“點(diǎn)線式”教學(xué)：讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思路更明晰

數(shù)學(xué)教學(xué)要根植于教材內(nèi)容，立足于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，找準(zhǔn)教學(xué)的邏輯起點(diǎn)，理清教學(xué)思路（思路決定出路），優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，有效實(shí)施教學(xué).眾所周知，知識(shí)是能力的基礎(chǔ)，能力是知識(shí)的升華，思想方法是其靈魂，問題解決是知識(shí)的運(yùn)用，是獲得能力的途徑.教學(xué)過程中，應(yīng)注重學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解，注重思想方法的滲透與提煉，以此提高學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與體悟數(shù)學(xué)的能力.本文中以“二次函數(shù)圖象和性質(zhì)”教學(xué)為依托，通過教材整合，試圖探索出以“點(diǎn)”為根（以核心知識(shí)點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)向縱橫延伸）、以“線”串“珠”（以線貫穿，形成聯(lián)系）的課堂教學(xué)新思路，并讓學(xué)生從中領(lǐng)悟“明晰學(xué)習(xí)思路”的重要作用與價(jià)值.下面以“二次函數(shù)圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系”教學(xué)為例，談?wù)匋c(diǎn)線式教學(xué)法的探索與思考.

1 “點(diǎn)線式教學(xué)法”的內(nèi)涵解讀

這里的“點(diǎn)”是數(shù)學(xué)教學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)，也是引出問題的切入點(diǎn)，展開問題的源點(diǎn)，通過點(diǎn)的變化與延伸，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，在活動(dòng)中將知識(shí)點(diǎn)串成線，構(gòu)造成線狀、線性的問題鏈.其中知識(shí)點(diǎn)的發(fā)展和變化為教學(xué)中的明線，數(shù)學(xué)思想方法的提煉為暗線，這里的“線”就是知識(shí)線、方法線、思想線.按照這樣的線索，將分散的、孤立的知識(shí)，通過“點(diǎn)”的延伸變化，重新整合，讓學(xué)生對知識(shí)的認(rèn)識(shí)豐實(shí)、有序、成型.這里的“線”指的是知識(shí)體系、數(shù)學(xué)方法系列、數(shù)學(xué)思想系統(tǒng)及能力發(fā)展架構(gòu).

“點(diǎn)線式教學(xué)法”倡導(dǎo)“知識(shí)系統(tǒng)化，系統(tǒng)能力化”“知識(shí)問題化，問題線性化”.教師圍繞知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)問題，學(xué)生圍繞知識(shí)點(diǎn)回答問題、解決問題；教師沿線性螺旋上升式展開教學(xué)，學(xué)生沿螺旋上升式建構(gòu)知識(shí)體系，形成數(shù)學(xué)能力.

“點(diǎn)線式教學(xué)法”基本模式如圖1所示：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c中的系數(shù)a，b，c的符號(hào)影響著拋物線的形狀與位置，本課例圍繞此知識(shí)點(diǎn)展開，通過整合教材（教材中沒有現(xiàn)成內(nèi)容），理清思路，雙向探究，經(jīng)歷由數(shù)到形、再由形到數(shù)的學(xué)習(xí)過程，以“點(diǎn)”為根，不斷生長“知識(shí)樹”，并從中自然提煉出“數(shù)形結(jié)合思想”，讓學(xué)生再次體會(huì)此思想方法的應(yīng)用魅力.

2 “點(diǎn)線式教學(xué)法”的教學(xué)原則

（1）主動(dòng)學(xué)習(xí)原則

學(xué)習(xí)應(yīng)該是積極主動(dòng)的，不能只是被動(dòng)式的，不經(jīng)過自己的腦子思考就很難學(xué)到新東西，就是說學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它.“點(diǎn)線延伸，知識(shí)重構(gòu)”課堂教學(xué)就是有序地提供了情境，讓學(xué)生提出問題，并自行解決問題，方法讓學(xué)生總結(jié)，結(jié)論讓學(xué)生提煉，讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，教師只起助推的作用.

（2）最佳動(dòng)機(jī)原則

“點(diǎn)線式教學(xué)法”能提供一個(gè)令學(xué)生感興趣的情境，可以是一個(gè)圖形，也可以是一個(gè)問題.在教學(xué)中，“點(diǎn)線式教學(xué)法”課堂教學(xué)就是盡力促使學(xué)生形成最佳學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，使學(xué)生保持旺盛的學(xué)習(xí)勁頭，積極自覺地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中去.

（3）循序漸進(jìn)原則

波利亞將學(xué)習(xí)過程分為三個(gè)階段：（1）探索階段；（2）形式化階段；（3）同化階段.“點(diǎn)線面教學(xué)法”課堂教學(xué)就是通過創(chuàng)設(shè)情境，促使學(xué)生自主提出問題，主動(dòng)探索，通過一個(gè)個(gè)問題的解決，形成解題方法；引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對比、類比、化歸等過程，轉(zhuǎn)化為自身的體驗(yàn)及收獲.

（4）系統(tǒng)聯(lián)系性原則

數(shù)學(xué)知識(shí)并非雜亂無章地堆積在一起，而是按一定的結(jié)構(gòu)、層次相互聯(lián)系、相互制約.數(shù)學(xué)“情境—問題”教學(xué)的基本模式強(qiáng)調(diào)四個(gè)環(huán)節(jié)密切聯(lián)系，它們相互依存、相互制約，構(gòu)成了“情境—問題（橫向、縱向與綜合）—解決—應(yīng)用—情境—提問—解決—應(yīng)用……”這樣一個(gè)有機(jī)相聯(lián)，首尾貫通，不斷延伸、開放、動(dòng)態(tài)的教學(xué)系統(tǒng).在課堂教學(xué)中既可以從某個(gè)環(huán)節(jié)切入，也可以在適當(dāng)?shù)沫h(huán)節(jié)結(jié)束，從而發(fā)揮其系統(tǒng)功能，獲得整體的綜合效果.

3 “點(diǎn)線式”教學(xué)實(shí)踐與分析

“點(diǎn)線式教學(xué)法”課堂教學(xué)設(shè)計(jì)是在深入解讀課本、尊重學(xué)生差異、了解學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)及年齡特征等基礎(chǔ)上，精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題和教學(xué)過程.因“點(diǎn)”循導(dǎo)，沿“線”展開；每節(jié)課串聯(lián)就是一條線，學(xué)一法、會(huì)一類、悟一片，理解問題、思考問題、提出問題；再通過學(xué)生感悟及教師點(diǎn)撥，促進(jìn)知識(shí)的生成和數(shù)學(xué)思想方法的提煉，注重發(fā)揮學(xué)生主體作用，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)整體的形成，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣，在師生互動(dòng)中自覺或不自覺形成學(xué)習(xí)策略，促進(jìn)自信.

3.1 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：知識(shí)回顧——由“數(shù)”想“形”

設(shè)置如下兩個(gè)問題：（1）二次函數(shù)的定義是什么？（2）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)公式是什么？以此讓學(xué)生回憶學(xué)習(xí)過的知識(shí)，由數(shù)產(chǎn)生聯(lián)想，在頭腦中形成拋物線圖形，從而實(shí)現(xiàn)“眼中有數(shù)，心中有形”的“點(diǎn)線模式”.

環(huán)節(jié)2：任務(wù)展示——“點(diǎn)”“線”著手

（1）“點(diǎn)”的知識(shí)：①由a，b，c及Δ的符號(hào)，確定拋物線在坐標(biāo)系中的大致位置；②由拋物線在坐標(biāo)系中的位置，確定a，b，c等字母或有關(guān)式子的符號(hào).

（2）“線”的聯(lián)系：①“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系；②二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象間的聯(lián)系.

環(huán)節(jié)3：探索歸納——“數(shù)”“形”轉(zhuǎn)換

師生共同探究拋物線的位置與系數(shù)a，b，c及Δ的關(guān)系（如圖2）.先由圖象得出系數(shù)符號(hào)；再由符號(hào)得出圖象大致位置；然后總結(jié)歸納：

（1）a的符號(hào)決定拋物線的開口方向；（2）a，b決定拋物線對稱軸的位置；（3）c決定拋物線與y軸交點(diǎn)（0，c）的位置；（4）b2-4ac的符號(hào)決定拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

環(huán)節(jié)4：學(xué)以致用

（1）由“形”看“數(shù)”

拋物線y=ax2+bx+c如圖3所示，試確定各圖對應(yīng)的a，b，c及Δ的符號(hào).

（2）由“數(shù)”得“形”

若agt;0，bgt;0，cgt;0，請你畫出y=ax2+bx+c的大致圖象，并寫出圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).（圖象如圖4.）

（3）“數(shù)”“形”相依

如圖5，在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+（a+c）x+c與一次函數(shù)y=ax+c的大致圖象可能是（）.

環(huán)節(jié)5：小結(jié)與歸納

從知識(shí)、方法、思想以及學(xué)習(xí)思路方面加以歸納（略）.

3.2 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)探析

本課教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)遵循如下“點(diǎn)線式”思路：（1）“數(shù)形關(guān)系”的感知與提出——引起學(xué)生關(guān)注，養(yǎng)成勤于觀察、思考和提出問題的習(xí)慣；（2）“點(diǎn)”的知識(shí)與“線”的聯(lián)系的提煉；（3）“數(shù)形關(guān)系”的探究——通過由“數(shù)”到“形”，再從“形”得“數(shù)”兩個(gè)緯度，進(jìn)行探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生探究精神及從多角度、多方向分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力；（4）“數(shù)形”思想的歸納提煉——培養(yǎng)學(xué)生歸納能力，從中進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)的生成、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)思想的形成等歷程，感悟?qū)W習(xí)的樂趣；（5）“數(shù)形結(jié)合”問題再現(xiàn)——呈現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化過程，鞏固強(qiáng)化訓(xùn)練，形成數(shù)學(xué)方法；（6）“數(shù)形結(jié)合思想”的應(yīng)用與提升——凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出數(shù)學(xué)思想；（7）“數(shù)形結(jié)合”方法延伸與回味——體現(xiàn)知識(shí)升華，展示數(shù)學(xué)魅力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展.

4 “點(diǎn)線式教學(xué)法”的教學(xué)思考

“好課堂”是始于有形、終于無形.我們依托課堂情境，從學(xué)生的實(shí)際生活出發(fā)，構(gòu)建出豐富多彩的“點(diǎn)線式”課堂教學(xué)，突出學(xué)生主體，注重學(xué)生的體驗(yàn)和參與度，引導(dǎo)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)，真正地喚醒學(xué)生的靈魂.那么如何體現(xiàn)這一點(diǎn)呢？“點(diǎn)線式”的教學(xué)以“五提”加以體現(xiàn)，“五提”即提供情境、提出問題、提取方法、提煉思想、提升能力.

（1）提供情境.教師基于教學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想方法、學(xué)情等設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)場景.這個(gè)數(shù)學(xué)場景是以“點(diǎn)”為根、“線式”生長的，充滿生機(jī)、富于變化的；由點(diǎn)少到點(diǎn)多，由單一到綜合，由簡單到復(fù)雜，由一般到特殊，由集中到發(fā)散等.

（2）提出問題.師生設(shè)計(jì)適合情境的數(shù)學(xué)問題.有思考才能有問題，有思考就會(huì)提出問題，學(xué)生不善于提問，其實(shí)是缺乏思考，所以教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)“點(diǎn)線式問題”，關(guān)注問題間的聯(lián)系.要經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并敢于表達(dá)自己的想法，激發(fā)學(xué)生解決問題的熱情，同時(shí)讓學(xué)生感受到主動(dòng)提問的必要性和重要性.

（3）提取方法.在知識(shí)歸納、知識(shí)應(yīng)用、一題多解、多題一解的學(xué)習(xí)中，會(huì)發(fā)現(xiàn)不同的問題所涉及的方法相同或相似.從知識(shí)的重構(gòu)與問題的拓展中提取、總結(jié)出這些“線性”問題的通解通法，有利于學(xué)生思維的自然生長，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了探究一個(gè)知識(shí)，掌握一種辦法，解決一類問題，即解一題，學(xué)一法，通一類，悟一片.

（4）提煉思想.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值所在.學(xué)生要理解學(xué)習(xí)過程中涉及到的數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、思考問題進(jìn)而解決問題的基本途徑.問題由淺入深，注意數(shù)學(xué)知識(shí)的縱橫聯(lián)系，深入淺出，在分析問題和解決問題的過程中抽象出數(shù)學(xué)模型并加以歸納概括，提煉數(shù)學(xué)思想，揭示數(shù)學(xué)本真.

（5）提升能力.領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)思想，就可以識(shí)別數(shù)學(xué)模型.對數(shù)學(xué)模型的識(shí)別不可能“一眼望穿”，要沿著“識(shí)別—建構(gòu)—再識(shí)別—再建構(gòu)”的路徑發(fā)展下去，提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力.教師通過讓學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)，有計(jì)劃、有針對性地培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)和思考習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生各方面能力的提升.

“點(diǎn)線式教學(xué)法”下的課堂教學(xué)主要是針對某一教學(xué)內(nèi)容、某一概念、某一問題或某一專題的細(xì)致講解與分析.對學(xué)生來說，對某一知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容的掌握，猶如一顆顆珍珠般的“點(diǎn)”狀的學(xué)習(xí)與理解.因此，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，引發(fā)學(xué)生的思考，學(xué)會(huì)從不同的角度、不同的板塊來分析，從而使一個(gè)個(gè)“點(diǎn)”狀知識(shí)串成串、連成線，由線的積累形成面，再由面的積累形成體，從而重新建構(gòu)成一個(gè)完整的知識(shí)體系，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思路更明晰.在一節(jié)課中通過經(jīng)歷提出問題、分析問題、解決問題，學(xué)生看到的不再是一個(gè)個(gè)孤立的點(diǎn)，而是由這些點(diǎn)串成的問題串，形成知識(shí)線條，并從中提煉出數(shù)學(xué)方法、思想，形成一個(gè)豐富多彩、充滿活力的知識(shí)系統(tǒng).