法，構(gòu)造出等差、等比數(shù)列，以利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求解.那么如何將遞推關(guān)系式變形，構(gòu)造出等差、等比數(shù)列呢？下面結(jié)合實(shí)例加以介紹.

一、構(gòu)造等比數(shù)列

一般地，對(duì)于形如[an+1=kan+p]、[an+1=pan+qan-1]、[an+1=pan+qn]的數(shù)列遞推關(guān)系式，我們通?？梢韵葘⑵渥冃螢閇an+1+b=kan+b]、[an+1+kan=qkan+kan-1]、[an+1qn+1+k=pq?anqn+k]的形式，即可構(gòu)造出等比數(shù)列[an+b]、[an+kan-1]、[anqn+k]，就可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等比數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題，通過(guò)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求得數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式.

例1.已知數(shù)列[an]滿足[an+1=3an+2]，且[a1=1]，求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式.

解：由題意可知，[an+1=3an+2]，

令[an+1+b=3an+b]，則[an+1=3an+2b]，

所以[2b=2]，解得[b=1]，即[an+1+1=3an+1]，

所以數(shù)列[an+1]是一個(gè)首項(xiàng)為[2]，公比為[3]的等比數(shù)列，

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得[an+1=2?3n-1]，

所以[an=2?3n-1-1]，

故數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式為[an=2?3n-1-1].

先引入?yún)?shù)b，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為[an+1+b=3an+b]；然后將其與原遞推關(guān)系式的系數(shù)進(jìn)行比較，求得b的值，即可將遞推關(guān)系式化為[an+1+1=3an+1]，這樣就構(gòu)造出等比數(shù)列[an+1]，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得等比數(shù)列[an+1]的通項(xiàng)公式即可解題.

例2.已知數(shù)列[an]滿足[a1=2]，且[an+1=2an+2n-1n∈N?]，求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式.

解：由[an+1=2an+2n-1]，得[an+2=2an+1+2n+1-1]，

將上述兩式作差可得：[an+2-an+1=2an+1-2an+2]，

即[an+2-an+1+2an+1-an+2=2]，

又[a1=2]，[a2=5]，[a2-a1+2=5]，

所以數(shù)列[an+1-an+2]是以[5]為首項(xiàng)，以[2]為公比的等比數(shù)列，

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得[an+1-an+2=5?2n-1]，

即[2an+2n-1-an+2=5?2n-1]，

所以[an=5?2n-1-2n-1]，

故數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式為[an=5?2n-1-2n-1].

先令[n=n+1]，得出[an+2=2an+1+2n+1-1]；然后將其與原遞推關(guān)系式相減，即可得出[an+2-an+1+2an+1-an+2=2].根據(jù)等比數(shù)列的定義可以判定[an+1-an+2]是以[5]為首項(xiàng)，以[2]為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

例3.在數(shù)列[an]中，[a1=1]，[an+1=2an+3nn∈N?]，求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式.

解：在[an+1=2an+3n]的左右同時(shí)除以[3n+1]，可得[an+13n+1=2an3n+1+13]，

即[an+13n+1-1=23an3n-1]，

當(dāng)n=1時(shí)，[a13-1=13-1=-23]，

可知數(shù)列[an3n]是首項(xiàng)為[-23]，公比為[23]的等比數(shù)列，

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得[an3n-1=-23n]，

化簡(jiǎn)可得[an=3n-2n]，

且[a1=31-21=1]滿足上式，

故數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式為[an=3n-2n].

該遞推關(guān)系式形如[an+1=pan+qn]，于是在其左右同時(shí)除以[qn+1]，得到關(guān)系式[an+13n+1-1=23an3n-1]，即可構(gòu)造出等比數(shù)列[an3n-1]，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式.

可見(jiàn)，要構(gòu)造出等比數(shù)列，需將遞推關(guān)系式變形為[bn+1=qbn]的形式，即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為常數(shù)，便可根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式來(lái)解題.

二、構(gòu)造等差數(shù)列

對(duì)于形如[a2n+1-a2n=c]（[c]為常數(shù)）、[1an+1-1an=k]的遞推關(guān)系式，我們通常要將其變形為[bn+1-bn=k]的形式，就能根據(jù)等差數(shù)列的定義構(gòu)造出等差數(shù)列式[bn]、[1an]，再運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可快速求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例4.在數(shù)列[an]中，[a1=5]，[a2n+1=a2n-4]，[n∈N]，求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式.

解：令[bn=a2n]，

由[a2n+1=a2n-4]可得[bn+1=bn-4]，

所以數(shù)列[bn]是首項(xiàng)[b1=a21=25]，公差[d=-4]的等差數(shù)列，

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得[bn=25+n-1×-4=29-4n]，

可知[a2n=29-4n]，

故[an=29-4n（n∈N?）].

我們直接令[bn=a2n]，即可得出[bn+1=bn-4]，由等差數(shù)列的定義可知[bn]是首項(xiàng)[b1=a21=25]，公差[d=-4]的等差數(shù)列，那么根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求[bn]，就可以求得數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式.

例5.在數(shù)列[an]中，[a1=12]，[an+1=3anan+3n∈N?]，求數(shù)列[an]通項(xiàng)公式.

解：由[an+1=3anan+3]得[an+1an=3an-3an+1]，

在上式的兩邊同時(shí)除以[3an+1an]得[1an+1-1an=13]，

由等差數(shù)列定義可知，數(shù)列[1an]是首項(xiàng)為[2]，公差為[13]的等差數(shù)列，

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得[1an=2+13n-1=13n+53]，

故數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式為[an=3n+5][n∈N?].

首先將遞推關(guān)系式[an+1=3anan+3]變形，可得[1an+1-1an=13]，即可構(gòu)造出首項(xiàng)為[2]，公差為[13]的等差數(shù)列[1an]，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得[an]，即可求得問(wèn)題的答案.

可見(jiàn)，萬(wàn)變不離其宗.無(wú)論這些遞推關(guān)系式如何變化，我們只要掌握其規(guī)律和本質(zhì)，就可以將問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題，利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式順利求得問(wèn)題的答案.但構(gòu)造法的技巧性較強(qiáng)，要構(gòu)造出合適的等比數(shù)列、等差數(shù)列，同學(xué)們需仔細(xì)研究數(shù)列的遞推關(guān)系式，對(duì)其進(jìn)行合理的變形，以根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式來(lái)解題.

本文系江蘇省教育學(xué)會(huì)“十四五”教育科研規(guī)劃2023年度課題《基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)“思考力課堂”實(shí)踐研究》（課題編號(hào)：編號(hào)23A06SXSQ180）研究成果之一.