基于學(xué)科核心素養(yǎng)的三角形全等的判定教學(xué)設(shè)計

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)概括為“三會”：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.要想達(dá)到基于核心素養(yǎng)教學(xué)的基本要求，核心素養(yǎng)就要體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計的方方面面，如教學(xué)目標(biāo)的制定、教學(xué)環(huán)節(jié)中的巧思、優(yōu)質(zhì)問題的設(shè)計等.“全等三角形”在中學(xué)數(shù)學(xué)占據(jù)較大的比重，以全等三角形的“角邊角”判定為例進行教學(xué)設(shè)計，其中蘊含著深刻的價值可供教師發(fā)掘.

1 立足核心素養(yǎng)，明確教學(xué)目標(biāo)

基于學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計，首先應(yīng)該以發(fā)展和實現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向來制定教學(xué)目標(biāo)，同時圍繞“四基”“四能”的外在表現(xiàn)來確定.在喻平教授撰寫的《核心素養(yǎng)指向的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計》的啟發(fā)下，筆者設(shè)計了如下符合初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“三角形全等的判定（ASA）”的教學(xué)目標(biāo)，如表1：

2 把握核心素養(yǎng)，做好前期準(zhǔn)備

本節(jié)內(nèi)容是繼全等三角形的概念和性質(zhì)以及兩種判定方法“邊邊邊”“邊角邊”之后的又一全新判別內(nèi)容，同時為后續(xù)的幾何證明奠定基礎(chǔ)，具有承前啟后的地位.該階段的學(xué)生具有較強的觀察能力、操作能力和猜想能力，已經(jīng)具有獨立探索、合作交流的習(xí)慣和基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.學(xué)生的思維能力、推理能力正處于關(guān)鍵的上升期，但學(xué)生的思維廣闊性、靈活性、縝密性有所欠缺.本節(jié)的教學(xué)重點在于理解“角邊角”判定定理，并能利用它判定兩個三角形全等；教學(xué)難點則是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“角邊角”這一判定三角形全等的定理并靈活運用到具體問題的解決中.

3 重視核心素養(yǎng)，融入過程設(shè)計

3.1 情境直達(dá)，趣味聯(lián)動

問題1最近你們的音樂老師王老師跟我透露，為了讓音樂課更加豐富多彩，提升同學(xué)們的音樂素養(yǎng)，她將帶領(lǐng)你們學(xué)習(xí)一種新的樂器：三角鐵.因此學(xué)校要購進一批三角鐵，為了保證統(tǒng)一性，要求每一批三角鐵的規(guī)格必須一致.當(dāng)然，三角鐵的音質(zhì)會由專業(yè)音樂老師來檢查把關(guān)，王老師托我?guī)鸵粋€忙，先從外形上保證這些三角鐵是一模一樣的.

追問1：如果將這些三角鐵抽象成同學(xué)們熟悉的三角形的話，那就是三角形全等的問題嗎？

追問2：怎么確定這些三角形全等呢？

師生活動：教師展示三角鐵的實物圖（圖1），學(xué)生欣賞圖片并思考問題.

設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)問題情境、培養(yǎng)問題意識，是提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).將“三角鐵”抽象為三角形，發(fā)現(xiàn)新問題，感悟“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”的意義，培養(yǎng)抽象能力.通過問題1建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，順利引出新課.

問題2請同學(xué)們一起回顧，我們前兩節(jié)課學(xué)習(xí)的判定三角形全等的定理都有哪些呢？

追問1：它們可以用來解決今天的問題嗎？

幾位細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，三角鐵有一個小小的缺口，有兩條邊和一個角是不完整的，所以不能用“邊邊邊”和“邊角邊”來判定，否則可能會出現(xiàn)誤差.

追問2：我們發(fā)現(xiàn)三角鐵有兩個角和它們的夾邊是完整的，那么在只知道兩個角和它們的夾邊對應(yīng)相等的情況下，可以證明兩個三角形全等嗎？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧前面所學(xué)的知識，提出新問題;學(xué)生回顧之前的判定，思考問題.

設(shè)計意圖：基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的基本觀點，教學(xué)要促進學(xué)生的知識建構(gòu)活動，如果原有的知識經(jīng)驗不能解決新的問題，這樣就自然引出了新的知識.培養(yǎng)學(xué)生探究意識，為提升核心素養(yǎng)創(chuàng)造機會.

3.2 動手操作，探究新知

問題3按照前兩節(jié)課探究“邊邊邊”和“邊角邊”的方式，繼續(xù)請每個組的組長任意畫出一個△ABC，組員利用手中的圓規(guī)、直尺再畫一個△A′B′C′，根據(jù)我們今天要探究的對象三角形的兩角及其夾邊，要使得A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B，把畫好的三角形剪下進行對比，兩個三角形會重合嗎？

師生活動：教師示范尺規(guī)作圖具體步驟.學(xué)生觀察，模仿練習(xí).

設(shè)計意圖：在前面探究“邊邊邊”“邊角邊”的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)基本具備了尺規(guī)作圖的意識和能力，但操作過程中所蘊含的方法和技巧仍需教師來引導(dǎo)并示范，教師要高屋建瓴揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，明晰作圖背后深藏的數(shù)學(xué)原理.通過小組合作、觀察模仿，學(xué)生積累了尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，可為之后探究新的幾何知識、解決幾何問題奠定基礎(chǔ).

得出結(jié)論：通過動手實驗發(fā)現(xiàn)，兩個三角形重合，由探究可以得到“兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）”這一基本事實，用它可以判定兩個三角形全等.

問題4類比前兩節(jié)課總結(jié)的“判定全等三步法”，用幾何語言表述今天的判定方法，請同學(xué)們嘗試自主完成.

師生活動：教師總結(jié)并板書，規(guī)范書寫步驟，強調(diào)易忽略的部分和注意事項.學(xué)生認(rèn)真記錄.

設(shè)計意圖：尺規(guī)作圖和最后的知識總結(jié)都類比前兩節(jié)課的探究過程，教師引導(dǎo)之后為學(xué)生提供思考和總結(jié)的空間，創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生自主探究的機會，培養(yǎng)學(xué)生思維并鍛煉其能力.

3.3 牛刀小試，應(yīng)用新知

兩道基礎(chǔ)題型作為鞏固訓(xùn)練，此處省略，只展示第三道綜合性題目.

例如圖2，點B，C，D在一條直線上，點A，C，E在一條直線上，C是線段BD的中點，且AB∥DE，求證：△ABC≌△EDC

分析：通過線段平行找到對應(yīng)角相等是解本題的關(guān)鍵.根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，可得∠A=∠E，∠B=∠D；還有一個隱含條件對頂角相等，即∠ACB=∠ECD；結(jié)合C是線段BD的中點可得BC=CD.相等的角有很多，學(xué)生選擇哪些條件證明△ABC≌△EDC也是本題的關(guān)鍵.

選擇兩位學(xué)生的解題步驟進行展示：

學(xué)生一的解題步驟：

證明：∵AB∥DE，

∴∠B=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

∵C是BD的中點，

∴BC=DC.

∵在△ABC和△EDC中，

∠B=∠D（已證），BC=CD（已證），∠ACB=∠ECD（對頂角相等），

∴△ABC≌△EDC（ASA）.

學(xué)生二的解題步驟：

證明：∵AB∥DE，

∴∠A=∠E，∠B=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

∵C是BD的中點，

∴BC=DC.

∵在△ABC和△EDC中，

∠B=∠D（已證），∠A=∠E（已證），BC=DC（已證），

∴△ABC≌△EDC.

追問1：第二位同學(xué)的證明方法正確嗎？（學(xué)生對這個證明產(chǎn)生了爭議.）

追問2：有人說這位同學(xué)的證明不符合我們今天的“角邊角”的判定條件，但是老師認(rèn)為這個方法是正確的，為什么呢？我們下節(jié)課再來揭曉.

師生活動：教師引導(dǎo)，準(zhǔn)確示范解題過程并強調(diào)細(xì)節(jié)，學(xué)生記錄并總結(jié)方法.教師布置課下思考題——利用第二位同學(xué)選擇的三個條件，即∠A=∠E，∠B=∠D，BC=DC，能否證明△ABC≌△EDC？

設(shè)計意圖：一題多解，產(chǎn)生爭議，引發(fā)學(xué)生思考和討論，深化對“角邊角”判定的理解和應(yīng)用，同時為下節(jié)課的“角角邊”判定埋下伏筆.發(fā)展學(xué)生質(zhì)疑問難的批判思維和實事求是的科學(xué)態(tài)度.

3.4 回望歷史，重現(xiàn)新知

問題5請同學(xué)們仔細(xì)閱讀泰勒斯測量遇難輪船距離的故事，交流討論，在泰勒斯的測量方法中，蘊含了怎樣的數(shù)學(xué)原理，并試著用數(shù)學(xué)語言描述.

分析：如圖3，在海邊燈塔上進行測量，直立一根可以原地轉(zhuǎn)動的豎桿EF（垂直于地面），在其上點A處為測量工具.首先將測量工具指向遇難輪船B，然后旋轉(zhuǎn)測量工具指向沙灘地面某點C，根據(jù)“角邊角”的判定方法，可以得到兩個三角形全等，則CD=BD.在沙灘上測得C，D間的距離，即可得到遇難輪船到海岸的距離.

師生活動：教師展示泰勒斯的故事，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題；學(xué)生聯(lián)系所學(xué)知識思考問題.

設(shè)計意圖：通過再現(xiàn)歷史中的問題情境，鞏固新知識，感悟“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”，培養(yǎng)模型觀念和應(yīng)用意識.

4 教學(xué)反思

基于學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計，最重要的是在教學(xué)目標(biāo)的制定上要明確以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，在過程設(shè)計上要思考貫穿核心素養(yǎng)的策略.第一，目標(biāo)前置.精讀教材與課標(biāo)，將如何促進目標(biāo)的達(dá)成、評價目標(biāo)是否達(dá)成等問題貫穿目標(biāo)制定的全過程.第二，優(yōu)質(zhì)情境的創(chuàng)設(shè).數(shù)學(xué)教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)要在保證真實性的基礎(chǔ)上增加一些趣味性或藝術(shù)性，要能夠充分吸引學(xué)生的注意力，也要發(fā)揮知識本身的內(nèi)在價值.本文的情境創(chuàng)設(shè)將傳統(tǒng)的“三角形玻璃碎片問題”改變?yōu)檎J(rèn)識新的樂器“三角鐵”，更具藝術(shù)性，“三角鐵”的外形也更加符合三角形“角邊角”的數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng).第三，優(yōu)質(zhì)問題設(shè)計.在新知識的應(yīng)用環(huán)節(jié)，要讓學(xué)生充分感悟“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”.本文在例題的設(shè)置上，選擇了一道一題多解的題目，引發(fā)了學(xué)生的激烈討論，從中發(fā)展學(xué)生質(zhì)疑問難的批判性思維，養(yǎng)成積極探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣，設(shè)置懸念，為下一節(jié)課“角角邊”的判定奠定基礎(chǔ)，串聯(lián)起本節(jié)課和下節(jié)課的內(nèi)容.然后從數(shù)學(xué)史出發(fā)，通過歷史故事的再現(xiàn)，學(xué)生從中受到啟發(fā)，將思維轉(zhuǎn)變到問題情境中，與歷史上偉大的數(shù)學(xué)家進行穿越時空的對話.通過解決問題鞏固所學(xué)知識，培養(yǎng)模型觀念和應(yīng)用意識，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).