數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

黃培勝

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，具有降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣與思維、幫助學(xué)生解決問題等優(yōu)勢(shì).教師應(yīng)基于觀察性原則與操作性原則，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式，以便促進(jìn)學(xué)生的進(jìn)步與發(fā)展.文章以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為參考，舉例說明數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用：教師應(yīng)在理解教材和關(guān)注生活的基礎(chǔ)上規(guī)劃教學(xué)，把握學(xué)生建立概念、理解和解決問題的時(shí)機(jī)，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想.

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)應(yīng)用

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老的研究對(duì)象，故而在數(shù)學(xué)研究過程中，許多數(shù)學(xué)家提出數(shù)形結(jié)合思想：借助“數(shù)”的精確性闡明“形”的某些屬性，同時(shí)借助“形”的直觀性說明“數(shù)”的某種關(guān)系.目前，數(shù)形結(jié)合已經(jīng)成為最重要的數(shù)學(xué)思想之一，并且被廣泛應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).教師應(yīng)基于小學(xué)階段數(shù)學(xué)知識(shí)特點(diǎn)與學(xué)生思維特點(diǎn)，準(zhǔn)確把握數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用原則，利用數(shù)形結(jié)合促使學(xué)生簡(jiǎn)單、輕松、高效地學(xué)習(xí)，同時(shí)在學(xué)生心中埋下數(shù)學(xué)思想的種子.

一、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則

（一）觀察性原則

小學(xué)階段的學(xué)生由于缺乏數(shù)形結(jié)合經(jīng)驗(yàn)，較難在學(xué)習(xí)過程中快速形成數(shù)形結(jié)合思想，觀察是改善此情況的有效手段.教師應(yīng)基于觀察性原則為學(xué)生提供豐富的圖形（包括數(shù)學(xué)圖形與生活圖形），指導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位地觀察圖形與幾何中的數(shù)與代數(shù)，使教學(xué)生動(dòng)活潑，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生在形象元素中抽象出數(shù)學(xué)信息的能力，文章因此強(qiáng)調(diào)觀察性原則.教師應(yīng)以“看圖”為數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用基礎(chǔ).

（二）操作性原則

在對(duì)數(shù)學(xué)圖形與生活圖形的充分觀察中，學(xué)生基本上能夠形成一定的數(shù)形結(jié)合思想.此時(shí)，其數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)不再滿足于看圖，而是提出畫圖需求.教師應(yīng)基于操作性原則滿足其需求，鼓勵(lì)學(xué)生自主畫圖.畫圖期間，學(xué)生自覺在“數(shù)”與“形”之間轉(zhuǎn)化，自主分析數(shù)形結(jié)合的最佳形式，這也是鍛煉其數(shù)形結(jié)合能力的重中之重.因此，教師應(yīng)以“畫圖”為數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用核心.

二、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）理解教材，挖掘和整理數(shù)形結(jié)合元素

教材是最關(guān)鍵但不唯一的教學(xué)資源，任何模式的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，都需要貫徹“教材本位”思想.人教版教材作為當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)最常用的教材之一，內(nèi)容經(jīng)常呈現(xiàn)數(shù)形結(jié)合特征，故而有助于數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.教師應(yīng)理解教材，預(yù)先挖掘、整理其中的數(shù)形結(jié)合元素，以便在實(shí)際教學(xué)中準(zhǔn)確把握數(shù)形結(jié)合切入點(diǎn).

比如二年級(jí)上冊(cè)“100以內(nèi)的加法和減法（二）”這一課，教材在“不進(jìn)位加”“進(jìn)位加”等內(nèi)容中設(shè)計(jì)大量示意圖，通過“小棒”“圓點(diǎn)”等圖形的直觀變化反映“數(shù)”的變化，意圖使學(xué)生抽象出運(yùn)算規(guī)律；三年級(jí)下冊(cè)“面積”這一課，教材在“長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算”中，借助“15個(gè)1平方厘米的正方形”“每行擺5個(gè)1平方厘米的正方形，一共擺3行”等“數(shù)”揭示圖形面積，意圖以“數(shù)”促進(jìn)學(xué)生對(duì)“形”的學(xué)習(xí)；五年級(jí)上冊(cè)“簡(jiǎn)易方程”這一課，教材在“練習(xí)十五”中多次使用線段圖，意在借助圖形的直觀性，指導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解數(shù)的意義和分析數(shù)量關(guān)系.從低年級(jí)到高年級(jí)，教材在不同學(xué)段均設(shè)置了大量數(shù)形結(jié)合元素，教師應(yīng)在實(shí)際教學(xué)備課階段，全面地梳理教材，理解其中的數(shù)形結(jié)合內(nèi)涵，從而貫徹教材理念，將數(shù)形結(jié)合思想按照教材意圖應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中.

（二）關(guān)注生活，收集和應(yīng)用數(shù)形結(jié)合資源

生活也是重要的教學(xué)資源，教師應(yīng)在以教材為基礎(chǔ)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)利用生活資源補(bǔ)充教學(xué)內(nèi)容.在此基礎(chǔ)上，教師不妨收集和應(yīng)用生活中的數(shù)形結(jié)合資源，創(chuàng)新數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

比如，在三年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形”這一課，教師首先向?qū)W生展示生活中的長(zhǎng)方形和正方形，引導(dǎo)其對(duì)這些圖形展開觀察和討論.基于生活經(jīng)驗(yàn)，許多學(xué)生已經(jīng)熟悉長(zhǎng)方形和正方形事物，進(jìn)而給予教師“這個(gè)旗幟是長(zhǎng)方形”“這個(gè)塑料板是正方形”等反饋.教師可在此基礎(chǔ)上提問，指導(dǎo)學(xué)生遷移生活經(jīng)驗(yàn)，在圖形實(shí)物中提煉幾何特征：“比較生活中的長(zhǎng)方形和正方形，嘗試畫一畫它們的簡(jiǎn)圖，說說長(zhǎng)方形和正方形有什么特點(diǎn).”提出問題后，教師可以向?qū)W生發(fā)放不同的實(shí)物道具.按照問題要求，學(xué)生參照實(shí)物道具畫圖，有的直接在道具上覆蓋白紙、描圖，有的先用直尺測(cè)量道具每條邊的長(zhǎng)度，再將相同長(zhǎng)度的線條畫在白紙上，使其構(gòu)成封閉圖形.此時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想被第一次應(yīng)用，即生活圖形（數(shù)學(xué)的生活形態(tài)）與數(shù)學(xué)圖形（數(shù)學(xué)的本質(zhì)形態(tài)）有機(jī)結(jié)合，學(xué)生在生活圖形中抽象出數(shù)學(xué)圖形，識(shí)得長(zhǎng)方形和正方形.

其次，教師要肯定學(xué)生的畫圖學(xué)習(xí)過程，并提問學(xué)生：“通過剛才的測(cè)量和畫圖，你們有哪些發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生回憶測(cè)量結(jié)果，給予教師“長(zhǎng)方形和正方形都有四條邊”“長(zhǎng)方形其中兩條對(duì)著的邊比另外兩條對(duì)著的邊要長(zhǎng)”“正方形的四條邊都一樣長(zhǎng)”等反饋.此時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想被第二次應(yīng)用，學(xué)生在“長(zhǎng)度”的數(shù)量關(guān)系支持下增進(jìn)圖形認(rèn)知，理解長(zhǎng)方形和正方形的邊長(zhǎng)或長(zhǎng)寬特征.教師可以趁熱打鐵，提出“畫一個(gè)長(zhǎng)為6厘米、寬為4厘米的長(zhǎng)方形”“畫一個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方形”等畫圖要求，指導(dǎo)學(xué)生仿照剛才的圖形畫出固定邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形或正方形，使其進(jìn)一步理解邊長(zhǎng)對(duì)圖形的影響.

最后，教師指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注長(zhǎng)方形和正方形角的大小.比如，教師引導(dǎo)學(xué)生通過三角板和量角器測(cè)量長(zhǎng)方形和正方形的角.通過測(cè)量，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)：無(wú)論是生活形態(tài)的長(zhǎng)方形和正方形，還是數(shù)學(xué)形態(tài)的長(zhǎng)方形和正方形，它們的四個(gè)角都是90°.此時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想被第三次應(yīng)用，學(xué)生從不同角度切入，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形的角，完善圖形認(rèn)知：（1）長(zhǎng)方形和正方形都有四條邊和四個(gè)角.（2）長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，長(zhǎng)一點(diǎn)的對(duì)邊是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，短一點(diǎn)的對(duì)邊是長(zhǎng)方形的寬；正方形四條邊都相等.（3）長(zhǎng)方形和正方形的角都是直角.

至此，生活化數(shù)形結(jié)合資源充分促進(jìn)了數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，讓學(xué)生在生活中樂學(xué)、善學(xué).

（三）規(guī)劃教學(xué)，把握數(shù)形結(jié)合時(shí)機(jī)

教師不能將數(shù)形結(jié)合思想“一股腦”地應(yīng)用在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中.結(jié)合現(xiàn)有研究與實(shí)踐結(jié)果來(lái)看，數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的最佳應(yīng)用時(shí)機(jī)，應(yīng)包括學(xué)生建立概念時(shí)、理解和解決問題時(shí).故而教師應(yīng)規(guī)劃教學(xué)，把握數(shù)形結(jié)合時(shí)機(jī)，使數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用具有一定計(jì)劃性.下面重點(diǎn)圍繞“概念”與“問題”，分析數(shù)形結(jié)合策略.

1.在建立概念時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

概念是“教數(shù)學(xué)”的起點(diǎn)，也是“學(xué)數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ).小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)使學(xué)生充分理解每一個(gè)概念，建立完整的概念系統(tǒng).而在一些抽象概念中，學(xué)生較難實(shí)現(xiàn)此目標(biāo).教師可基于此應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，借助“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，消除學(xué)生的概念困惑.

（1）構(gòu)建直觀圖，建立“數(shù)”的概念

以“形”化“數(shù)”，有利于學(xué)生建立“數(shù)”的抽象概念.教師可基于“數(shù)”的特征指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建直觀圖，進(jìn)而通過圖形幾何意義促進(jìn)學(xué)生建立“數(shù)”的概念.

例如三年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”這一課，部分教師在教學(xué)中直接講解概念“把一個(gè)物體平均分成幾份，其中的一份就是這個(gè)物體的幾分之一，其中的幾份就是這個(gè)物體的幾分之幾”，學(xué)生沒有經(jīng)歷“平均分”“份數(shù)”“幾份”的構(gòu)建過程，很難建立清晰的“分?jǐn)?shù)”概念.教師可構(gòu)建“涂色”等直觀圖，在“形中有數(shù)”中實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的有效應(yīng)用，促使學(xué)生建立“數(shù)”的抽象概念.比如，教師通過課件出示圖1：

（2）基于“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，建立圖形概念

以“數(shù)”化“形”，有利于學(xué)生建立“形”的抽象概念.教師可基于圖形與“數(shù)”的規(guī)律，指導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)”描述圖形，進(jìn)而使學(xué)生成功建立圖形概念.

例如四年級(jí)下冊(cè)“三角形”這一課，三角形可以被視為上底為0的梯形.教師可在教學(xué)中，通過圖2創(chuàng)設(shè)“消失的梯形”情境.課件中，梯形下底長(zhǎng)度不變，上底長(zhǎng)度不斷變小，直到變成0.學(xué)生觀察課件動(dòng)畫，得到“梯形上底長(zhǎng)度為0時(shí)，就變成了三角形”的結(jié)論，能夠在“數(shù)”的變化中，發(fā)現(xiàn)認(rèn)識(shí)三角形的新角度，同時(shí)建立三角形的正確概念.

之后講解等腰三角形、等邊三角形時(shí)，教師同樣可運(yùn)用此方法.比如在講解等邊三角形時(shí)，教師可先通過課件出示一個(gè)普通三角形，再以某一條邊為基準(zhǔn)，緩慢改變另外兩條邊的長(zhǎng)度，直到三條邊的長(zhǎng)度完全相等.通過直觀感受三角形其中三條邊由“長(zhǎng)度不同”到“長(zhǎng)度相同”的變化，并且用“數(shù)”的語(yǔ)言描述變化的具體內(nèi)容，學(xué)生可準(zhǔn)確建立“等邊”概念，確定什么是等邊三角形.

2.在理解問題和解決問題時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

理解問題是解決問題的前提，而在當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)學(xué)生不能準(zhǔn)確理解問題的情況，以至于學(xué)生不能正確解決問題.歸根結(jié)底是因?yàn)椴糠謫栴}過于抽象，學(xué)生不能通過閱讀全面判斷其內(nèi)容.教師可以示范“畫圖解題法”，帶領(lǐng)學(xué)生將抽象“數(shù)”的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為直觀的“形”的語(yǔ)言，在加速學(xué)生理解問題的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合讀題習(xí)慣，提高學(xué)生的解決問題能力.

問題要素較多，數(shù)量關(guān)系也相對(duì)復(fù)雜，不利于學(xué)生理解和解決問題.教師可示范“線段圖”，如圖3.

在學(xué)生熟練此理解和解決問題的策略后，教師還可以設(shè)計(jì)拓展問題，將畫圖主動(dòng)權(quán)全部交給學(xué)生，使其完整經(jīng)歷畫圖解題過程.

結(jié) 語(yǔ)

總之，觀察性原則與操作性原則，是數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則，教師應(yīng)基于“看圖”與“畫圖”，逐漸引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合思想.在此基礎(chǔ)上，教材與生活中均充斥著數(shù)形結(jié)合元素，學(xué)生應(yīng)將數(shù)形結(jié)合思想充分滲透在建立概念、理解和解決問題方面.教師應(yīng)挖掘和整理教材數(shù)形結(jié)合元素，收集和應(yīng)用生活中的數(shù)形結(jié)合資源，規(guī)劃實(shí)際教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合時(shí)機(jī)，以此讓數(shù)形結(jié)合思想全面賦能于實(shí)際教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生循序漸進(jìn)發(fā)展.

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