相似三角形與函數(shù)綜合問題探究

王勇

［摘 要］在近幾年的各地中考數(shù)學(xué)試題中，相似三角形與函數(shù)綜合考查成為中考命題的熱點(diǎn)。文章結(jié)合四個(gè)典型例題，探討相似三角形與函數(shù)綜合問題，旨在夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)，發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］相似三角形；函數(shù)；綜合問題

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）29-0010-03

在近幾年的各地中考數(shù)學(xué)試題中，相似三角形與函數(shù)綜合考查成為命題的熱點(diǎn)，它包括相似三角形與一次函數(shù)綜合、相似三角形與反比例函數(shù)綜合、相似三角形與二次函數(shù)綜合、相似三角形與絕對值函數(shù)綜合。下面筆者結(jié)合例題逐一分析探討。

一、相似三角形與一次函數(shù)綜合

一次函數(shù)的圖象是一條直線，它與兩坐標(biāo)軸相交形成直角三角形，以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)再放置一個(gè)相似的直角三角形，會形成“手拉手”相似三角形模型，利用相似三角形的性質(zhì)可以求線段的長度，確定線段的最小值等。

解析：（1）利用兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，得[△BDC ]∽[△EDO]，從而得證。∵[OC⊥OE]，∴[∠COE=90°]，∴[∠AOB=∠COE=90°]，∵[∠OCD=∠OAB]，∴[∠ABO=∠CEO]，∵[∠BDC=∠EDO]，

（3）根據(jù)[OA=OF]可知，F(xiàn)在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的半圓上運(yùn)動，在[△OBF]中，由三角形的三邊關(guān)系，得[BF>OF-OB]，所以當(dāng)F在y軸上，且在B的上方時(shí)，BF的值最小，由此得到BF的最小值。如圖5所示，由對稱得：[OA=OF]，動點(diǎn)F在以O(shè)為圓心、以O(shè)A為半徑的半圓[AFA']上運(yùn)動，因?yàn)閇OB=6]，在[△OBF]中，由三角形的三邊關(guān)系得[BF>OF-OB]，所以當(dāng)F在y軸上，且在B的上方時(shí)，BF的值最小，如圖6所示，此時(shí)[BF=OF-OB=8-6=2]，即BF的最小值是2。

二、相似三角形與反比例函數(shù)綜合

相似三角形與反比例函數(shù)綜合問題主要考查相似三角形存在性問題、三角形面積等，要求學(xué)生掌握相似三角形的判定、反比例函數(shù)的性質(zhì)等，且要具備分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法。

三、相似三角形與二次函數(shù)綜合

［例3］如圖9所示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)[y=mx2+nx+4]（[m≠0]）的圖象交[x]軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為[（-3，0）]，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A、OC為邊作矩形OADC，且邊CD交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)M。（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）現(xiàn)有一條垂直于x軸的直線[x=a]在[A]、[O]兩點(diǎn)間（不包括A、O兩點(diǎn)）左右移動，分別交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)P，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)Q，請用含a的代數(shù)式表示QP的長；（3）在（2）的條件下，連接QC，則在CD上方的二次函數(shù)的圖象上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以Q、C、F為頂點(diǎn)的三角形和[△AEP]相似？若存在，直接寫出a的值；若不存在，請說明理由。

四、相似三角形與絕對值函數(shù)綜合

絕對值函數(shù)的本質(zhì)還是分段函數(shù)，它的函數(shù)圖象一般為軸對稱圖形，在絕對值函數(shù)里也會討論相似三角形的存在性問題。