例談兩類函數(shù)定義域問題的解法

定義域是函數(shù)的三要素之一.函數(shù)的定義域問題 主要有兩類，一是具體函數(shù)（給出了具體解析式的函 數(shù)）的定義域問題，二是抽象函數(shù)（沒有給出具體解析 式的函數(shù)）的定義域問題.下面結(jié)合例題，談一談這兩 類問題的解法.

一、具體函數(shù)的定義域問題

求具體函數(shù)的定義域，要確保函數(shù)的解析式有意 義，如（1）分式的分母不為零；（2）偶次根式的被開方 式大于或等于 0；（3）x 0 中的 x ≠ 0 ；（4）ax 中的 a gt; 0 且 a ≠ 1 ；（5） loga x 中的 a gt; 0 且 a ≠ 1 ，x gt; 0 ；（6）tan x 中的 x ≠ kπ + π 2 ，k ∈ Z ，據(jù)此建立關(guān)于自變量的不等式 組，取其交集即可確定函數(shù)的定義域.

例1

解

該函數(shù)的解析式中含有二次根式、對數(shù)式和分 式，要使解析式有意義，需使二次根式下的被開方式 大于或等于0，對數(shù)式的真數(shù)大于零，分式的分母不為 零，根據(jù)這些條件建立不等式組，取其交集即可求得 函數(shù)的定義域.

例2

解

該函數(shù)的解析式中含有零次冪、二次根式、分式. 因?yàn)?00 無意義，所以 x + 1 ≠ 0 .又因?yàn)榉帜覆荒転?0， 二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即 |x| - x gt; 0 .取兩個不 等式的交集，即可求出函數(shù)的定義域.

二、抽象函數(shù)的定義域問題

抽象函數(shù)的定義域問題主要有兩種命題形式：由f（x）的定義域求f（g（x））的定義域，以及由f（g（x））的定義域求f（x）的定義域.（1）若已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，則需通過求不等式a≤g（x）≤b的解來求復(fù)合函數(shù)f（g（x））的定義域；（2）若已知函數(shù)f（g（x））的定義域?yàn)閇a，b]，則f（x）的定義域?yàn)間（x）在[a，b]上的值域.

例3.（1）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，求f（x2-1）的定義域；

（2）已知函數(shù)f（2x-3）的定義域?yàn)閇1，3），求f（1-3x）的定義域.

解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，所以0≤x2-1≤1，即1≤x2≤2，

解得-≤x≤-1或1≤x≤，

故函數(shù)f（x2+1）的定義域?yàn)閇-，-1]?[1，2].（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（2x-3）的定義域?yàn)閇1，3），

即1≤xlt;3，所以-1≤2x-3lt;3，

則f（x）的定義域?yàn)閇-1，3）.

所以f（1-3x）中的1-3x要滿足-1≤1-3xlt;3，解得-lt;x≤，

所以函數(shù)f（1-3x）的定義域?yàn)?，.

解答第一個問題，需明確：函數(shù)f（x）中的x和函數(shù)f（x2-1）中的x2-1等價(jià)，據(jù)此建立不等式，即可求出函數(shù)f（x2-1）的定義域.解答第二個問題，要先根據(jù)函數(shù)f（2x-3）的定義域求出2x-3的范圍，據(jù)此確定f（x）的定義域；然后根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域求f（1-3x）的定義域.

總之，解答函數(shù)的定義域問題，要仔細(xì)研究函數(shù)的解析式，首先要確保函數(shù)的解析式有意義；其次要明確復(fù)合函數(shù)中外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)的自變量之間的關(guān)系，通過等價(jià)轉(zhuǎn)換求得自變量的取值范圍.

（作者單位：安徽省六安中學(xué)）