巧用“平行”求“面積”，獨(dú)辟蹊徑破瓶頸

評價(jià)學(xué)校教學(xué)質(zhì)量的重要指標(biāo)是中考成績，眾多一線初三教師肩負(fù)升學(xué)重?fù)?dān)，披星戴月，全力以赴，迎戰(zhàn)中考.在初三第二學(xué)期“百日誓師”以后，我校集備組做出精準(zhǔn)舉措，備戰(zhàn)中考，精心做好基礎(chǔ)訓(xùn)練與中上壓軸題的專題導(dǎo)學(xué)案，全力提高整體成績與拔尖成績，為中考沖刺奮力拼搏.筆者認(rèn)真分析了近年各地中考試題，對常規(guī)壓軸題的解法有所感悟.如近年中考的綜合壓軸題中，二次函數(shù)面積類綜合題，也是各地中考壓軸題的熱點(diǎn)，對于廣大學(xué)生來說，更是難啃的骨頭.筆者推敲了該類題的解題策略，其中，“平行線”條件的巧妙應(yīng)用，可以破解“面積類”壓軸難題的“瓶頸”.筆者從長年的初中畢業(yè)班數(shù)學(xué)執(zhí)教經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以2022年廣東省的最后一題壓軸題的變式教學(xué)為例，在“面積類綜合題”的突破教學(xué)中，巧妙運(yùn)用“平行線”，建立面積變換模型，破“瓶頸”為“坦途”，一題多變，由淺入深，逐層遞進(jìn)地充分發(fā)揮一道題的作用，從而厘清知識的內(nèi)涵與外延，拓寬學(xué)生思維能力，達(dá)到把“不能做的難題”當(dāng)成“一眼望穿窿”的效果，讓學(xué)生迅速得到解法，點(diǎn)燃學(xué)生對壓軸題、難題的解題希望，喚醒學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的激情與內(nèi)驅(qū)力，從而提升復(fù)習(xí)效率.

1 真題再現(xiàn)，命題剖析

1.1 真題再現(xiàn)

中考原題（2022年廣東省卷第23題，12分）如圖1，拋物線y=x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求△CPQ面積的

最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

1.2 命題剖析

本題是以二次函數(shù)為背景的綜合壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)等核心知識，傳統(tǒng)解法是通過求解三角形面積進(jìn)行組合，或鉛錘法分割再組合.本題綜合性較強(qiáng)，中上難度，深入考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、建模思想等，后一問有點(diǎn)難度，突破技巧性強(qiáng)，題型重要，是歷年各地中考命題的熱點(diǎn)，是一道能考查核心基礎(chǔ)與能力又有區(qū)分度的好題.

2 策略解讀，思路突破

2.1 策略解讀

第（1）小問是基礎(chǔ)（送分）題，先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線y＝x2+bx+c，即可求解.

第（2）小問有不同的解法，筆者認(rèn)為，最簡易的方法是優(yōu)先從“PQ∥BC”入手，構(gòu)建三角形相似（關(guān)于面積）模型，運(yùn)用“相似三角形的面積比等于相似比的平方”性質(zhì)列式，求出△APQ的面積，再求出△APC的面積，從而構(gòu)建“S△APC－S△APQ”所得圖形的面積模型，即表示出△PCQ的面積，最后就可以用二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積最大值.

2.2 思路突破

對于第（1）問，根據(jù)A（1，0），AB＝4，求出B（-3，0），把A，B的坐標(biāo)代入拋物線y＝x2+bx+c，即可得解析式為y＝x2+2x-3.

對于第（2）問，如圖2所示，設(shè)P（m，0），則PA＝1-m.

易求得拋物線的頂點(diǎn)C為（-1，-4）.

由PQ∥BC，證得

△APQ∽△ABC.

所以S△APQS△ABC=APAB2，即

S△APQ12×4×|－4|=1－m42，

從而用含m的代數(shù)式表示出：

S△APQ=12m2－m+12;

再用含m的代數(shù)式求出：

S△APC=12（1－m）×4

=2－2m.

易得：

S△PCQ=S△APC－S△APQ

=（2－2m）－12m2－m+12

=-12（m+1）2+2.

最后，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，

當(dāng)m＝-1時(shí)，S△PCQ取得最大值2，即△CPQ面積的最大值為2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）.

3 解后思考，方法賞析

面積類的綜合壓軸題常用的解法有直接面積公式法、鉛錘線法、割補(bǔ)組合法等，但是當(dāng)條件中有“平行線”時(shí)，優(yōu)先用“平行線”建立三角形相似的模型，運(yùn)用“相似三角形的面積比等于相似比的平方”這一性質(zhì)，求得相關(guān)三角形的面積，其中有關(guān)面積相等或面積倍數(shù)關(guān)系則常用到“兩平行線間的距離相等”“等底（高）的三角形面積比等于高（底）的比”等面積變換模型.這些“輕飄飄”的結(jié)論或模型，能夠暢通無阻般破解面積類難題的瓶頸，往往對解決面積類的壓軸題，有意想不到的效果.

4 變式生長，“平行”破題

4.1 變式生長

如圖3，拋物線y=x2+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C（0，-3），已知AB=4，對稱軸在y軸左側(cè).

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在拋物

線上，且S△PBC=92，

請求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）將（2）變

式：

①若S△PAB=2S△ABC，

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②若S△PBC=2S△ABC，

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

③若點(diǎn)P在x軸上方，

S△APC=S△APB，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

4.2 “平行”破題

（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，0），則點(diǎn)B（n+4，0），拋物線為y=（x－n）（x－n－4）.將C（0，-3）代入，得－3=（0－n）（0－n－4）.解得，n=－3，或n=-1（舍去）.

故拋物線的解析式為y=（x+3）（x－1）.

（2）如圖4，在AB上取點(diǎn)M，使S△MBC=92，然后過M作BC的平行線，與拋物線交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，列方程組可出求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）①如圖5，在y軸上取點(diǎn)E，使EO=2CO.過E作AB平行線，與拋物線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P.理由：等底的兩個(gè)三角形面積比等于高的比.

（3）②如圖6，在x軸上取點(diǎn)F，使FB=2AB，過點(diǎn)F作BC平行線，與拋物線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，列方程組可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

理由：等底的兩個(gè)三角形面積比等于高的比.

（3）③如圖7，AP為公共邊，則BC∥AP，過點(diǎn)A作BC的平行線，與拋物線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，列方程組可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

理由：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等.

5 教學(xué)反思，學(xué)習(xí)建議

“平行線”構(gòu)造的面積變換模型是初中數(shù)學(xué)中的重要模型，合理利用該模型可以直接獲得面積關(guān)系，這樣可以繞過常規(guī)的“鉛錘法”“面積公式法”等的復(fù)雜思維及繁瑣計(jì)算，從而容易破解面積類的壓軸題，把“難纏”的壓軸題變得容易解決.

常言道：“授之以魚，不如授之以漁.”在中考復(fù)習(xí)沖刺階段，教師不能再直接以定理和規(guī)律的重現(xiàn)來講解平面幾何理論知識，而應(yīng)關(guān)注學(xué)生通性通法的形成與積累.讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中感知、感悟和體驗(yàn)，逐步形成解題的思想、方法與能力，形成相關(guān)知識的模型架構(gòu).從模型的角度出發(fā)，借助積累的模型結(jié)論幫助學(xué)生打開思維，促進(jìn)學(xué)生對知識的理解和應(yīng)用，促使學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合意識，形成其知識結(jié)構(gòu)和思想方法，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，最終形成自己的解題技巧，激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)自信心，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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[3]張久旺.模型構(gòu)建直觀突破，解讀反思思維提升——以一道中考函數(shù)與幾何壓軸題為例.中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（4）：53-54.