多視角證明2022年全國(guó)甲卷不等式試題

董 強(qiáng)

(西安市第八十五中學(xué),陜西 西安 710061)

高考數(shù)學(xué)中的最后一道解答題是選修4-5“不等式選講”的內(nèi)容,一般難度不大,屬于和“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”試題二選一的選做題,多考查不等式的證明和求值,主要涉及基本不等式、柯西不等式等.

1 試題呈現(xiàn)

試題(2022年全國(guó)甲卷第23題)已知a,b,c均為正數(shù),且a2+b2+4c2=3.

證明:(1)a+b+2c≤3;

2 試題解析

2.1 第(1)問(wèn)解析

視角1 構(gòu)造柯西不等式或基本不等式.

證法2(構(gòu)造基本不等式)

因?yàn)閍2+b2+4c2=3,所以6=a2+b2+4c2+3=(a2+1)+(b2+1)+(4c2+1)≥2a+2b+4c.

點(diǎn)睛柯西不等式是證明三元及以上不等式的首選方法,巧妙配湊柯西不等式的形式是證明的基礎(chǔ).基本不等式在證明不等式時(shí)需要特別注意取等號(hào)的條件,尤其是多次使用基本不等式后等號(hào)成立的條件應(yīng)為多個(gè)等號(hào)成立的共同要求.

視角2利用分析法或作差比較法.

證法3(分析法)因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),且a2+b2+4c2=3,所以要證a+b+2c≤3,只需要證(a+b+2c)2≤9.

即證a2+b2+4c2+2ab+4bc+4ac≤9.

亦即2ab+4bc+4ac≤6.

故只要證2ab+4bc+4ac≤2a2+2b2+8c2.

此式等價(jià)于(a-b)2+(a-2c)2+(b-2c)2≥0,上式顯然成立,因此,a+b+2c≤3成立.

證法4(作差法)因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),且a2+b2+4c2=3,所以3(a2+b2+4c2)-(a+b+2c)2=2a2+2b2+8c2-2ab-4ac-4bc=(a-b)2+(a-2c)2+(b-2c)2≥0.

結(jié)合條件并移項(xiàng),得(a+b+2c)2≤9.

點(diǎn)睛對(duì)一些不等式證明的試題,如果正面證明思路不明顯,可以考慮利用分析法從待證結(jié)論出發(fā),逐步尋求使得結(jié)論成立的充分條件,這樣逆向思考和倒推,往往會(huì)找到證明的突破口.有了分析法的基礎(chǔ),其實(shí)就可以巧妙地利用已知條件通過(guò)作差法證明不等式了.

2.2 第(2)問(wèn)解析

視角1構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性.

證法1(直接化歸與轉(zhuǎn)化)

因?yàn)閍2+b2+4c2=3,b=2c,

所以a2+8c2=3.

又因?yàn)閍>0,

點(diǎn)睛在證明不等式的過(guò)程中,如遇到構(gòu)造定值不方便,基本不等式或柯西不等式的形式等不容易配湊,則可以考慮化歸與轉(zhuǎn)化,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,最終實(shí)現(xiàn)不等式的證明.

視角2 三角換元,利用赫爾德不等式或權(quán)方和不等式.

視角3巧妙構(gòu)造,利用基本不等式.

證法5(二元基本不等式)由(1)知a+b+2c≤3,因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),b=2c,所以0

視角4 數(shù)形結(jié)合,充分利用信息技術(shù).

圖1 借用橢圓求最值

圖2 取等號(hào)時(shí)的情形

圖3 曲線在第一象限的圖象 圖4 取最小值時(shí)的情形

令z=x+y,則y=-x+z,z是直線系y=-x+z在y軸上的截距.由線性規(guī)劃知識(shí)易知,當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過(guò)曲線拐點(diǎn)(1,2)時(shí),z取得最小值3.

3 結(jié)束語(yǔ)

信息技術(shù)可以將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題形象化.通過(guò)Geogebra、幾何畫板等工具能快速畫出一些曲線所表示的圖形,結(jié)合圖形,利用代數(shù)式表達(dá)的幾何意義及線性規(guī)劃等知識(shí),可以實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的簡(jiǎn)化處理.需要指出的是,信息技術(shù)在求具體數(shù)值的時(shí)候可能存在讀數(shù)的誤差,這與理論證明還是存在一定的差別,不過(guò)信息技術(shù)能為問(wèn)題解決提供一條積極的思路[3].