求解含參不等式恒成立問題的幾種途徑

含參不等式恒成立問題常與函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識點(diǎn)相結(jié)合.此類題目具有很強(qiáng)的綜合性，對同學(xué)們的綜合分析和運(yùn)算能力有較高的要求.很多同學(xué)在求解此類問題時常常不知道如何處理參數(shù)和變元，導(dǎo)致解題失敗.對此，筆者對求解此類問題的路徑進(jìn)行了歸納，下面作具體的介紹.

一、分離參變量

若含參不等式中的參數(shù)和變量容易被分離出來，則可考慮運(yùn)用分離參數(shù)法來解題.首先將不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危箙?shù)和變量分別在不等號的兩側(cè)；然后將不含有參數(shù)的式子構(gòu)造成函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)、極值的定義求得函數(shù)的最值，使最值恒大于或小于參數(shù)，即可解題.

例1.已知函數(shù)[fx=lnx-ax]，若[fxlt;x2]在[1，+∞]上恒成立，則[a]的取值范圍是_________.

解：由[fxlt;x2]可得[lnx-axlt;x2?xlnx-alt;x3?agt;xlnx-x3]，其中[x∈1，+∞]，

所以要使不等式恒成立，需使[agt;xlnx-x3max]，

令[gx=xlnx-x3]，可得[g（x）=1+lnx-3x2]，[g（1）=-2]，

而[gx=1x-6x=1-6x2xlt;0]，

所以[g（x）]在[1，+∞]上單調(diào)遞減，則[g（x）lt;g（1）lt;0]，

所以[g（x）]在[1，+∞]上單調(diào)遞減，則[gxlt;g1=-1]，

則[a≥-1].

我們首先將不等式進(jìn)行變形，使其中的變量和參數(shù)分離，得出[agt;xlnx-x3]；然后構(gòu)造函數(shù)[gx=xlnx-x3]，并對其進(jìn)行二次求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)[g（x）]在[1，+∞]上的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)極值的定義求得函數(shù)[g（x）]的最大值，使得[agt;xlnx-x3max]，即可解題.

二、變更主元

有些題目中告知了主元或參數(shù)的取值范圍，此時可將參數(shù)視為主元，通過變更主元，將原不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的新不等式，從而轉(zhuǎn)換解題的角度，順利求得問題的答案.

例2.已知對于任意的[m∈[-2，2]]，不等式[2x-1gt;m（x2-1）]恒成立，求[x]的取值范圍.

解：將[2x-1gt;m（x2-1）]變形可得[-（x2-1）m+2x-1gt;0]，

設(shè)[f（m）=-（x2-1）m+2x-1，m∈[-2，2]]，

因為函數(shù)[f（m）]是關(guān)于[m]的一次函數(shù)，

要使不等式[f（m）gt;0]恒成立，需要滿足[f（-2）gt;0，f（2）gt;0，]

即[2（x2-1）+2x-1gt;0，-2（x2-1）+2x-1gt;0，]

解得[7-12lt;xlt;3+12]，

則[x]的取值范圍為[（7-12，3+12）].

先將不等式變形，然后構(gòu)造關(guān)于m的一次函數(shù)[f（m）=-（x2-1）m+2x-1，m∈[-2，2]]，即可將原不等式轉(zhuǎn)化為[f（m）gt;0]對于任意[m∈[-2，2]]恒成立；再根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性來建立關(guān)于x的不等式組，即可通過解不等式組獲解.

三、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合法是解答數(shù)學(xué)問題的重要方法.對于含參不等式恒成立問題，先將不等式變形；然后構(gòu)造函數(shù)，將不等式化為[f（x）gt;0]、[f（x）lt;0]、[f（x）gt;g（x）]、[f（x）lt;g（x）]的形式；再在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，通過討論函數(shù)圖象與x軸，以及兩個函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系確定臨界值，建立使不等式恒成立的關(guān)系式即可.

例3.當(dāng)[x∈（1，2）]時，不等式[（x-1）2lt;logax]，agt;1恒成立，求[a]的取值范圍.

解：設(shè)[y1=（x-1）2，y2=logax，x∈（1，2）]，

則[y1=（x-1）2]的圖象是拋物線的一部分，[y2=logax]的圖象是一條遞增的曲線，如圖所示.

由圖可知，要使[（x-1）2lt;logax]恒成立，需使[y1=（x-1）2]的圖象始終在函數(shù)[y2=logax]圖象的下方.

當(dāng)[agt;1]且[x=2]時，函數(shù)[y2=logax]的值始終大于函數(shù)[y1=（x-1）2]的值，所以[loga2≥1]，即[a≤2]，由此得到[a]的取值范圍為[（1，2]].

根據(jù)不等式的特征構(gòu)造函數(shù)[y1=（x-1）2，y2=logax，] [x∈（1，2）]，即可將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題.再結(jié)合函數(shù)的圖象討論兩個函數(shù)圖象的位置關(guān)系，找出臨界情形：[x=2]，據(jù)此建立代數(shù)關(guān)系式，即可解題.

四、分類討論

由于含參不等式問題中涉及了參數(shù)，而參數(shù)的取值往往是不確定的，所以通常要運(yùn)用分類討論法對參數(shù)進(jìn)行討論.在運(yùn)用分類討論法解題時，首先要確定參數(shù)的取值對不等式的影響，以確定分類的標(biāo)準(zhǔn)；然后分成幾個類別，逐層逐級進(jìn)行討論；最后取并集，即可求得參數(shù)的取值范圍.

例4.對于任意的[x∈[-2，2]]，不等式[x2+ax+3-a≥0]恒成立，求[a]的取值范圍.

解：設(shè)[f（x）=x2+ax+3-a=（x+a2）2-a24-a+3]，

令[f（x）]在[x∈[-2，2]]上的最小值為[g（a）].

①當(dāng)[-a2lt;-2]，即[agt;4]時，[g（a）=f（-2）=7-3a]，

要使[g（a）≥0]，需使[7-3a≥0]，即[a≤73]，顯然[a]不存在；

②當(dāng)[-2≤-a2≤2]，即[-4≤a≤4]時，[g（a）=f（-a2）=-a24-a+3]，

由[g（a）≥0]得[-6≤a≤2]，所以[-4≤a≤2]；

③當(dāng)[-a2gt;2]，即[alt;-4]時，[g（a）=f（2）=7+a]，

由[g（a）≥0]可得[a≥-7]，所以[-7≤alt;-4].

綜上所述：[a]的取值范圍為[[-7，2]].

將函數(shù)式配方可得[f（x）=（x+a2）2-a24-a+3].由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，需對函數(shù)的定義域與對稱軸的位置進(jìn)行討論，于是分對稱軸[x=-a2]在定義域[[-2，2]]的左側(cè)、中間、右側(cè)，即[-a2lt;-2]、[-2≤-a2≤2]、[-a2gt;2]三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.

五、采用先猜后證法

對于較為復(fù)雜的含參不等式恒成立問題，我們可以采用先猜后證法，通過嘗試代入特殊值的方式，或根據(jù)解題經(jīng)驗猜想出問題的答案；然后利用所學(xué)的知識對其進(jìn)行證明，從而使問題得解.在證明結(jié)論的過程中，可以利用反證法、放縮法、分析法.

例5.已知函數(shù)[f（x）=ex（lnx-a）]，若對于任意的實(shí)數(shù)[x∈[1，+∞）]， [f（x）≥-1]恒成立，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍.

解：由于不等式[f（x）≥-1]在[[1，+∞）]內(nèi)恒成立，

所以令[x=1]，得[f（1）≥-1]，即[-aex≥-1]，解得[a≤1e]，

則只需要證明當(dāng)[a≤1e]時，不等式[f（x）≥-1]在[[1，+∞）]內(nèi)恒成立，

即證：當(dāng)[a≤1e]時， [f（x）=ex（lnx-a）≥ex（lnx-1e）≥1].

令[g（x）=ex（lnx-1e）]，

對其求導(dǎo)得[g（x）=ex（lnx+1x-1e）].

令[h（x）=lnx+1x-1e]，

對其求導(dǎo)得[h（x）=1x-1x2=x-1x2]，

所以在[（0，1）]上，[h（x）lt;0]，則[h（x）]單調(diào)遞減；在[（1，+∞）]上，[h（x）gt;0]，則[h（x）]單調(diào)遞增，

所以[h（x）min=h（1）=1-1egt;0].

所以[g（x）gt;0]，則[g（x）]單調(diào)遞增，

可得[g（x）min=g（1）=-1].

所以原不等式恒成立，即[a]的取值范圍是[（-∞，1e].]

先將[x=1]代入不等式中，即可得出[a≤1e]，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)和極值對其進(jìn)行證明，即可解題.先猜后證法相對來說較為簡單，解題的關(guān)鍵在于找到答案并且選用合適的方法來進(jìn)行證明.

可見，含參不等式恒成立問題的命題形式多種多樣，解法眾多.同學(xué)們在解題時，要抓住不等式的特征，將其進(jìn)行合理的變形、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化，靈活運(yùn)用函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識求得問題的答案.