一道中考探究題的教學啟示

摘要：探究題是數(shù)學中考的熱門考試題型，此類題型背景多變，方法新穎，對學生能力的要求高，學生大多對此類題型感到棘手;同時，對教師的教學具有重要啟示作用.本文中以2023年福建中考數(shù)學第23題為例，對其解法進行探索，聯(lián)系教材回歸試題原型，進一步探討實踐活動課對于數(shù)學教學的意義.

關鍵詞：中考；探究題；活動課；教學啟示

在中考試題命題趨勢的引領下，實踐類試題將更引發(fā)教師重視與思考.幫助學生有效提升解決此類試題的方法就是運用好數(shù)學活動課.數(shù)學活動課不管是對于教師還是學生而言，都具有一定的難度.數(shù)學實踐活動課是以數(shù)學知識為核心的活動課程，這些活動課程通常在一個章節(jié)的章末以材料的形式出現(xiàn)，但由于課時的限制，這些數(shù)學活動課程往往容易被教師忽視，這也導致學生通常對數(shù)學理論知識掌握得比較好，但實踐應用能力較低.形式多樣、開放性強、趣味性高的數(shù)學活動課程，不僅可以讓學生更加主動、積極地參與課堂，發(fā)揮其主觀能動性，而且能夠幫助學生從理論層面結合實踐進行操作，有利于發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生數(shù)學能力，真正實現(xiàn)綜合素質(zhì)的提升[J].本文中以2023年福建中考數(shù)學第23題為例，對其解法進行探索，聯(lián)系教材回歸試題原型，進一步探討實踐活動課對于數(shù)學教學的意義.

1 題目呈現(xiàn)

例（2023年福建中考第23題）閱讀下列材料，回答問題.

任務：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度AB遠大于南北走向的最大寬度，如圖1.

工具：一把皮尺（測量長度略小于AB）和一臺測角儀，如圖2.皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點O處，對其視線可及的P，Q兩點，可測得∠POQ的大小，如圖3.

問題請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度AB，寫出你的測量及求解過程．要求：測量次數(shù)不超過4次，且測量次數(shù)最少，才能得滿分．

評析：本題是一道創(chuàng)新類實踐問題，綜合性較強，考查兩點間距離的概念及其度量、角度概念及其度量、相似三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形等基礎知識；考查抽象能力、空間觀念、幾何直觀、應用意識、創(chuàng)新意識等，考查應用所學知識分析與解決問題的綜合實踐能力、數(shù)形結合思想、模型觀念等，考查能力較為全面.從設計意圖上來看，要求學生能夠運用提供的工具對模型進行變式與優(yōu)化，培養(yǎng)學生的模型觀念、創(chuàng)新意識和應用意識.

2 解法賞析

對于本題，先從兩個測量工具的用途進行分析，皮尺的用途是測量長度，由于其測量長度小于AB的長，所以需要通過多次測量才能求出AB的長；測角儀顧名思義就是用來測量角度的大小.如果僅用皮尺來測量，可以通過相似三角形的“邊角邊”這一判定方法對問題進行求解，主要是對邊這一條件的應用，但測量次數(shù)超過了4次.增加測量工具測角儀，實際上是在引導學生從角上面去尋求解題突破.而題目對于測量的次數(shù)要求要最少，所以對學生能力的要求比較高.基于已給解法和要求，得到如下解答.

法1：測量兩角一邊.

（1）在小水池外選點C，如圖4，用測角儀在B處測得∠ABC=α，在點A處測得∠BAC=β.

（2）用皮尺測得BC=a.

由測量知，在△ABC中，∠ABC=α，∠BAC=β，BC=a.過點C作CD⊥AB，垂足為D.

在Rt△CBD中，cos∠CBD=BDBC，即cos α=BDa，所以BD=acos α.同理，CD=asin α.

在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD，即tan β=asin αAD，所以AD=asin αtan β.

所以AB=BD+AD=acos α+asin αtan β.

故小池的最大寬度為acos α+asin αtan β.

法2：測量兩邊一角.

（1）在小水池外選點C，如圖5，用測角儀在B處測得∠ABC=α.

（2）用皮尺測得BC=a，AC=b.

由測量知，在△ABC中，∠ABC=α，BC=a，AC=b.過點C作CD⊥AB，垂足為D.

在Rt△CBD中，cos ∠CBD=BDBC，即cos α=BDa，所以BD=acos α.同理，CD=asin α.

在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，得

AD=AC2－CD2=b2－a2sin2α.

所以AB=BD+AD=acos α+b2－a2sin2α.

故小池的最大寬度為acos α+b2－a2（sin α）2.

3 回歸教材

本題是一道實踐探究題，試題的原型在人教版第二十八章“銳角三角函數(shù)”的“數(shù)學活動”中，該活動主要有兩個內(nèi)容，活動1是通過制作測角儀，測量樹的高度，活動2則是利用測角儀測量塔高，本試題的命題來自于對活動2的改編.

試題原型：利用測角儀測量塔高.

（1）在塔前的平地上選擇一點A，用活動1中制作的測角儀測出你看塔頂?shù)难鼋铅粒▓D6）；

（2）在點A和塔之間選擇一點B，測出你由點B看塔頂?shù)难鼋铅拢?/p>

（3）量出A，B兩點間的距離；

（4）計算塔的高度.

將試題和其原型對比，試題的原型是通過可操作性的步驟引導學生進行測量和表述，而試題是通過創(chuàng)新情境讓學生結合所給工具獨立設計方法解決問題，是對試題原型的拓展提升，旨在考查學生的創(chuàng)新意識.

4 教學啟示

4.1 重視數(shù)學課程活動開展，引導學生在體驗中領悟數(shù)學

數(shù)學課堂教學與數(shù)學活動是相輔相成、密不可分的，在教學過程中，如果充分發(fā)揮數(shù)學活動課的優(yōu)勢，將具體生動的實際情境重現(xiàn)于數(shù)學課堂，可以促進數(shù)學理論知識與實踐應用的結合，培養(yǎng)學生的應用意識和創(chuàng)新能力.在利用測角儀測量塔高這一活動中，教師可以給學生提供按照比例縮小的具體實物模型，以小組的形式讓學生通過測量、計算得到結論.在活動中，不僅有動手操作的過程，還可以幫助學生更深入地理解三角函數(shù)，運用所學知識解決實際問題，彰顯“數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學”，引導學生將實際問題數(shù)學化，從而找到解決問題的方法.就如2023年福建中考第23題的考點，不僅要有扎實的基礎，還要進行方法的創(chuàng)新.雖說試題原型來源于課本，但其變式的思維難度更大，需要學生更深入地挖掘題目和解法背后所蘊含的數(shù)學思想.這一道探究題的設置也啟示教師在初中數(shù)學課堂的教學中應當多給學生一些機會，讓他們?nèi)ンw驗；多給學生一些機會，讓他們?nèi)フ页龃鸢?；多給學生一些思維空間，讓他們?nèi)ンw驗，在數(shù)學活動課中滲透數(shù)學思維教學[J].

4.2 重視知識形成過程，培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力

本試題要求學生要有扎實的基礎，對“相似三角形的判定和性質(zhì)”的靈活應用可為后續(xù)的推理順利進行提供助力.想要學生在這類探究性問題上能有大的突破，教師在教學過程中就要保證學生有足夠的參與度，注重知識的形成過程和前后聯(lián)系，建構知識結構，讓學生對知識的發(fā)展和深化過程有必要的了解，從而培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.2023年福建中考第23題實際上就是在對所學知識進行建構、重組，形成新的方案，從知識生長的角度對基本圖形進行變式、遷移應用，通過解直角三角形的思路進行方法的延伸.本題跳出常見的用相似和通過解直角三角形求幾何圖形中某線段的長的套路，利用獨立設計思路的形式進行考查，頗具匠心.

參考文獻：

[1]方強.初中數(shù)學活動課之啟示[J].江西教育，2016（6）：29.

[2]武晨.以“活動”引領課堂教學——談數(shù)學活動課的教學意義[J].遼寧高職學報，2018，20（3）：39-41，44.